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理科数学试题(附中版)－
炎德·英才大联考湖南师大附中2018届高三月考试卷(三)
数 学(理科)
命题人：周正安 杨章远 审题人：李昌平
时量：120分钟 满分：150分
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
(1)复数－的共轭复数是(B)
(A)1－3i (B)1＋3i (C)－1－3i (D)－1＋3i
(2)已知集合A＝，B＝，则A∪B＝(C)
(A)[0，5) (B)(0，5) (C)R (D)(0，＋∞)
(3)《张丘建算经》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女不善织，日减功迟，初日织五尺，末日织一尺，今共织九十尺，问织几日？”，已知“日减功迟”的具体含义是每天比前一天少织同样多的布，则此问题的答案是(C)
(A) 10日 (B) 20日 (C) 30日 (D) 40日
【解析】易知每日织布数量构成一个等差数列，设此数列为，则a1＝5，an＝1，Sn＝90.
所以＝90，解得n＝30，选C.
(4)已知函数f(x)＝(e为自然对数的底数)的图象与直线x＝e、x轴围成的区域为E，直线x＝e、y＝1与x轴、y轴围成的区域为F，在区域F内任取一点，则该点落在区域E内的概率为(A)
(A) (B) (C) (D)
(5)若双曲线＋＝1的渐近线方程为y＝±x，则m的值为(B)
(A)1 (B) (C) (D)5
(6)执行如图所示的程序框图，若输出的S的值为2，则判断框中填入的条件可以是(B)
(A)n0.
将直线AM的方程y＝(x＋2)代入椭圆方程＋＝1，得
(27＋t2)x2＋4t2x＋4t2－108＝0，
由xA·xP＝，xA＝－2得xP＝－，则yP＝.(6分)
再将直线BM的方程y＝(x－2)代入椭圆方程＋＝1，得
(3＋t2)x2－4t2x＋4t2－12＝0，
由xB·xQ＝，xB＝2得xQ＝，则yQ＝.(8分)
故四边形APBQ的面积为S＝·＝2＝2
＝＝＝.(10分)
由于λ＝≥6，且λ＋在[6，＋∞)上单调递增，故λ＋≥8，
从而，有S＝≤6.
当且仅当λ＝6，即t＝3，也就是点M的坐标为(4，3)时，四边形APBQ的面积取最大值6.(12分)
注：本题也可先证明”动直线PQ恒过椭圆的右焦点F(1，0)”，再将直线PQ的方程x＝ty＋1(这里t∈R)代入椭圆方程＋＝1，整理得(3t2＋4)y2＋6ty－9＝0，然后给出面积表达式S＝2＝2＝2，令m＝t2＋1≥1，
则S＝24＝24≤6，当且仅当m＝1即t＝0时，Smax＝6.
(21)(本小题满分12分)
已知函数f(x)＝ex－ax(其中e为自然对数的底数)，g(x)＝4ln(x＋1)．
(Ⅰ)当a＝1时，求f(x)的最小值；
(Ⅱ)记h(x)＝f(x)＋g(x)，请证明下列结论：
①若a≤4，则对任意x>0，有h(x)>1；
②若a≥5，则存在实数x>0，使h(x)0，有h(x)>h(0)＝1；(8分)
②若a≥5，令φ(x)＝h′(x)＝ex＋－a.
则φ′(x)＝ex－在(0，＋∞)上单调递增，且φ′(0)＝－30，
故存在唯一的x0∈(0，1)，使φ′(x0)＝0，
则当x∈(0，x0)时，φ′(x)0)，
直线l的普通方程为y＝x－2.(4分)
(Ⅱ)将直线l的参数方程代入曲线C的直角坐标方程y2＝2ax中，
得t2－2(4＋a)t＋8(4＋a)＝0，设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，
则有t1＋t2＝2(4＋a)，t1t2＝8(4＋a)，(6分)
∵|PA|·|PB|＝|AB|2，∴t1t2＝(t1－t2)2，即(t1＋t2)2＝5t1t2，
∴(t1＋t2)2＝40(4＋a)，a2＋3a－4＝0，解之得：a＝1或a＝－4(舍去)，
∴a的值为1.(10分)
(23)(本小题满分10分)选修4－5：不等式选讲
已知函数f(x)＝－(m∈R)．
(Ⅰ)当m＝3时，求不等式f(x)≥5的解集；
(Ⅱ)若不等式f(x)≤7对任意实数x恒成立，求m的取值范围．
【解析】(Ⅰ)当m＝3时，f(x)≥5即|x＋6|－|x－3|≥5，
①当x3时，得9≥5，成立，所以x>3.
故不等式f(x)≥5的解集为{x|x≥1}．(5分)
(Ⅱ)因为|x＋6|－|m－x|≤|x＋6＋m－x|＝|m＋6|，
由题意得|m＋6|≤7，则－7≤m＋6≤7，
解得－13≤m≤1，
故m的取值范围是[－13，1]．(10分)
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