绝密★启用前
高三数学（文科）试题
德州联考预测命制
考试范围：一轮复习；考试时间：120分钟；命题单位：德州市教科院
题号
一
二
三
总分
得分
距离德州期中考试还有14天，请同学们认真复习！ 注意：本试卷包含Ⅰ、Ⅱ两卷。第Ⅰ卷为选择题，所有答案必须用2B铅笔涂在答题卡中相应的位置。第Ⅱ卷为非选择题，所有答案必须填在答题卷的相应位置。答案写在试卷上均无效，不予记分。
本题共12题，计60分
选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 已知f（x）=ax2+（b-a）x+c-b（其中a＞b＞c），若a+b+c=0，x1、x2为f（x）的两个零点，则|x1-x2|的取值范围为（ ）
A. （，2） B. （2，2） C. C. （1，2） D. （1，2）
【答案】A
【解析】∵ ，
∴，，
∴
由根与系数的关系可得，
∵，
∴，
∴
∴
∴，故选A
2. 的图象如图所示，为了得到f（x）的图象，则只要将g（x）=cos2x的图象（ ）
A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度
【答案】A
【解析】根据的图象可得，，，则
∴
根据五点法作图可得，则
∴
故将函数向右平移个单位长度，可得
故选A
3. 已知向量，夹角为，||=2，对任意x∈R，有|+x|≥|-|，则|t-|+|t-|（t∈R）的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】对任意x∈R，有|+x|≥|-|，两边平方得，则
即有，即，则
∵ 向量，夹角为，||=2
∴
∴
∴
设，，建立平面直角坐标系，如图所示：
则，
∴，
∴它表示点与点、的距离之和的2倍
当三点共线时，取得最小值，即，故选D
4. 下列关于正弦定理的叙述中错误的是（ ）
A. 在△ABC中，a：b：c=sinA：sinB：sinC B. 在△ABC中，若sin2A=sin2B，则A=B
C. 在△ABC中，若sinA＞sinB，则A＞B；若A＞B，则sinA＞sinB D. 在△ABC中，=
【答案】B
【解析】对于A，在中，由正弦定理可得，，，所以，故正确；对于，若，则或，可得或，故错误；对于，若，根据正弦定理，，得，再根据大边对大角可得，故正确；对于，由，再根据比例式的性质可得，故正确.
5. a、b、c＞0，“lna、lnb、lnc成等差数列”是“2a、2b、2c成等比数列”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】试题分析：从三个数字成等差数列入手，整理出a，b，c之间的关系，两个条件所对应的关系不同，这两者不能互相推出．
解：lna、lnb、lnc成等差数列
∴2lnb=lna+lnc
∴b2=ac
当2b=a+c时，
2a、2b、2c成等比数列，
这两个条件不能互相推出，
∴是既不充分又不必要
故选D．
考点：等比关系的确定．
6. 在等差数列{an}中，a1＞0，a2012+a2013＞0，a2012•a2013＜0，则使Sn＞0成立的最大自然数n是（ ）
A. 4025 B. 4024 C. 4023 D. 4022
【答案】B
【解析】∵ 为等差数列，，a2012+a2013＞0，a2012•a2013＜0
∴，
∴
∵，
∴
∵，
∴
∴使Sn＞0成立的最大自然数n是4024，故选B.
7. 已知实数x，y满足，则的取值范围是（ ）
A. B. [1，5] C. D. [0，5]
【答案】C
【解析】由约束条件作出可行域如图所示：
可得，
的几何意义为可行域内的动点与定点连线的斜率
∵，
∴的取值范围为，故选C
点睛：本题为线性规划问题.掌握常见的几种目标函数的最值的求法：①，利用截距的几何意义；②，利用斜率的几何意义；③，利用距离的几何意义.往往是根据题中给出的不等式，求出的可行域，再利用的条件约束，作出图形，数形结合，求得目标函数的最值.
