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2017-2018学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．sin（﹣600°）=（ ）
A． B． C．﹣ D．﹣
2．已知cos（π﹣α）=﹣，则cos2α=（ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
3．已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ≤）的部分图象如图所示，φ=（ ）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2=b2+c2+bc，则角A等于（ ）
A． B． C． D．
5．定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数．若f（x）的最小正周期是π，且当x∈[0，]时，f（x）=sinx，则f（）的值为（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
6．不等式≥2的解集为（ ）
A．[﹣1，0） B．[﹣1，+∞） C．（﹣∞，﹣1] D．（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）
7．已知集合A={x||x+1|＜1}，B={x|（）x﹣2≥0}，则A∩∁RB=（ ）
A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，﹣1] C．（﹣1，0） D．[﹣1，0）
8．已知三个数a=0.32，b=log20.3，c=20.3，则a，b，c之间的大小关系是（ ）
A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．a＜c＜b D．b＜c＜a
9．已知函数y=﹣xf′（x）的图象如图（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个
图象中，y=f（x）的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
10．设f（x）=，若f（f（1））=1，则a=（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
11．若函数f（x）=|4x﹣x2|+a有4个零点，则实数a的取值范围是（ ）
A．[﹣4，0] B．（﹣4，0） C．[0，4] D．（0，4）
12．若对于任意x∈（﹣2，2）都有2x（x﹣a）＜1成立，则a的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，﹣6） B．（，+∞） C．[，+∞） D．（﹣6，+∞）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.
13．设x=，则tan（π+x）等于 ．
14．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a2﹣b2=bc，sinC=2sinB，则角A为 ．
15．已知曲线y=x3+，则过点P（2，4）的切线方程是 ．
16．设f（x）=xlnx，若f′（x0）=2，则x0的值为 ．
17．下面四个命题：
①命题“∀x＞0，x2﹣3x+2＜0”的否定是“∃x＞0，x2﹣3x+2≥0”；
②要得到函数y=sin（2x+）的图象，只要将y=sin2x的图象向左平移个单位；
③若定义在R上的函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），则f（x）是周期函数；
④已知奇函数f（x）在（0，+∞）上为增函数，且f（﹣1）=0，则不等式f（x）＜0的解集为{x|x＜﹣1}．
其中正确的是 ．（填写序号）
18．定义在R上的运算：x*y=x（1﹣y），若不等式（x﹣y）*（x+y）＜1对一切实数x恒成立，则实数y的取值范围是 ．
三、解答题：本大题共5小题，共60分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．
19．（12分）已知p：≥1，q：x2﹣2x+1﹣m2≤0（m＞0），若￢p是￢q的充分不必要条件，求实数m的取值范围．
20．（12分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足A=45°，cosB=．
（Ⅰ）求sinC的值；
（Ⅱ）设a=5，求△ABC的面积．
21．（12分）已知函数f（x）=cos2x﹣sinxcosx+2sin2x﹣．
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）若x∈[0，]，求函数f（x）的值域．
22．（12分）已知函数．
（Ⅰ）若x=1时，f（x）取得极值，求a的值；
（Ⅱ）求f（x）在[0，1]上的最小值；
（Ⅲ）若对任意m∈R，直线y=﹣x+m都不是曲线y=f（x）的切线，求a的取值范围．
23．（12分）已知函数f（x）=x2+ax﹣lnx，a∈R．
（1）若函数f（x）在[1，2]上是减函数，求实数a的取值范围；
（2）令g（x）=f（x）﹣x2，是否存在实数a，当x∈（0，e]（e是自然常数）时，函数g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由；
（3）当x∈（0，e]时，证明：．
2017-2018学年天津市红桥区高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．
1．B；2．D；3．A；4．A；5．D；6．A；7．C；8．A；9．B；10．D；11．B；12．C；
二、填空题（每小题5分，共30分）
13． 14． 15．4x－y－4=0 或y=x+2
16． 17．①③ 18．
三、 解答题（本大题共5小题，共60分）
19．（本小题满分12分）
解：由，得﹣2＜x≤10．......................................3
由，
得1﹣m≤x≤1+m（m＞0）．...............6
∵p是q的充分而不必要条件，即p是q的必要不充分条件．.................8
∴解得............................................12
20．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）∵ ∴ .............................................2
∴.............6
（Ⅱ）
由正弦定理得，............................9
∴..............................12
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）∵=
=．...................................................5
∴其最小正周期为．...................................6
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
又∵x∈[0，]，
在区间上是减函数，在区间上是增函数．.................8
又f(0)＝，，...........................................11
∴函数的值域为．..................................................12
22．（本小题满分12分）
解：（I）∵=x2﹣a.......................................................2
当x=1时，f（x）取得极值，∴=1﹣a=0，a=1．......................3
又当x∈（﹣1，1）时，＜0，x∈（1，+∞）时，＞0，
∴f（x）在x=1处取得极小值，即a=1符合题意 .........................4
（II） 当a≤0时，＞0对x∈（0，1]成立，
∴f（x）在（0，1]上单调递增， f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．.........6
当a＞0时，令=x2﹣a=
当0＜a＜1时，，当时，＜0，f（x）单调递减，
时，＞0，f（x）单调递增．
所以f（x）在处取得最小值．........8
当a≥1时，，x∈（0，1）时，＜0，f（x）单调递减
所以f（x）在x=1处取得最小值．.................................10
综上所述：
当a≤0时，f（x）在x=0处取最小值f（0）=1．
当0＜a＜1时，f（x）在处取得最小值．
当a≥1时，f（x）在x=1处取得最小值．
（III）因为∀m∈R，直线y=﹣x+m都不是曲线y=f（x）的切线，
所以=x2﹣a≠﹣1对x∈R成立.................................11
只要=x2﹣a的最小值大于﹣1即可，
而f'（x）=x2﹣a的最小值为f（0）=﹣a
所以﹣a＞﹣1，即a＜1．....................................................12
23．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在[1，2]上恒成立...............2
令h（x）=2x2+ax﹣1，有得，
得 .......................................4
（Ⅱ）假设存在实数a，使g（x）=ax﹣lnx（x∈（0，e]）有最小值3，
= .............................6
①当a≤0时，g（x）在（0，e]上单调递减，g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍）.....7
②当，即时，g（x）在上单调递减，在上单调递增
∴，a=e2，满足条件............8
③当，即时，g（x）在（0，e]上单调递减，
g（x）min=g（e）=ae﹣1=3，（舍）..................9
综上，存在实数a=e2，使得当x∈（0，e]时g（x）有最小值3．...................................10
（Ⅲ）因为x∈（0，e]，所以要证：，只需要证：
令，由（Ⅱ）知，F（x）min=3．
令，，
当0＜x≤e时，，φ（x）在（0，e]上单调递增
∴
∴，即．............................12
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