利津一中2015级11月分教学质量检测
数学（文）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，则（ ）
A． B． C． D．
答案A
【解析】
试题分析：因为，所以＝，故选A．
2.已知命题：，。命题：，，则下列命题中为真命题的是（ ）。
A: B: C: D:
答案A
解析
本题主要考查命题及关系。
对于命题：令，所以，在时，，所以在时取最大值为，所以命题正确。
对于命题：当时，，不满足，即命题不正确。
所以只有正确。
故本题正确答案为A。
3. 已知实数x、y满足ax＜ay（0＜a＜1），则下列关系式恒成立的是（）
A.＞ B.ln(x2+1)＞ln(y2+1)
C.sinx＞siny D.x3＞y3
答案：D.
解：∵函数y=ax（0＜a＜1）单调递减，实数x、y满足ax＜ay（0＜a＜1），
∴x＞y，
此时，x2，y2的大小关系不确定，
故A、B选项中的大小关系不恒成立.
根据正弦函数的性质可得，C选项也不成立.
由函数y=x3（x∈R）单调递增可知，当x＞y时，x3＞y3，D选项成立.
故选D.
4. 已知向量 满足 ，则向量 的夹角为 ( )
A. B. C. D.
答案 B
解析
由题意可得可得 ，求得 ＞的值，可得向量 的夹角．
5. 为了得到函数 的图象,只需把函数 的图象上所有的点( )
答案 B
解:因为函数,
故把函数的图象上所有的点向左平 个单位长度,即可得到函数的图象,
所以B选项是正确的.
6. 已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是（）
A.f(x)=sin(3x+) B.f(x)=sin(2x+)
C.f(x)=sin(x+) D.f(x)=sin(2x+)
答案为：D.
解：由图可知，A=1，=-=，
∴T=π，
∴ω==2.
由图可知sin(2×+φ)=0，由0＜φ＜可得φ=.
故函数的解析式为f(x)=sin(2x+)（x∈R）.
故选D.
7. 已知定义在R上的奇函数 满足:当 时, ,则 ( )
A. 4 B.-4 C. 2 D.-2
答案 B
解:根据题意,,即,
,
,
所以B选项是正确的.
8. 一个几何体的三视图如图所示，主视图与左视图都是腰长为底为的等腰三角形，俯视图是边长为的正方形，那么此几何体的侧面积为( )
A. B. C. D.
答案 C
解：由已知中的三视图，我们可以得到该几何体是一个正四棱锥，如图，
又由主视图与左视图是边长为腰长为5底为8的等腰三角形，可得到棱锥的高为3，
则棱锥的侧高（侧面的高）为5
故棱锥的侧面积,
故答案选C.
9. 已知函数（为），则的大致图象是（ ）。
答案 C
本题主要考查函数与方程。
首先取点，此时，故排除A项、D项。其次，在上恒成立，所以在上是单调递减，故排除B项。
故本题正确答案为C
10. 设函数f(x)＝若f＝4，则b等于( )
A． 1 B. C. D.
答案 D
解析:由题意，得f＝3×－b＝－b.
若－b≥1，即b≤时，2－b＝4，解得b＝.
若－b＜1，即b＞时，3×－b＝4，
解得b＝ (舍去)．
所以b＝.
11. 已知实数满足约束条件，若的最大值为1，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
答案 C
解析如图画出可行域，当时，目标函数才有最大值，根据选项可得，而目标函数，斜率为3，所以函数过点时函数取得最大值， ，解得 ，所以，解得： ，故选C.
12. 函数 是定义在 上的偶函数，且满足 当 ，若在区间 上方程 恰有四个不相等的实数根，则实数 的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
答案B
第II卷
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知 ，则 __________．
答案
解析
因为，所以，所以，所以＝＝.
14. 已知直线经过点，则的最小值为.
答案
15. 求函数在区间上的最大值和最小值.
答案
解:
由得 ,
当时,,单调递减;
当时,,单调递增.
是函数的极小值点.
计算函数在极小值点及区间端点的值,得,,
比较,,的大小,可以知道:函数在区间上的最大值是20,最小值是0.
16. 已知是球表面上的点，平面，，，则球的表面积等于________．
答案
解析
由题意得：球心为中点，而，球的表面积等于
三、解答题（本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 设p:实数x满足: ,q:实数x满足: ,
(Ⅰ)若 ,且p∧q为真,求实数x的取值范围;
(Ⅱ)q是p的充分不必要条件,求实数a的取值范围.
答案
解:(I),
时,
∧q为真
真且q真
,得,
即实数x的取值范围为
是p的充分不必要条件,记,
则A是B的真子集
或
得,即a的取值范围为
18. 已知向量，。
（1）若，求的值；
（2）记，在中，角， ，的对边分别是，，且满足，求函数的取值范围。
答案详解
（1）由已知可得。 ......25分
因为，所以，有，所以。 ......50分
（2）因为，由正弦定理得，所以，因为，所以，，所以， ......75分
所以，可得，得，又因为，所以，故函数的取值范围是。
19. 已知函数 在区间 上的最大值为2.
（1）求函数 在区间 上的值域；
（2）设 ，求 的值.
答案详解
(1)；(2).
解析:
（1）化简.由当时，取最大值当时，取最小值值域为；
（2）由
.
20. 如图，四棱锥中，底面,底面为梯形，∕∕,,,为的中点，为上一点，且.
（1）求证： ∕∕平面；
（2）求二面角的余弦值.
答案详解
（1）证明：在上取点使，连接可证得∕∕,∕∕,平面∕∕平面,得∕∕平面.
（2）分别以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系（如图）则,解得平面法向量，平面法向量.
21. 如图,已知三棱锥中,,,M为AB中点,D为PB中点,且为正三角形.
(1)求证:平面APC;
(2)求证:平面平面APC;
(3)若,,求三棱锥的体积.
答案详解
证明:(I)由已知得,MD是的中位线
面APC,面APC
面APC;
为正三角形,D为PB的中点
,又,
面PBC面
又,面APC,
面平面平面APC;
根据题意可以知道,面PBC,
是三棱锥的高,
.
22. 已知函数 , 为自然对数的底数),且 在点 处的切线方程为
(1)求实数a,b的值;
(2)求证:
答案详解
(1)解:′(x),
′(e),且,
又在点处的切线方程为,
切点为,
,
计算得出:;
(2)证明:由(Ⅰ)可以知道,,且的定义域为,
令,
则F′(x),
令,可以知道在上为减函数,且,,
∃,使得,即,
当时,,′(x),则为增函数;
当时,,′(x),则为减函数.
,
又,,即,
,即,
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