遂宁市高中2018届零诊考试
数学（理科）试题
本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分。总分150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷（选择题，满分60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、班级、考号用0.5毫米的黑色墨水签字笔填写在答题卡上。并检查条形码粘贴是否正确。
2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡对应题目标号的位置上，非选择题用0.5毫米黑色墨水签字笔书写在答题卡对应框内，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。
3．考试结束后，将答题卡收回。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的。
1．已知集合，,则
A． B．
C． D．
2．设复数z满足(1+i)z=2i，则
A． B． C． D．
3．函数的定义域是
A． B．
C． D．
4．若，则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5. 已知，满足不等式组，则目标函数的最大值为
A．10 B．8 C．6 D．4
6. 设等差数列的前项和为，点在直线上，则
A．4034 B．2017 C．1008 D．1010
7．某程序框图如图所示，若输出的，
则判断框内应为
A．
B．
C．
D．
8．已知、为平面向量，若与的夹角为，与的夹角为，则
A． B. C. D.
9．对于数列，称（其中）为数列的前项“波动均值”．若对任意的，都有，则称数列为“趋稳数列”．若数列为“趋稳数列”，则的取值范围
A． B． C． D．
10．已知，，且，则的最大值为
A． B． C． D．
11. 已知函数，把函数的
图象向右平移个单位，得到函数的图象，若是
在内的两根，则则的值为
A． B. C． D．
12．已知函数，当时，不等式 恒成立，则
A．有最大值，无最小值 B．有最小值，无最大值
C．有最大值，无最小值 D．有最小值，最大值
第Ⅱ卷（非选择题，满分90分）
注意事项：
1．请用蓝黑钢笔或圆珠笔在第Ⅱ卷答题卡上作答，不能答在此试卷上。
2．试卷中横线及框内注有“▲”的地方，是需要你在第Ⅱ卷答题卡上作答。
本卷包括必考题和选考题两部分。第13题至第21题为必考题，每个试题考生都作答；第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13．已知，则= ▲ .
14．不等式组的解集为 ▲
15．已知数列是等差数列，数列是等比数列，则的值为 ▲
16．已知集合M={}，若对于任意，存在
，使得成立，则称集合M是“完美对点
集”．给出下列四个集合：
①M={}； ②M={}；
③M={}； ④M={}．
其中是“完美对点集”的是 ▲ （请写出全部正确命题的序号）
三、解答题：本大题共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分12分）
已知全集U=R，集合，非空集合
＜．
（1）当时，求；
（2）命题，命题，若p是q的充分条件，求实数的取值范围．
▲
18．（本小题满分12分）
在中，角所对的边分别为，已知．
（1）求的值；
（2）若，求．
▲
19．（本小题满分12分）
已知等差数列的前项和为，公差为，且，，成等比数列．
（1）求数列的通项公式；
（2）设（），求数列的前项和．
▲
20．（本小题满分12分）
如图，某广场为一半径为80米的半圆形区域，现准备在其一扇形区域OAB内建两个圆形花坛，该扇形的圆心角为变量（），其中半径较大的花坛⊙P内切于该扇形，半径较小的花坛⊙Q与⊙P外切，且与OA、OB相切．
（1）求半径较大的花坛⊙P的半径（用θ表示）；
（2）求半径较小的花坛⊙Q的半径的最大值．
▲
21．（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数，求的单调区间；并证明：当时，；
（3） 证明：当时，函数有最小值，设最小值为，求函数的值域.
▲
请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分。
22．（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
已知极坐标的极点与直角坐标系的原点重合，极轴与正半轴重合，且长度单位相同，直线的极坐标方程为，
点，（为参数）.
（1）求点轨迹的直角坐标方程；
（2）求点到直线距离的最大值.
▲
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（1）解不等式；
（2）若关于的不等式在R上的解集为R，求实数的取值范围.
▲
遂宁市高中2018届零诊考试
数学（理科）试题参考答案及评分意见
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
C
A
A
C
B
B
C
D
B
C
A
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15. 16. ②④
三、解答题：本大题70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17. （本小题满分12分）
解析：（1），当时，， …………4分
所以或
所以 …………6分
（2）因为是的充分条件，则， …………8分
而，故，所以，…………10分
解得或 …………12分
18. （本小题满分12分）
解析：（1），
； …………6分
（2），由（1）知，
， …………10分
或， 或. …………12分
19. （本小题满分12分）
解析：（1）由，，成等比数列得．
化简得， …………2分
又，解得，
故数列的通项公式（）…………5分
（2）由可知， …………6分
所以
，
……12分
20. （本小题满分12分）
解析：（1）设⊙P切OA于M，连PM，⊙Q切OA于N，
连QN，记⊙P、⊙Q的半径分别为．
∵⊙P与⊙O内切，∴|OP|＝80－，
∴， ∴ () ． …………4分
（2）∵|PQ|＝∴|OP|－|OQ|＝＝
∴ ()． …………8分
法一：令，∴
令∈，＝
∴时，即时，有最大值10． …………12分
法二：∵
∴ ∴．此时，…………12分
法三：令，，∴对求导得
令得：＝，当时，，
当时，，故在递增，在上递减
故＝时，⊙Q的半径的最大值为10． …………12分
21. （本小题满分12分）
解析：（1）因为，所以所求切线的斜率为1，
所求切线方程为 …………2分
（2）因为，，
由得，则
故在上单调递增， …………4分
当时，由上知，
即，即，也即得证.…5分
（3）由得求导，
得， ．………7分
记， ．
由（2）知，函数区间内单调递增，
又，，所以存在唯一实数
使得．
于是，当时， ， ，
函数在区间内单调递减；
当时， ， ，
函数在区间内单调递增．
所以在内有最小值，
由题设即． …………9分
又因为．所以． …………10分
令，则，
函数在区间内单调递增，所以，
即函数的值域为. …………12分
22. （本小题满分10分）
解析：（1）设点，则，
消去参数得点的轨迹方程：； …………5分
（2）由得，
所以直线的直角坐标方程为； …………7分
由于的轨迹为圆，圆心到直线距离为，
由数形结合得点到直线距离的最大值为. …………10分
23. （本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
解析:（1）不等式可化为，
当时， ，解得，即；
当时， ，解得，即；
当时，，解得，即， …………3分
综上所述，不等式的解集为或. …5分
（2）由不等式可得，
∵， …………8分
∴，即，
解得或，
故实数的取值范围是或. …………10分
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