8. 对任意实数x，若不等式4x-m•2x+1＞0恒成立，则实数m的取值范围是（ ）
A. m＜2 B. -2＜m＜2 C. m≤2 D. -2≤m≤2
【答案】A
【解析】试题分析：由已知（2x）2﹣m•2x+1＞0恒成立，由此利用根的判别式能求出实数m的取值范围．
解：∵对任意实数x，不等式4x﹣m•2x+1＞0恒成立，
∴（2x）2﹣m•2x+1＞0恒成立，
∴△=m2﹣4＜0，
解得﹣2＜m＜2．
故选：B．
考点：指、对数不等式的解法．
9. 某企业生产A、B、C三种家电，经市场调查决定调整生产方案，计划本季度（按不超过480个工时计算）生产A、B、C三种家电共120台，其中A家电至少生产20台，已知生产A、B、C三种家电每台所需的工时分别为3、4、6个工时，每台的产值分别为20、30、40千元，则按此方案生产，此季度最高产值为（ ）千元．
A. 3600 B. 350 C. 4800 D. 480
【答案】A
【解析】设本季度生产家电台、B家电台，则生产家电C：台，总产值为千元，由题意可列表格：
家电名称
A
B
C
工时
3
4
6
产值（千元）
20
30
40
则根据题意可得
由题意得满足，即，画出可行域如图所示：
解方程组，得，即
作出直线，平移过点时，目标函数有最大值，，故选A
10. 设a，b∈（0，+∞），则“a＞b”是“logab＜1”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】D
【解析】当时，，反之取满足了，但是不满足，所以“a＞b”是“logab＜1”的既不充分也不必要条件，故选D
11. 某校高二（1）班每周都会选出两位“迟到之星”，期中考试之前一周“迟到之星”人选揭晓之前，小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生”，小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”，小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”，小谭说：“小赵说的对”．已知这四人中有且只有两人的说法是正确的，则“迟到之星”是（ ）
A. 小赵、小谭 B. 小马、小宋 C. 小马、小谭 D. 小赵、小宋
【答案】A
【解析】小马说：“两个人选应该是在小赵、小宋和小谭三人之中产生” ，如果小马说假话，则小赵、小宋、小谭说的都是假话，不合题意，所以小马说的是真话；小赵说：“一定没有我，肯定有小宋”是假话，否则，小谭说的是真话，这样有三人说真话，不合题意；小宋说：“小马、小谭二人中有且仅有一人是迟到之星”是真话；小谭说：“小赵说的对”，是假话；这样，四人中有且只有小马和小宋的说法是正确的，且“迟到之星”是小赵和小谭，故选A.
12. 函数f（x）在实数集R上连续可导，且2f（x）-f′（x）＞0在R上恒成立，则以下不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. f（-2）＞e3f（1） D. f（-2）＜e3f（1）
【答案】A
【解析】令，则
∵2f（x）-f ′（x）＞0在R上恒成立
∴在R上恒成立，在R上单调递减
∴，即 ，，即
故选A
点睛：解答本题的关键是构造新函数，主要考查导数运算法则的逆用.根据含导函数的不等式构造原函数时要注意以下几种类型考虑：①原函数是函数和差的组合；②原函数是函数乘除的组合；③原函数是函数与的乘除的组合；④原函数是函数与的乘除的组合；⑤原函数是函数与的乘除的组合；⑥原函数是函数与的乘除的组合.
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13. 设α为锐角，若sin（α+）=，则cos（2α-）= ______ ．
【答案】0
【解析】由于,因为锐角，若,故,所以,故应填答案.
点晴:三角变换是高中数学的重要内容之一,也是高考必考的重要考点.本题以锐角满足的等式为背景,考查的是诱导公式和三角变换中的变角的技巧.变角是三角变换的精髓,也解决问题的难点,本题先用诱导公式将化为,进而运用倍角公式化为,从而使得问题巧妙获解,体现了角变换的要义.
14. 设函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜）的图象关于直线对称，它的周期为π，则下列说法正确是 ______ ．（填写序号）
①f（x）的图象过点；
②f（x）在上单调递减；
③f（x）的一个对称中心是；
④将f（x）的图象向右平移|φ|个单位长度得到函数y=2sinωx的图象．
【答案】③
【解析】∵的周期为π
∴
又∵的图象关于直线对称
∴
∵0＜φ＜
∴
∴
当时，，即图象过点，故①错误；
由得
∴在上单调递减，故②错误；
由得，故当时，的对称点为，故③正确；
将的图象向右平移个单位长度得，故④错误；
故答案为③
15. 已知||=||=2，与的夹角为60°，则+在方向上的投影为 ______ ．
【答案】3
【解析】∵||=||=2，与的夹角为60°
∴
∴
∴+在方向上的投影为，故答案为3
16. 已知函数f（x）=x-sinx-cosx的图象在点A（x0，f（x0））处的切线斜率为1，则tanx0的值为 ______ ．
【答案】
【解析】函数的导数f′(x)＝－cosx＋sinx，由f′(x0)＝－cosx0＋sinx0＝1得，－cosx0＋sinx0＝1，即sin(x0－)＝1，所以x0－＝2kπ＋，k∈Z，即x0＝2kπ＋，k∈Z，所以tanx0＝tan(2kπ＋)＝tan＝－．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
17. 已知二次函数f（x）=x2+ax+b+1，关于x的不等式f（x）-（2b-1）x+b2＜1的解集为（b，b+1），其中b≠0．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）令g（x）=，若函数φ（x）=g（x）-kln（x-1）存在极值点，求实数k的取值范围，并求出极值点．
【答案】（I）a=-2；（II）见解析.
