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泉港一中2017-2018学年上学期期中考试
高三数学（理科）试题
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分）．
1.已知全集U＝Z，A＝｛－1，0，1，2｝，B＝{x|x2=x}，则A∩B为（ ）
A.{-1，2} B.{-1，0}C. {0，1} D.{1，2}
2. 命题“”的否定形式是( )
A． B．
C． D．
3. 设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.若||=3，||=1且（+）•=-2，则cos＜，＞=（ ）
A. -
B. -
C. -
D.
5. 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( )
A．4 B．5 C．6 D．7
6. 已知则（ ）
A. C＞b＞a
B. b＞c＞a
C. b＞a＞c
D. a＞b＞c
7. 已知函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=2x（1-x），则f（-）=（ ）
A. -
B. -
C.
D.
8. 曲线在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（ ）
A.
B.
C.
D.
9. 若,则函数的两个零点分别位于区间( )
A. 和内 B. 和内
C.和内 D.和内
10. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( )
(A) (B)
(C) (D)
11. 在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则（ ）
12.已知函数f（x）=，关于x的方程f 2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3个相异的实数根，则a的取值范围是（ ）
A. （，+∞）
B. （-∞，）
C. （0，）
D. {}
二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置)．
13.若_________.
14.
15.已知,满足约束条件,若的最小值为,则
16．数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为________
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. （本小题满分12分）设数列的前项和为，且．
(Ⅰ)求证数列是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前n项和为，求的表达式；
18. （本小题满分12分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.
19. （本小题满分12分）如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
20. （本小题满分12分）已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）已知点的坐标为（-3,0），直线、的斜率分别为，，证明：为定值.
21．（本小题满分12分） 已知函数 ，且，其中为常数．
(1) 若函数的图像在的切线经过点，求函数的解析式；
(2) 已知，求证：；
(3) 当存在三个不同的零点时，求的取值范围．
22. 请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
22. （本小题满分10分以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）设直线和曲线交于两点，求.
23. （本小题满分10）已知函数（）
（1）当时，解不等式；
（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.
泉港一中2017-2018学年上学期期中考试
高三数学（理科）试题参考答案
（考试时间：120分钟 总分：150分）
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1.已知全集U＝Z，A＝｛－1，0，1，2｝，B＝{x|x2=x}，则A∩B为（ D ）
A.{-1，2} B.{-1，0}C. {0，1} D.{1，2}
2. 命题“”的否定形式是( B )
A． B．
C． D．
3. 设{an}是公比为q的等比数列，则“q>1”是“{an}为递增数列”的( D )
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
4.若||=3，||=1且（+）•=-2，则cos＜，＞=（ C ）
A. -
B. -
C. -
D.
5. 等比数列{an}中，a4＝2，a5＝5，则数列{lg an}的前8项和等于( A )
A．4 B．5 C．6 D．7
6. 已知则（ C ）
A. C＞b＞a
B. b＞c＞a
C. b＞a＞c
D. a＞b＞c
7.已知函数f（x）满足f（-x）=-f（x），且f（x+2）=f（x），当0≤x≤1时，f（x）=2x(1-x），则f（-）=（ A ）
A. -
B. -
C.
D.
8.曲线在x=1处的切线的倾斜角为α，则cosα+sinα的值为（ A ）
A.
B.
C.
D.
9.若,则函数的两个零点分别位于区间( B )
A. 和内 B .和内
C.和内 D.和内
10. 函数=的部分图像如图所示，则的单调递减区间为( C )
(A) (B)
(C) (D)
11.在锐角三角形中，，为边上的点，与的面积分别为和．过作于，于，则（ B ）．
12.已知函数f（x）=，关于x的方程f 2（x）-2af（x）+a-1=0（a∈R）有3个相异的实数根，则a的取值范围是（ D ）
A. （，+∞）
B. （-∞，）
C. （0，）
D. {}
二、填空题：(本大题4小题，每小题5分，共20分．把答案填在答题卡相应位置)．
13.若__3_______.
