秘密★启用前 【考试时间：10月27日15:00～17:00】
2017年重庆一中高2018级高三上期半期考试
数 学 试 题 卷（理科）
数学试题共4页。满分150分。
注意事项：
1.答题前，务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
2.答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦擦干净后，再选涂其他答案标号。
3.答非选择题时，必须使用0.5毫米黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上。
4.所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效。
一、选择题：本题 12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，则（ ）
A. B. C. D.
2.各项均为正数的等比数列中，，则的值为（ ）
A.5 B.3 C.6 D.8
3.函数在区间内的零点个数是（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
4.已知，则的值为（ ）
A. B. C. D．
5.已知，则、、的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6.函数的图象大致是（ ）
A B C D
7.已知平面向量，夹角为，且，，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
8.《九章算术》是我国古代的数学巨著，内容极为丰富，其中卷六《均输》里有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何。”意思是：“5人分取5钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前2人所得钱数之和与后3人所得钱数之和相等。”（“钱”是古代的一种重量单位），则其中第二人分得的钱数是（ ）
A. B.1 C. D.
9.定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的
，则成立的充要条件是（ ）
A. B. C. D.
10.已知的内角所对的边分别为，若，，则角的度数为（ ）
A. B. C. D.
11.已知定义在R上的函数满足，当时，
，则当时，方程的不等实根的个数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
12.已知为的内心，，若，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题：本题4个小题，每小题5分，共20分。
13.已知函数，则_______。
14.设函数的部分图象如图所示，
其中为等腰直角三角形，，则
的解析式为______________。
15.若曲线的切线斜率恒为非负数，则实数的最小值是_______。
16.函数，若的任意一个对称中心的横坐标都
不属于区间，则的取值范围是_____________。
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17.（12分）
已知向量，设函数。
（1）求函数的单调递增区间；
（2）若关于的方程在区间上有实数解，求实数的取值范围。
18.（12分）
已知公比为的等比数列的前6项和，且成等差数列。
（1）求；
（2）设是首项为2，公差为的等差数列，记前项和为，求的最大值。
19.（12分）
已知的内角A、B、C所对的边分别为，满足。
（1）若，求角；
（2）若，试判断的形状。
20.（12分）
已知点是椭圆上一点，分别为的左、右焦点，
的面积为。
（1）求椭圆的方程；
（2）过点的直线与椭圆相交于两点,点,记直线的斜率分别为,当最大时,求直线的方程。
21.（12分）
已知函数。
（1）若有三个极值点，求的取值范围；
（2）若对任意都恒成立的的最大值为，证明：。
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
在平面直角坐标系中，已知曲线（为参数），直线。
（1）在曲线上求一点，使点到直线的距离最小，并求出此最小值；
（2）过点且与直线平行的直线交于，两点，求点到，两点的距离之积。
23.[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数。
（1）若不等式的解集为，求实数的值；
（2）若不等式对任意的实数恒成立，求实数的最小值。
2017年重庆一中高2018级高三上期半期考试理科数学答案
一、选择题
1.A 2.C 3.B 4.C 5.C 6.B 7.A 8.C 9.B 10.B 11.C 12.D
二、填空题
13.2 14. 15. 16.
三、解答题
17.解：（1）
令，
所以所求递增区间为。
（2）在的值域为，所以实数的取值范围为。
18. 解：（1）成等差数列,∴，即，∴，
∴，解得，所以。
（2）由（1）可知是首项为2，公差为的等差数列，∴，
于是，则的最大值为7，此时。
19．解：（1）由余弦定理知：，∴，
∵，∴。
（2），由正弦定理有：，
而，，
即，而，
，，，
又由（1）知，及，，从而，
因此为正三角形。
20.解：（1）易知，由
，由余弦定理及椭圆定义有：
又，从而。
（2）解法一：①当直线的斜率为0时，则；
②当直线的斜率不为0时，设，直线的方程为，
将代入，整理得，
则，又，
所以，
，
令，则，
当即时，；
当时，，或。
当且仅当，即时，取得最大值。
由①②得直线的方程为。
解法二：①当直线垂直于轴时，则；
②当直线与轴不垂直时，设，直线的方程为，
将代入，整理得，
则，又，
所以，
令，由得，
所以当且仅当时最大，所以直线的方程为。
21.解：（1），定义域为，
，，
只需应有两个既不等于0也不等于的根，，
①当时，，单增，最多只有一个实根，不满足；
②当时，，
当时，，单减；当时，，单增；
是的极小值，
而时，，时，，
要有两根，只需，由
，又由，
反之，若且时，则，的两根中，一个大于，另一个小于。在定义域中，连同，共有三个相异实根，且在三根的左右，正负异号，它们是的三个极值点。
综上，的取值范围为。
（2）对恒成立，
①当时，均满足；
②对恒成立对恒成立，
记，
欲证，
而，
只需证明，显然成立。
下证：，
先证：，
，
令，
在上单增，
，在上单增，，在上单增，
，即证。
要证：，
只需证
而，开口向上，上不等式恒成立，从而得证命题成立。
22.解：（1）设点，则点到直线的距离为
，
∴当时，，此时。
（2）曲线化为普通方程为：，即，
直线的参数方程为（为参数），代入化简得：
，得，∴。
23.解：（1）由条件得 得，所以。
（2）原不等式等价于，而
，所以 则，
当且仅当时取得。
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