成都市“五校联考”高2015级第三学期期中试题
数 学
（理科）
（全卷满分：90分 完成时间：100分钟）
第Ⅰ卷（选择题，共50分）
一 、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．如图所示,正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1,则点B1的坐标是( )
A. (1,1,1) B.(1,0,1) C. (1,0,0) D.(1,1,0)
2．双曲线的渐近线方程是( )
(A) (B) (C) (D)
3.与直线l：3x－5y＋4＝0关于原点对称的直线的方程为( )
A.3x＋5y＋4＝0 B.3x－5y－4＝0 C.5x－3y＋4＝0 D.5x＋3y＋4＝0
4．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝3x－4y的最大值和最小值分别为( )
A．3， －11 B．－3， －11 C．11， －3 D．11, 3
5. 设点,若直线与线段没有交点，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．已知圆(x＋2)2＋y2＝36的圆心为M，点N(2,0)，设A为圆上任一点，线段AN的垂直平分线交MA于点P，则动点P的轨迹是( )
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
7．如果椭圆的弦被点（4，2）平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A． B． C． D．
8．一条光线从点(－2，－3)射出，经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切，则反射光线所在直线的斜率为( )
A．－或－ B．－或－ C．－或－ D．－或－
9．点是抛物线与双曲线的一条渐近线的交点.若点到抛物线的准线的距离为，则双曲线的离心率等于（ ）
A． B． C． D．
10．以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①双曲线与椭圆有相同的焦点；
②以抛物线的焦点弦（过焦点的直线截抛物线所得的线段）为直径的圆与抛物线的准线是相切的．
③设A、B为两个定点，k为常数，若|PA|﹣|PB|=k，则动点P的轨迹为双曲线；
④过定圆C上一点A作圆的动弦AB，O为原点，若则动点P的轨迹为椭圆．其中正确的个数是（ ）
A .1个 B.2个 C. 3个 D.4个
11．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是( )
A． B．3 C． D．2
12．已知圆C的方程，P是椭圆上一点，过P作圆的两条切线，切点为A、B，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
第II卷（非选择题, 共100分）
二、填空题（本大题共4小题，每题5分，共20分，把答案填在题中横线上）
13．若三点P（1，1），A（2，-4），B（x,-9）共线，则x= ．
14．不论k为何实数，直线（2k﹣1）x﹣（k+3）y﹣（k﹣11）=0恒通过一个定点，这个定点的坐标是 ．
15．已知直线l经过点P，且被圆截得的弦长为8，则直线l的方程是________________．
16．已知,,动点满足,若双曲线的渐近线与动点的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是 .
三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题满分10分）
已知直线l1：2x+y+2=0；l2：mx+4y+n=0．
(Ⅰ)若l1⊥l2，求m的值．
(Ⅱ)若l1∥l2,且他们的距离为，求m，n 的值．
18.（本小题满分12分）
某研究所计划利用“神十”宇宙飞船进行新产品搭载实验，计划搭载若干件新产品A、B，该所要根据该产品的研制成本、产品重量、搭载实验费用和预计产生的收益来决定具体搭载安排，有关数据如下表：
每件产品A
每件产品B
研制成本、搭载
费用之和（万元）
20
30
计划最大资金额
300万元
产品重量（千克）
10
5
最大搭载重量110千克
预计收益（万元）
80
60
分别用x,y表示搭载新产品A,B的件数. 总收益用Z表示
(Ⅰ)用x,y列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域；
(Ⅱ)问分别搭载新产品A、B各多少件，才能使总预计收益达到最大？并求出此最大收益.