【解析】试题分析：（1）令f（b）-（2b-1）b+b2=1即可解出a；（2）求出φ′（x），令φ′（x）=0，讨论b的符号得出两根与区间（0，1）的关系，从而得出φ（x）的单调性，得出极值的情形．
试题解析：（I）∵f（x）﹣（2b﹣1）x+b2＜1的解集为（b，b+1），
即x2+（a﹣2b+1）x+b2+b＜0的解集为（b，b+1），
∴方程x2+（a﹣2b+1）x+b2+b=0的解为x1=b，x2=b+1，
∴b+（b+1）=﹣（a﹣2b+1），解得a=﹣2．
（II）φ（x）得定义域为（1，+∞）．
由（I）知f（x）=x2﹣2x+b+1，∴g（x）==x﹣1+，
∴φ′（x）=1﹣﹣=，
∵函数φ（x）存在极值点，∴φ′（x）=0有解，
∴方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0有两个不同的实数根，且在（1，+∞）上至少有一根，
∴△=（2+k）2﹣4（k﹣b+1）=k2+4b＞0．
解方程x2﹣（2+k）x+k﹣b+1=0得x1=，x2=
（1）当b＞0时，x1＜1，x2＞1，
∴当x∈（1，）时，φ′（x）＜0，当x∈（，+∞）时，φ′（x）＞0，
∴φ（x）在（1，）上单调递减，在（，+∞）上单调递增，
∴φ（x）极小值点为
（2）当b＜0时，由△=k2+4b＞0得k＜﹣2，或k＞2，
若k＜﹣2，则x1＜1，x2＜1，
∴当x＞1时，φ′（x）＞0，∴φ（x）在（1，+∞）上单调递增，不符合题意；
若k＞2，则x1＞1，x2＞1，
∴φ（x）在（1，）上单调递增，在（，）上单调递减，在（，+∞）单调递增，
∴φ（x）的极大值点为，极小值点为．
综上，当b＞0时，k取任意实数，函数φ（x）极小值点为；
当b＜0时，k＞2，函数φ（x）极小值点为，极大值点为
18. 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB=2米，AD=1米．
（1）要使矩形AMPN的面积大于9平方米，则DN的长应在什么范围内？
（2）当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．
【答案】（1）（0，）∪（2，+∞）；（2）矩形花坛的面积最小为8平方米.
【解析】试题分析：（1）由，列出函数关系式，通分化成标准形式，再求分式不等式的解集；（2）化简矩形的面积，利用基本不等式，即可求解.
试题解析：（1）设DN的长为x（x＞0）米，则|AN|=（x+1）米，
∵，∴|AM|=，∴S矩形AMPN=|AN|•|AM|=．
由S矩形AMPN＞9得＞9，又x＞0得2x2-5x+2＞0，解得0＜x＜或x＞2
即DN的长的取值范围是（0，）∪（2，+∞）．（单位：米）
（2）因为x＞0，所以矩形花坛的面积为：
y==2x++4≥4+4=8，当且仅当2x=，即x=1时，等号成立．
答：矩形花坛的面积最小为8平方米．
点睛：本题通过对相似的理解，列出面积公式，再结合实际背景得到变量的取值范围；在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足不等式中“正”（即条件要求中字母为正数）、“定”（不等式的另一边必须为定值）、“等”（等号取得的条件）的条件才能应用.
19. 已知向量，，设．
（Ⅰ）若f（α）=2，求的值；
（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足（2a-b）cosC=ccosB，求f（A）的取值范围．
【答案】（I）；（II）（2，3）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）根据利用向量的数量积的运用求解的解析式，，找出与的关系即可得解；（Ⅱ）利用正弦定理化简，求解角的大小．结合三角函数的性质求解即可.
试题解析：(Ⅰ)
，，.
（Ⅱ），，，， ，，，， ，取值范围为.
