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绝密★启用前 试卷类型：A
深圳市2018届高三年级四校联考
理科数学
本试卷共6页，22小题，满分150分. 考试用时120分钟.
注意事项：
1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上. 用2B铅笔将试卷类型和考生号填涂在答题卡相应位置上.
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再填涂其他答案. 答案不能答在试卷上.
3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4．作答选做题时，请先用2B铅笔填涂选做题的题组号的信息点，再作答.漏涂、错涂、多涂的，答案无效.
5．考生必须保持答题卡的整洁.
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合要求．
1. 已知全集, 集合, , 则
(A) (B) (C) (D)
2．函数的定义域为
(A) (B) (C) (D)
3．设则“”是“，且”的
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
4．根据下列条件,能确定有两解的是
(A) (B)
(C) (D)
5．已知，则
(A) (B) (C) 或 (D)
6．把函数的图象上每个点的横坐标扩大到原来的倍，再向左平移个单位，得到函数的图象，则函数的一个单调递减区间为
(A) (B) (C) (D)
7．函数的图象可能是
(A) (B) (C) (D)
8．若函数在区间上为减函数，则的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
9．已知函数，其中，若的值域是，则实数的取值范围是
(A) (B) (C) (D)
10．已知 ，,，则它们的大小关系是
(A) (B) (C) (D)
11．已知定义在上的函数对任意满足：，当时，
，则方程的实根个数为
(A) (B) (C) (D)
12．已知函数，存在，使得函数在区间上有两个极值点，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13.若定义在区间上的函数是奇函数，则 .
14． .
15． 设函数的最小值为，则实数的取值范围是_____．
16．已知锐角三角形中，角所对的边分别为若，则的取值范围是____________．
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知三个集合：，，
.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）已知，求实数的取值范围.
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域.
19．（本小题满分12分）
在中，内角对边分别是，已知．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的最大值．
20．（本小题满分12分）
中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，具体方案如下：
方案代号
基本月租（元）
免费时间（分钟）
超过免费时间的话费（元/分钟）
1
30
48
0．60
2
98
170
0．60
3
168
330
0．50
4
268
600
0．45
5
388
1000
0．40
6
568
1700
0．35
7
788
2588
0．30
原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟收取0.4元，请问：
（I）求“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，不足一分钟的按一分钟计算，如某次通话时间为3分20秒，则按4分钟计通话用时）的函数解析式；
（II）若采用第4种收费方式,且比原计费方式的月话费省钱,求通话量的取值范围；
（III）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户的月通话量平均为320分钟. 若一个用户的月通话量恰好是这个平均值，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算？请
说明理由.
21．（本小题满分12分）
已知,函数，.
（Ⅰ）求的单调区间；
（Ⅱ）求取得最大值时的值.
22．（本小题满分12分）
已知.
（Ⅰ）判断函数的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）已知，，若曲线上有两点，且曲线在点、处的切线相交于点，证明：点一定在轴上方.
深圳市直属学校四校联考理科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项符合要求．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
B
D
D
B
C
A
D
C
A
B
第II卷（非选择题共90分）
二、填空题:本大题共4小题,每小题5分,共20分.
13．； 14．； 15．； 16．．
16.解：∵，，
，∴，
∵是锐角三角形，∴，且，
∴.
三、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分10分）
已知三个集合：，，
.
(I) 求；
(II)已知，求实数的取值范围.
解：(I), . …………………………………2分
,. ……………………………………….4分
. …………………………………………………..………..5分
(II),
……………………………………………..…….…..6分
……………………………………………..…..7分
即解得 ……………………..……..9分
所以实数的取值范围是 ………………………………………..….10分
18.（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）求函数的最小正周期和图象的对称轴方程；
（Ⅱ）求函数在区间上的值域.
解：（I）
，………………….......……3分
，………………….................................................................……..4分
由得.