14. 已知，，则在方向上的投影为____4_____
15.已知,满足约束条件,若的最小值为,则 1/2
16．数列{an}满足an+1＋(－1)n an ＝2n－1，则{an}的前60项和为_1830_______
三、解答题：(本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17. 设数列的前项和为，且．
(Ⅰ)求证数列是等比数列，并求的通项公式；
(Ⅱ)设数列的前n项和为，求的表达式；
解：（Ⅰ）由得，二式相减得：，
∴ ，∴数列是公比为2的等比数列， ………………………3分
又∵. ………………………5分
（Ⅱ） ∵，
∴①
，② …………8分
①－②得，
∴. …………………12分
18.（本小题满分12分）已知向量，，设函数的图象关于直线对称，其中，为常数，且.
（Ⅰ）求函数的最小正周期；
（Ⅱ）若的图象经过点，求函数在区间上的取值范围.
【答案】（Ⅰ）因为
. ………………………2分
由直线是图象的一条对称轴，可得，………………3分
所以，即．………………………………4分
又，，所以，故. ………………………………………5分
所以的最小正周期是. ………………………………………………………6 分
（Ⅱ）由的图象过点，得，
即，即. ………………………………7分
故， ……………………………8分
由，有，………………………………………………9分
所以，得，………………………11分
故函数在上的取值范围为. ……………………12分
19. 如图,三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB,AB=AA1,∠BAA1=60°.
(Ⅰ)证明AB⊥A1C;
(Ⅱ)若平面ABC⊥平面AA1B1B,AB=CB=2,求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值.
解：(Ⅰ)取AB中点E,连结CE,,,
∵AB=,=,∴是正三角形, ………………………3分
∴⊥AB, ∵CA=CB, ∴CE⊥AB, ∵=E,∴AB⊥面,
∴AB⊥; …………………………5分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知EC⊥AB,⊥AB,
又∵面ABC⊥面,面ABC∩面=AB,∴EC⊥面,∴EC⊥, ………………………6分
∴EA,EC,两两相互垂直,以E为坐标原点,的方向为轴正方向,||为单位长度,建立如图所示空间直角坐标系, ………………………7分
有题设知A(1,0,0),(0,,0),C(0,0,),B(-1,0,0),则=(1,0,),==(-1,0,),=(0,-,),
设=是平面的法向量,
则,即,可取=(,1,-1), ………………………9分
∴==, ………………………11分
∴直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值为 ………12分
20. 已知抛物线，直线与交于，两点，且，其中为坐标原点.
（1）求抛物线的方程；
（2）点的坐标为（-3,0），记直线、的斜率分别为，，证明：为定值.
试题解析：（1）解：设，，联立方程组，消元得，
所以，.……………………………………………………………………2分
又，……………………………6分
所以，从而抛物线的方程为.………………………………………5分
（2）因为，，
所以，，……………………………………………6分
因此
…………………………………8分
又，，……………………………………………………………9分
所以.………………11分
即为定值.……………………………………………12分[来
21． 已知函数 ，且，其中为常数．
(1) 若函数的图像在的切线经过点，求函数的解析式；
(2) 已知，求证：；
(3) 当存在三个不同的零点时，求的取值范围．
21.（1）解：在中，取得
………………2分
……………… 4分
（2）
令：，
则 ………………6分
时，单调递减，
时，
所以时， ……………… 8分
（3）
①当时，在上，，递增，
至多一个零点，不符题意； ………………9分
②当时，在上，，递减，
至多一个零点，不符题意； ………………10分
③ 当时，令，解得，
此时，在上递减，在上递增，在上递减，
，使得
又 恰有三个不同的零点：
综上所述，的取值范围是 ……………… 12分
22. 请考生从22、23两题任选1个小题作答，满分10分．如果多做，则按所做的第一题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
22.选修4-4：坐标系与参数方程
以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是（为参数）.
（1）求直线和曲线的普通方程；
（2）设直线和曲线交于两点，求.
解：（Ⅰ）因为，
所以
由，
得 …………………………3分
因为消去得
所以直线和曲线的普通方程分别为和. …………4分
（Ⅱ）点的直角坐标为，点在直线上，
设直线的参数方程：（为参数），对应的参数为.
…………………………7分
…………………………10分
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数（）
（1）当时，解不等式；
（2）令，若在上恒成立，求实数的取值范围.
解：（Ⅰ）依题意得
当时，原不等式化为：，解得 …………………2分
当时，原不等式化为：，解得 …………………3分
当时，原不等式化为：，解得 …………………4分
综上可得，不等式的解集为 …………………5分
（Ⅱ）
；…………………7
；…………………8
；…………………9
所以的最小值为；
则，所以
解得或 ……………10分
（其它解法类似给分）
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