20. 已知{an}是等比数列，an＞0，a3=12，且a2，a4，a2+36成等差数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）设{bn}是等差数列，且b3=a3，b9=a5，求b3+b5+b7+…+b2n+1．
【答案】（1）an=3×2n-1；（2）6n2+6n.
【解析】试题分析：（1）由a2，a4，a2+36成等差数列，知2a4=a2+a2+36，再由{an}是等比数列，且an＞0，a3=12，故2q2-3q-2=0，由此能求出数列{an}的通项公式；（2）由{bn}是等差数列，根据b3=a3，b9=a5，可得{bn}的通项公式，再根据等差数列的求和公式即可得出.
试题解析：（1）设等比数列{an}的公比为q，
∵an＞0，可得q＞0．
∵a2，a4，a2+36成等差数列．∴2a4=a2+a2+36，
∴2a3q=2+36，即2×12q=2×+36，化为：2q2-3q-2=0，
解得q=2．
∴=12，解得a1=3．
∴an=3×2n-1．
（2）由（1）可得：
b3=a3=12，b9=a5=3×24=48．
设等差数列{bn}的公差为d，则b1+2d=12，b1+8d=48，
解得b1=0，d=6．
∴bn=6（n-1）．
∴b2n+1=12n．
∴b3+b5+b7+…+b2n+1=12×=6n2+6n．
21. 已知命题p：x2-8x-20≤0，命题q：（x-1-m）（x-1+m）≤0（m＞0）；若q是p的充分而不必要条件，求实数m的取值范围．
【答案】（-∞，3].
【解析】试题分析：分别求出命题和所表示的范围，由q是p的充分而不必要条件，根据小推大原则转化为集合与集合间的子集关系，列出不等式组即可得出m的取值范围．
试题解析：命题p：x2-8x-20≤0，解得：-2≤x≤10．
命题q：（x-1-m）（x-1+m）≤0（m＞0），解得：1-m≤x≤1+m．
若q是p的充分而不必要条件，∴，解得m≤3．
∴实数m的取值范围是（-∞，3]．
22. 设函数f（x）=（1-x2）ex．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当x≥0时，f（x）≤ax+1，求a的取值范围．
【答案】（1）f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递减，在（-1-，-1+）上单调递增；（2）[1，+∞）.
【解析】试题分析：（1）求导，令，求出极值点，利用导函数的符号，即可求出的单调性；（2）先化简，由，对分类讨论：①当时，构造新函数，再对求导，得的单调性，即可得的取值范围；②当时，构造新函数，得的单调性，再由试根法即可得出结论；③当时，利用试根法即可得出结论；然后得出的取值范围.
试题解析：（1）因为f（x）=（1-x2）ex，x∈R，
所以f′（x）=（1-2x-x2）ex，
令f′（x）=0可知x=-1±，
当x＜-1-或x＞-1+时f′（x）＜0，当-1-＜x＜-1+时f′（x）＞0，
所以f（x）在（-∞，-1-），（-1+，+∞）上单调递减，在（-1-，-1+）上单调递增；
（2）由题可知f（x）=（1-x）（1+x）ex．下面对a的范围进行讨论：
①当a≥1时，设函数h（x）=（1-x）ex，则h′（x）=-xex＜0（x＞0），
因此h（x）在[0，+∞）上单调递减，
又因为h（0）=1，所以h（x）≤1，
所以f（x）=（1-x）h（x）≤x+1≤ax+1；
②当0＜a＜1时，设函数g（x）=ex-x-1，则g′（x）=ex-1＞0（x＞0），
所以g（x）在[0，+∞）上单调递增，
又g（0）=1-0-1=0，
所以ex≥x+1．
因为当0＜x＜1时f（x）＞（1-x）（1+x）2，
所以（1-x）（1+x）2-ax-1=x（1-a-x-x2），
取x0=∈（0，1），则（1-x0）（1+x0）2-ax0-1=0，
所以f（x0）＞ax0+1，矛盾；
③当a≤0时，取x0=∈（0，1），则f（x0）＞（1-x0）（1+x0）2=1≥ax0+1，矛盾；
综上所述，a的取值范围是[1，+∞）．
点睛：函数的单调区间的求法一般是先求导再研究导函数的正负；关于含参量恒成立问题有两种方法，一是分离含参量，二是带参量计算，先对参数进行分类讨论，构造新函数，判断函数的单调性，即可求解.
微信/支付宝扫码支付