浙江省嘉兴市第一中学2018届高三上学期期中考试数学试题（含答案）.doc

嘉兴市第一中学2017学年第一学期期中考试 ‎ 高三数学 试题卷 满分[150]分 ，时间[120]分钟 2017年11月 一、选择题 : 本大题共10小题, 每小题4分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. ‎ ‎1.设全集，集合则集合=（ ▲ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎2.若复数满足,其中为虚数单位,则=（ ▲ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 下列函数中，其图象既是轴对称图形又在区间上单调递增的是（ ▲ ）‎ ‎ A. B. C. D. ‎ 4. 已知直线，其中，则“”是 ‎“”的（ ▲ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎5. 为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ▲ ）‎ A.向右平移个单位 B.向右平移个单位 ‎ C.向左平移个单位 D.向左平移个单位 ‎6.某校的四位同学准备从三门选修课中各选一门，若要求每门选修课至少有一人选修，且不选修同一门课，则不同的选法有（ ▲ ）‎ A.36种 B.72种 C.30种 D.66种 ‎7.若是两个相交平面，则在下列命题中，真命题的序号为（ ▲ ）‎ ‎①若直线，则在平面内，一定不存在与直线平行的直线．‎ ‎②若直线，则在平面内，一定存在无数条直线与直线垂直．‎ ‎③若直线，则在平面内，不一定存在与直线垂直的直线．‎ ‎④若直线，则在平面内，一定存在与直线垂直的直线．‎ ‎ A．①③ B．②③ C．②④ D．①④‎ 8. 甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩。老师说：你们四人中有2‎ 位优秀，2位良好，我现在给甲看乙、丙的成绩，给乙看丙的成绩，给丁看甲的成绩。看 后甲对大家说：我还是不知道我的成绩。根据以上信息，则（ ▲ ）‎ A.乙可以知道四人的成绩 B.丁可以知道四人的成绩 C.乙、丁可以知道对方的成绩 D.乙、丁可以知道自己的成绩 ‎9．正方体中，点在上运动（包括端点），则与所成角的取值范围是（ ▲ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10.设函数，若存在唯一的整数使得，则实数的取值范围是（ ▲ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ 二、填空题：本大题有7小题, 前4小题每小题6分,后3小题每题4分 共36分. 请将答 ‎ 案填写在答题卷中的横线上.‎ ‎11. 若双曲线的离心率为，则实数 ； ‎ 渐近线方程为__________．‎ 12. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积 是 ；体积是__________．‎ ‎13. 二项式中，所有的二项式系数之和为 ；系数最大的项为_________． ‎ ‎14.已知的方程为，直线与交于两点，‎ 当取最大值时 __________，面积最大时，__________．‎ ‎15. 已知点,为坐标原点,动点满足,则点所构成的平面区域的面积是__________．‎ 16. 设直线与双曲线的两条渐近线分别交于点 ‎，若点满足，则该双曲线的离心率为 ．‎ A P B C E F O ‎17. 如图，已知为圆的直径，为圆上一动点，圆所在平面，且，过点作平面，交分别于，当三棱锥体积最大时，_________．‎ 三、 解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎18. （本题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，求的值.‎ 19. ‎（本题满分15分）‎ 如图①，在矩形中，，是的中点，将三角形沿翻折到图②的位置，使得平面平面.‎ ‎（1）在线段上确定点，使得平面，并证明；‎ ‎（2）求与所在平面构成的锐二面角的正切值. ‎ ‎20.（本题满分15分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求的取值范围.‎ ‎21.如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．不过原点的直线与相交于两点，且线段被直线平分．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的面积取最大时直线的方程．‎ ‎22．（本题满分15分）‎ 已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和，证明：当时，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）．‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ 密 封 线 班 级 学 号 姓 名 ‎（密 封 线 内 不 要 答 题）‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ ‎●●●●●●‎ 嘉兴市第一中学2017学年第一学期期中考试 ‎ 高三数学 答题卷 ‎ ‎ 满分[150]分 ，时间[120 ]分钟 2017年11月 ‎ ‎ 一、选择题：本大题共10小题, 每小题4分, 共40分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的. ‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 D B D A A C C D D A 二、填空题：本大题有7小题, 前4小题每小题6分,后3小题每题4分 共36分. 请将答 ‎ 案填写在答题卷中的横线上.‎ ‎11． 2 12． ‎ ‎13． 32 14． 2 1或7 ‎ ‎15． 4 16． ‎ ‎17． ‎ 三、解答题：本大题共5小题，共74分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。‎ ‎18．（本题满分14分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）若，求的值.‎ 解：（1）＝…………4分 所以，函数的单调递增区间为：…………7分 ‎（2）， ，…………9分 又，， …………11分 ‎……14分 ‎ ‎ ‎19．（本题满分15分）‎ 如图①，在矩形中，，是的中点，将三角形沿翻折到图②的位置，使得平面平面.‎ ‎（1）在线段上确定点，使得平面，并证明；‎ ‎（2）求与所在平面构成的锐二面角的正切值. ‎ ‎(Ⅰ)点是线段中点时，平面.‎ 证明：记，的延长线交于点，因为，所以点是的中点，‎ ‎ 所以.‎ 而在平面内，在平面外，‎ 所以平面.……………………7分 ‎(Ⅱ)在矩形中，，，‎ 因为平面平面，且交线是，‎ 所以平面.‎ 在平面内作，连接，‎ 则.‎ 所以就是与所在平面构成的锐 二面角的平面角.‎ 因为,，‎ 所以.……………………15分 ‎ 20. （本题满分15分）‎ 已知函数.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若有两个零点，求a的取值范围. [Z|xx|k.Co ‎（1）‎ 若时，，所以在上为减函数 若时，，则 则：在上为减函数，上为增函数 ‎（2）即可 ‎ ‎ 令，令在上为减函数 ‎ 又因为：，所以，所以， 所以：a的取值范围为 ‎21．如图，椭圆的离心率为，其左焦点到点的距离为．不过原点的直线与相交于两点，且线段被直线平分．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）求的面积取最大时直线的方程．‎ ‎【解析】‎ ‎(Ⅰ)由题：； (1)‎ 左焦点(﹣c，0)到点P(2，1)的距离为：． (2)‎ 由(1) (2)可解得：．‎ ‎∴所求椭圆C的方程为：．‎ ‎(Ⅱ)易得直线OP的方程：y＝x，设A(xA，yA)，B(xB，yB)，R(x0，y0)．其中y0＝x0．‎ ‎∵A，B在椭圆上，‎ ‎∴．‎ 设直线AB的方程为l：y＝﹣(m≠0)，‎ 代入椭圆：．‎ 显然．∴﹣＜m＜且m≠0．‎ 由上又有：＝m，＝．‎ ‎∴|AB|＝||＝＝．‎ ‎∵点P(2，1)到直线l的距离为：．‎ ‎∴SABP＝d|AB|＝|4-m|，‎ 当时，最大．‎ 此时直线l的方程．‎ ‎22．（本题满分15分）‎ 已知数列满足，，，记，分别是数列，的前项和，证明：当时，‎ ‎（1）；‎ （2） ‎；‎ ‎（3）．‎ 解：（1）由及知，故，‎ ‎ 因此.‎ ‎ （2）由取到数得：，平方得：，从而 ‎，累加得，即. ‎ （3） 由（2）知，由累加得 又因为，所以，；又由，即得 当时，，‎ 累加得 当时，成立.‎ 因此，‎