2017年下学期期中考试高三数学（文科）试卷
满分：150分 时量：120分钟
一、选择题：（本大题共12个小题,每小题5分,共60分．）
1.已知复数的共轭复数为虚数单位），则在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．已知是实数集，集合或，集合，则（）
A． B． C． D．
3．为检验某校高一年级学生的身高情况，现采用先分层抽样后简单随机抽样的方法，抽取一个容量为300的样本，已知每个学生被抽取的概率为0.25，且男女生的比例是，则该校高一年级男生的人数是（ ）
A．600 B．1200 C．720 D．900
4．在等比数列中，，则（ ）
A．6 B． C． D．8
5．如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．空间中有不重合的平面，，和直线，，，则下列四个命题中正确的有（ ）
：若且，则； ：若且，则；
：若且，则； ：若，且，则.
A．， B．， C．， D．，
7．《九章算术》中介绍了一种“更相减损术”，用于求两个正整数的最大公约数，将该方法用算法流程图表示如下，若输入，，则输出的结果为（ ）
A． ，
B． ，
C．，
D．，
8．已知某几何体的外接球的半径为，其三视图如图所示，图中均为正方形，则该几何体的体积为（ ）
A．16 B． C． D．8
9．变量，满足，则的取值范围（ ）
A． B． C． D．
10．已知函数的图象在和处的切线相互垂直，则（ ）
A． B．0 C．1 D．2
11．过抛物线（）的焦点作一条斜率为1的直线交抛物线于，两点向轴引垂线交轴于，，若梯形的面积为，则（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
12．若对于任意的，都有，则的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（每小题5分，满分20分）
13．已知向量，，若，则实数等于 ．
14．已知圆：，点，，记射线与轴正半轴所夹的锐角为，将点绕圆心逆时针旋转角度得到点，则点的坐标为 ．
15．等差数列的前项和为，已知，，则当时， ．
16．以双曲线的两焦点为直径作圆，且该圆在轴上方交双曲线于，两点；再以线段为直径作圆，且该圆恰好经过双曲线的两个顶点，则双曲线的离心率为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分12分）锐角的内角，，的对边分别为，，，已知的外接圆半径为，且满足.
（1）求角的大小；
（2）若，求周长的最大值.
18．（本小题满分12分）
在下图所示的几何体中，底面为正方形，⊥平面，，且，为线段的中点．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求四棱锥的体积．
19．(本小题满分12分)
某学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月11日至3月15月的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：
日期
3月11日
3月12日
3月13日
3月14日
3月15日
昼夜温差()
10
11
13
12
8
发芽数(颗)
23
25
30
26
16
（1）从3月11日至3月15日中任选2天，记发芽的种子数分别为，求事件“均不小于25”的概率；
（2），请根据3月12日至3月14日的三组数据，求出关于的线性回归方程；
（3），若由线性回归方程得到的估计数据与所需要检验的数据误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试用3月11日与3月15日的两组数据检验，问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？
（参考公式：或，）
20．（本小题满分12分）椭圆（）的上下左右四个顶点分别为，，，，轴正半轴上的某点满足，.
（1）求椭圆的标准方程以及点的坐标；
（2）过点作倾斜角为锐角的直线交椭圆于点，过点作直线交椭圆于点，，且，是否存在这样的直线，使得，，的面积相等？若存在，请求出直线的斜率；若不存在，请说明理由.
21．（本小题满分12分）已知函数.
（1）若同时存在极大值和极小值，求的取值范围；
（2）设，若函数的极大值和极小值分别为，，求的取值范围.
选考题：（共10分）请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l的参数方程为.
（1）若a=−1，求C与l的交点坐标；
（2）若C上的点到l的距离的最大值为，求a.
23．选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求的最小值；
（2）若在上的最大值为，求的值.
数学（文科）参考答案
一、选择题
1-5:CBCDB 6-10:DACDA 11、12：AC
二、填空题
13．2 14． 15．15 16．
三、解答题
17．解：（1）由正弦定理，得，
再结合，得，
解得，由为锐角三角形，得.
（2）由、及余弦定理，得，
即，
结合，得，
解得（当且仅当时取等号），
所以（当且仅当时取等号），
故当为正三角形时，周长的最大值为6.
18．解：（Ⅰ）连接AC，BD．令AC交BD于F．连接NF
∵四边形ABCD是正方形，∴F为BD的中点．
∵N为PB的中点．∴且．
又∵EC∥PD且，
∴NF∥EC且NF=EC． ∴四边形NFCE为平行四边形．
∴NE∥FC，即NE∥AC．……………4分
又∵PD⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴PD⊥AC．
∴NE⊥PD． …………………6分
（Ⅱ）∵PD⊥平面ABCD，平面PDCE，∴平面PDCE⊥平面ABCD．
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，且BC平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．∴BC是四棱锥B－PDCE的高． ……9分
∵，四边形ABCD是正方形，∴BC=CD=2，EC=1
∵，
∴四棱锥B－CEPD的体积． ...12分
19．解：1）的所有取值情况有（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16），共有10个…………………2分
设“均不小于25”为事件A，则包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26）
所以，故事件A的概率为………………………4分
（1） 由数据得，，，，[来源:Zxxk.Com]
………………6分
由公式，得，
所以关于的线性回归方程为……………………………8分
（3）当时，，|22-23|，当时， |17-16|
所以得到的线性回归方程是可靠的。……………………………12分
20．解：（1）设点的坐标为（），易知，，
，.
因此椭圆标准方程为，点坐标为.
（2）设直线的斜率为，，，，则：，：
、的面积相等，则点，到直线的距离相等.
所以，解之得或（舍）.
当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：
，所以
所以；
所以的面积为.
当时，直线的方程可化为：，代入椭圆方程并整理得：
，解之得或（舍）
所以的面积为.
所以，满足题意.
21．解：（1）由（），得.
依题意，得方程有两个不等的正根，设为，，
那么，解得，
故的取值范围是.
（2）由（1）知，令，由，得.
.
令，，则，
从而在上单调递减，而，，
因此，.
22．
.
当时，的最大值为.由题设得，所以；
当时，的最大值为.由题设得，所以.
综上，或.
23．解：（1）当时，.
当时，；
当时，；
当时，.
由单调性知，的最小值为.
（2）令，得；令，得.
①当，即时，，，
最大值为，解得.
②当，即时，
其最大值在区间两个端点处取得.
若，解得，此时，舍去；
若，解得，舍去；
③当，即时，，，
最大值为，解得，舍去.
综上所述，.
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