y
20
0
x
20
10
10
19.（本小题满分12分）
已知圆心在直线y=4x上，且与直线l：x+y-2=0相切于点P（1，1）
（Ⅰ）求圆的方程；
（II）直线kx-y+3=0与该圆相交于A、B两点，若点M在圆上，且有向量 (O为坐标原点)，求实数k．
20.（本小题满分12分）
已知抛物线C：y2=2px（p＞0），上的点M（1，m）到其焦点F的距离为2，
（Ⅰ）求C的方程；并求其准线方程；
（II）已知A （1 , -2），是否存在平行于OA（O为坐标原点）的直线L，使得直线L与抛物线C有公共点，且直线OA与L的距离等于？若存在，求直线L的方程；若不存在，说明理由．
21.（本小题满分12分）
已知椭圆E:的左、右焦点分别为F1、F2，离心率，P为椭圆E上的任意一点（不含长轴端点），且△PF1F2面积的最大值为1．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）已知直线与椭圆E交于不同的两点，且线段的中点不在圆内，求的取值范围．
22.（本小题满分12分）
如图，O为坐标原点，椭圆C1：的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为e1；双曲线C2：的左、右焦点分别为F3，F4，离心率为e2，已知e1e2=，且|F2F4|=﹣1．
（Ⅰ）求C1、C2的方程；
（Ⅱ）过F1作C1的不垂直于y轴的弦AB，M为AB的中点，当直线OM与C2交于P，Q两点时，求四边形APBQ面积的最小值．
成都市”五校联考”高2015级第三学期期中试题
数学(理科)答案
一 、选择题
1.A 2.C 3.B 4.A 5.C 6.B 7.D 8.D 9.C 10.B 11.D 12.A
二、填空题
13. 3 14. （2，3） 15. x＋4＝0或4x＋3y＋25＝0 16.
三、解答题
17.解：.
.……………………5分
.,
,..……………………10分
18. 解析：(Ⅰ)解：由已知满足的数学关系式为，且，，该二元一次不等式组所表示的区域为图中的阴影部分.
……………………6分
（Ⅱ）解：设最大收益为万元，则目标函数.
作出直线并平移，由图象知，
当直线经过M点时，能取到最大值，
由 解得且满足，即是最优解，
所以（万元），
答：搭载A产品9件，B产品4件，能使总预计收益达到最大值，最大预计收益为960万元．……………………12分
19. 解：（1）设圆的方程为
因为直线相切，圆心到直线的距离，且圆心与切点连线与直线l垂直
可得a=0，r=，所以圆的方程为：…………………6分
(2)直线与圆联立：，得：，
Δ=,解得.设A() B()，,
M()代入圆方程：
，求得k=……………………………………12分
20. 解：（Ⅰ）抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=﹣，
由抛物线的定义可知：|MF|=1﹣（﹣）=2，解得p=2，
因此，抛物线C的方程为y2=4x；其准线方程为.………………5分
（Ⅱ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=－2x + t ，（OA的方程为：y=-2x）
由，得y2 ＋2 y －2 t=0. ………………7分
因为直线l与抛物线C有公共点，所以得Δ=4+8 t，解得t ≥－1/2 . ………………8分
另一方面，由直线OA与l的距离d=，可得，解得t=±1. ………………10分
因为－1∉[-,＋∞），1∈[－，＋∞），所以符合题意的直线l 存在，其方程为2x+y-1 =0.
………………12分
21. 解：
（Ⅰ）由题可知，又a2=b2+c2，
∴，故------3分
所以椭圆的标准方程为 ----------4分
22. 解：(1)因为e1e2＝，所以·＝，即a4－b4＝a4，因此a2＝2b2，
从而F2(b，0)，F4(b，0)，于是b－b＝|F2F4|＝－1，
所以b＝1，a2＝2.故C1，C2的方程分别为＋y2＝1，－y2＝1 …………5分
(2)因AB不垂直于y轴，且过点F1(－1，0)，故可设直线AB的方程为x＝my－1，
由得(m2＋2)y2－2my－1＝0. …………6分
易知此方程的判别式大于0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则y1，y2是上述方程的两个实根，所以y1＋y2＝，y1y2＝.
因此x1＋x2＝m(y1＋y2)－2＝，于是AB的中点为M，
故直线PQ的斜率为－，PQ的方程为y＝－x，即mx＋2y＝0. …………8分
由得(2－m2)x2＝4，所以2－m2>0，且x2＝，y2＝，
从而|PQ|＝2＝2. …………9分
设点A到直线PQ的距离为d，
则点B到直线PQ的距离也为d，所以2d＝.
因为点A，B在直线mx＋2y＝0的异侧，所以(mx1＋2y1)(mx2＋2y2)
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