海淀区高三年级第一学期期中练习
数学（文科） 2017.11
本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将答题纸交回。
第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。
（1）若集合，集合, 则
（A） （B） （C） （D）
（2）命题“”的否定是
（A） （B）
（C） （D）
（3）下列函数中，既是偶函数又在上单调递增的是
（A） （B） （C） （D）
（4）已知数列满足，则
（A） （B） （C） （D）
（5） 在平面直角坐标系中，点的纵坐标为，点在轴的正半轴上.
在△中，若，则点的横坐标为
（A） （B） （C） （D）
（6）已知向量是两个单位向量，则“”是
“”的
（A）充分不必要条件 （B） 必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D） 既不充分也不必要条件
（7）已知函数（）的部分图象如图所示，则的值分别为
（A） （B） （C） （D）
（8） 若函数的值域为，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。
（9） 已知等差数列满足，则公差=_____.
（10）已知向量， ，若与平行，则的值为______.
（11）已知函数是定义在R上的周期为2的奇函数，当时, ，
则.
（12）如图，弹簧挂着一个小球作上下运动，小球在秒时相对于平衡位置的高度（厘米）由如下关系式确定：，则小球在开始振动（即）时的值为_________，小球振动过程中最大的高度差为__________厘米.
（13） 能够说明 “设是实数.若，则” 是假命题的一个实数的值
为______.
（14） 已知非空集合满足以下两个条件：
（ⅰ）；
（ⅱ）集合的元素个数不是中的元素，集合的元素个数不是中的元素.
那么用列举法表示集合为 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。
（15）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调递增区间.
（16） （本小题13分）
已知等比数列满足， .
（Ⅰ）求的通项公式及前项和；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
（17） （本小题13分）
如图，△为正三角形， ，，.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求，的长.
（18）（本小题13分）
已知函数.
（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；
（Ⅱ）求函数在上的最大值；
（Ⅲ）求证：存在唯一的，使得.
（19） （本小题14分）
已知数列满足，，（N*）.
（Ⅰ）写出的值；[KS5UKS5U]
（Ⅱ）设，求的通项公式；
（Ⅲ）记数列的前项和为，求数列的前项和的最小值.
(20) （本小题14分）
已知函数.
（Ⅰ）求证：1是函数的极值点;
（Ⅱ）设是函数的导函数，求证：.
海淀区高三年级第一学期期中练习参考答案 2017.11
数 学（文科）
阅卷须知:
1.评分参考中所注分数，表示考生正确做到此步应得的累加分数.
2.其它正确解法可以参照评分标准按相应步骤给分.
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
选项
C
D
C
D
A
C
B
D
二、填空题:本大题共6小题，每小题5分，共30分.(有两空的小题第一空3分)
9. 10. 11.
12. ； 13. 14. 或 （答对一个给3分）
三、解答题: 本大题共6小题，共80分.
15.（本题13分）
解：（I） …………1分
……3分 （、值各1分）
…………4分
（II） …………8分 （一个公式2分）[KS5UKS5U]
. …………10分
令 …………12分
得
所以函数的单调递增区间为. …………13分
说明：①如果没有代入的过程或没有和的函数值，但最后结果正确扣1
分；如果第（I）问先化简的，按照第（II）问相应的评分标准给分。
② （II）问中解析式化简可以写成，参照上面步骤给分。
③求单调区间时，正确，但没有写成区间形式、无，只要居其一扣一分，不累扣。
16．（本题13分）
解：（Ⅰ）设等比数列的公比为.
因为，且
所以，得， …………2分
又因为，所以 ，得，. …………4分
所以（N+）， …………5分
所以 …………6分
…………7分
（Ⅱ）因为，所以， …………9分
所以. …………11分
所以数列的前项和
…………12分
. …………13分
17．（本题13分）
解：（Ⅰ）因为△为正三角形，，所以在△中，，所以.
所以 …………1分
= …………3分 （一个公式2分）
因为在△中，， …………4分
所以. …………5分
所以. …………6分
（Ⅱ）方法1：
在△中，，由正弦定理得：， ……8分
所以 …………9分
又在正△中，， ，
所以在△中，， …………10分
由余弦定理得：
…………12分
所以的长为. …………13分
方法2：在△中，由正弦定理得：
， …………8分
所以, …………9分
…………10分
所以
. …………11分
在△中，由余弦定理得
…………12分[KS5UKS5U]
.
所以的长为. …………13分
18. （本题13分）
解：（Ⅰ）由，得 , …………1分
所以，又 …………3分
所以曲线在点处的切线方程为：，
即： . …………4分
（Ⅱ）令，得 . …………5分
与在区间的情况如下：
-
0
+
极小值
…………7分
因为 …………8分
所以函数在区间上的最大值为6. …………9分
（Ⅲ）证明：设=，
则， …………10分
令，得.
与 随x的变化情况如下：
1
0
0
极大值
极小值
则的增区间为，，减区间为. …………11分
又，，所以函数在没有零点， ……12分
又，
所以函数在上有唯一零点. …………13分
综上，在上存在唯一的，使得.
19.（本题14分）
解：（Ⅰ）
； …………2分
（Ⅱ）设，
则， …………4分
所以是以1为首项，2为公差的等差数列， …………5分
所以. …………6分
（Ⅲ）解法1：，，
所以是以1为首项，为公差的等差数列， …………7分
所以数列的前n个奇数项之和为 …………8分
由（Ⅱ）可知，，
所以数列的前n个偶数项之和为 …………10分
所以， …………11分
所以.
因为，且
所以数列是以为首项，为公差的等差数列. …………12分
由可得， …………13分
所以当或时，数列的前项和的最小值为. …………14分
解法二：由得
①， …………7分
②， …………8分
把①②两个等式相加可得，，
所以. …………10分
所以数列的前项和， …………11分
（或：由得 …………7分
…………10分
…………11分）
所以.
因为，且
所以数列是以为首项，为公差的等差数列. …………12分
由可得， …………13分
所以当或时，数列的前项和的最小值为. …………14分
20．（本题14分）
（Ⅰ）证明：
证法1：的定义域为 ……………1分
由 得
， ……………2分
. ………………3分
当时，，，故在上单调递增；
………………4分
当时，，，故在上单调递减；
……………5分
(此处为推理说明，若用列表说明则扣1分)
所以1是函数的极值点. ………………6分
证法2：（根据极值的定义直接证明）
的定义域为 ……………1分
， ……………3分
当时，，即； ………………4分
当时，，即； ……………5分
根据极值的定义， 1是的极值点. ………………6分
（Ⅱ）由题意可知，
证法1：，
令，
，故在上单调递增. ………………7分
又，又在上连续，
使得，即， ………………8分
.（*） ………………9分
随x的变化情况如下：
↘
极小值
↗
………………10分
. ………………11分
由（*）式得，代入上式得
. ………………12分
令，
，故在上单调递减. ………………13分
，又，.
即 . ………………14分
证法2：，
令， ………………7分
，令得. ………………8分
随x的变化情况如下：
↘
极小值
↗
，即，当且仅当时取到等号.………………10分
，令得. ………………11分
随x的变化情况如下：
↘
极小值
↗
………………12分
，即，当且仅当时取到等号. ………………13分
.
即. ………………14分
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