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2018届高三年级考试试卷
理科数学
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题（本大题共12个小题,每个小题5分,满分60分.每个小题的四个选项中,只有一项符合要求）
1.已知集合是整数集,则
2.若复数为纯虚数,其中则的值为
3．在△ABC中，若，则＝
A B．
C． D．
4.已知命题则有关命题的真假及的论述正确的是
假命题,
真命题,
假命题,
真命题,
5.函数的最小正周期为
6．向量,均为非零向量，，则,的夹角为
A． B． C． D．
7. 为了得到函数的图像，可以将函数的图像（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向右平移个单位 D. 向左平移个单位
8. 函数的图象可能是
(A) (B) (C) (D)
9. 已知定义在上的函数满足：①对于任意的，都有；②函数是偶函数；③当时，，设，，，则的大小关系是 （ ）
A． B． C． D．
10．已知函数，且，，则函数图象的一条对称轴的方程为( )
A． B． C． D．
11.若定义在上的函数满足则不等式的解集为
12. 已知函数，若恒成立，则实数的取值范围是
（A） （B） （C） （D）
第II卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本小题共4个小题,每小题5分,满分20分.
13. 设为锐角，若，则的值为
14．已知向量，，且在上的投影为，则向量与夹角为_________．
15．若定义在[－1，＋∞）上的函数f（x）＝,则＝_____
16、已知定义在R上的函数满足：，
，则方程在区间上的所有实根之和为
三、本大题共6小题，共70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本小题满分12分）
已知三个集合：，，
.
（1）求；
（2）已知，求实数的取值范围.
18．（本小题满分12分）
已知向量， ，设函数．
（1）求函数的单调增区间；
（2）已知的三个内角分别为若，，边，
求边．
19.(本题满分12分)
已知函数.
（1）求函数的图象在点处的切线的方程；
（2）讨论函数的单调性.
20.（本小题满分12分）
如图所示，某公路AB一侧有一块空地△OAB，其中OA＝3 km，OB＝3 km，∠AOB＝90°．当地政府拟在中间开挖一个人工湖△OMN，其中M，N都在边AB上（M，N不与A，B重合，M在A，N之间），且∠MON＝30°．
（1）若M在距离A点2 km处，求点M，N之间的距离；
（2）为节省投入资金，人工湖△OMN的面积要尽可能小．试确定M的位置，使△OMN的面积最小，并求出最小面积．
21. （本小题满分12分）
已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）是否存在正整数，使函数在上单调递增，若存在，求出正整数
的所有值，若不存在，说明理由.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
22. （本小题满分10分）选修4-4:极坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为(α为参数)，若以直角坐标系中的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为(t为参数)．
(1)求曲线M的普通方程和曲线N的直角坐标方程；
(2)若曲线N与曲线M有公共点，求t的取值范围．
23．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）求证：.
理科数学参考答案
1—12 CAADB ABCDC AB
13. . 14． 15. 16.-7
17．（本小题满分12分）
解：（1）, . …………………………………2分
,. ……………………………………….4分
. …………………………………………………..………..6分
（2）,
……………………………………………..…….…..7分
……………………………………………..…..8分
即解得 ……………………..……..11分
所以实数的取值范围是 ………………………………………..….12分
18. （本小题满分12分）
解： ．
…………………………4分
∵R，由 得
……… 6分
∴函数的单调增区间为． ………………7分
（2）∵，即，∵角为锐角，得， ……9分
又，∴，∴
∵，由正弦定理得 ……… 12分
19. (本题满分12分)
（1） ……………1分
…………………………2分
…………………………3分
切线方程： 即……………4分
（2）,……………………5分
令，
①当时，，所以在上单调递增。………6分
②当时，令，，
所以在上单调递增，在上单调递减。……………9分
③当时，令，，
所以在上单调递减，在上单调递增。………………12分
20. (本题满分12分)
解：（1）在△OAB中，因为OA＝3，OB＝3，∠AOB＝90°，所以∠OAB＝60°．
在△OAM中，由余弦定理得OM2＝AO2＋AM2－2AO·AM·cosA＝7，
所以OM＝，所以cos∠AOM＝＝，
在△OAN中，sin∠ONA＝sin(∠A＋∠AON)＝ sin(∠AOM＋90°)＝cos∠AOM＝．
在△OMN中，由＝，得MN＝×＝． ………6分
（2）：设∠AOM＝θ，0＜θ＜
在△OAM中，由＝，得OM＝．
在△OAN中，由＝，得ON＝＝．
所以S△OMN＝OM·ON·sin∠MON＝···
＝＝＝
＝＝，0＜θ＜．
当2θ＋＝，即θ＝时，S△OMN的最小值为．
所以应设计∠AOM＝，可使△OMN的面积最小，最小面积是 km2．----------12分
21.解：
（1）：由已知得, ---------1分
得. --------2分
在处的切线方程为即 ---5分
（2）法一：令,依题意在上恒成立, . ------7分
① 当时, ,在上单调递增,
② 故符合题意 --------9分
③ 当时，由得. 取值变化情况如下表，
-
0
+
减
极小值
增
依题意即. -------------------------10分
令，则,在上单调递减，
由,知时,，故此时只有符合题意.
综上，所求正整数的值有1,2,3. ----------12分
法二：
由在上恒成立，得在上恒成立。---6分
令，则， ---------7分
令，得在上恒成立， ----8分
又，[
从而，使，即。 ---------10分
进而知取值变化情况如下表，
-
0
+
减
极小值
增
故符合题意的正整数K为1,2,3. -------------12分
22解 (1)由x＝cosα＋sinα得x2＝(cosα＋sinα)2＝cos2α＋2sinαcosα＋sin2α，
所以曲线M可化为y＝x2－1，，
由ρsin＝t得ρsinθ＋ρcosθ＝t，
所以ρsinθ＋ρcosθ＝t，所以曲线N可化为x＋y＝t.
(2)若曲线M，N有公共点，则当直线N过点,时满足要求，此时t＝，并且向左下方平行移动直到相切之前总有公共点，相切时仍然只有一个公共点，
联立，得x2＋x－1－t＝0，
由Δ＝1＋4(1＋t)＝0，解得t＝－.
综上可求得t的取值范围是－≤t≤
23．解：（1）当a=2时，原不等式等价于
解得故不等式的解集是
（2） 证明：
当且仅当时等号成立。
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