函数的最小正周期为，对称轴方程为.………………6分
（II）
因为在区间上单调递增，在区间上单调递减，
所以，当时，取最大值..………………….........................……..8分
又，.…………………..........................……..10分
当时，取最小值，.…………………....................……..11分
所以函数在区间上的值域为..……………………..12分
19．（本小题满分12分）
在中，内角对边分别是，已知．
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）求的最大值．
解：（Ⅰ）由正弦定理可得
，
∴，，，………………………………2分
∵，
∴， ……………………………4分
∴，
而
∴.……………………………………………………………………6分
（Ⅱ）
，………………………………8分
由（Ⅰ）知，
∴， ………………………………10分
∴当，即时，取得最大值.………………12分
20．（本小题满分12分）
中国移动通信将于3月21日开始在所属18个省、市移动通信公司陆续推出“全球通”移动电话资费“套餐”，具体方案如下：
方案代号
基本月租（元）
免费时间（分钟）
超过免费时间的话费（元/分钟）
1
30
48
0．60
2
98
170
0．60
3
168
330
0．50
4
268
600
0．45
5
388
1000
0．40
6
568
1700
0．35
7
788
2588
0．30
原计费方案的基本月租为50元，每通话一分钟收取0.4元，请问：
（I）求“套餐”中第4种收费方式的月话费y与月通话量（月通话量是指一个月内每次通话用时之和，每次通话用时以分为单位取整计算，不足一分钟的按一分钟计算，如某次通话时间为3分20秒，则按4分钟计通话用时）的函数解析式；
（II）若采用第4种收费方式,且比原计费方式的月话费省钱,求通话量的取值范围；
（III）据中国移动某年公布的中期业绩，每个用户的月通话量平均为320分钟. 若一个用户的月通话量恰好是这个平均值，则在表中所列出的七种方案中，选择哪种方案更合算？请说明理由.
解：（I）易知
所以.……………………….......................…..4分
（II）当时，解不等式且得，
当时，解不等式，得，
综上，当时，采用第种收费方式比原收费方式的月通话费省钱.
………………………………………………………..................................................8分
（III）因为按照原来的收费方式，分钟收费元（即），
所以，不会选择月租费多于元的收费方式，从而只考虑“套餐”中的前三种方式.
第一种方式的话费为：（元）；
第二种方式的话费为：（元）；
第三种方式的话费为：元.
故选择第三种方式. ……………………………..................................................12分
21．（本小题满分12分）
已知,函数，.
(I)求的单调区间；
(II)求取得最大值时的的值.
解：(I)由已知得到:,
(1)当时,,,恒成立；……..…………...1分
(2)当时,,，恒成立; …….2分
(3)当时，,,
，，且,
令解得：或.……………………………………………....3分
综上：当时,的单调减区间为；
当时,的单调増区间为;
当时，的单调増区间为和，
单调减区间为.………………………………………………………5分
(II)由(I)知(1)当时,在上递减,所以；……....6分
(2)当时,在上递增,所以;……………....…...7分
(3)当时，，
，
,,，
.…………………………………………………………..................................................…..9分
①当，由，得，所以，且，此时，又 ，，即；
.…………………………………………………………..................................................…..10分
②当时，由，得，所以，且，此时，又，，即；
.…………………………………………………………..................................................…..11分
综上，当时, 在处取得最大值；
当时，在处取得最大值；
当时，在处取得最大值. …..........................................................…..12分
22．（本小题满分12分）已知.
（Ⅰ）判断函数的零点个数，并说明理由；
（Ⅱ）已知，，若曲线上有两点，且曲线在点、处的切线相交于点，证明：点一定在轴上方.
解：（Ⅰ）函数定义域为，
，
函数在单调递增，
因为， ……………………………………………………….……………..3分
所以，函数有唯一的零点……………………………………………………..5分
（Ⅱ）.
过点的切线方程为：
和…………………………………8分
设两条切线交点的纵坐标为,
可解得,…………………10分
法一：设,因为，所以,,且有.
于是,
因此,,………………………………………….11分
由（Ⅰ）知，当时，，所以，，
故又,
，所以点一定在轴上方. ……………………………………………….12分
法二：∵，，
，下证，
设，则，
即证当时，不等式成立，……………………………..11分
令，则，且，
显然当时，，所以，即，
，所以点一定在轴上方. ……………………………………………..12分
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