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2017-2018学年吉林省长春市高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z=，则z的共轭复数||=（ ）
A．5 B．1 C． D．
2．已知集合A={x||x|＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣1，1） B．R C．（1，3] D．（﹣1，3]
3．已知向量（ ）
A． B． C． D．
4．“”是“f（x）=Asin（ωx+ϕ）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
5．已知命题p“函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3）在（1，+∞）上单调递增”，命题q“函数f（x）=ax+1﹣1的图象恒过（0，0）点”，则下列命题正确的是（ ）
A．p∧q B．p∨q C．p∧（¬q） D．（¬p）∨q
6．已知向量是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．﹣2
7．要得到y=sinx•cosx﹣cos2x+的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．左移 B．右移 C．左移 D．右移
8．已知实数a=cos224°﹣sin224°，b=1﹣2sin225°，c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
9．直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等差数列{an}满足a3=3，且a1，a2，a4成等比数列，则a5=（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．4或3
11．若函数f（x）=lnx+x2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
12．已知f（x）为定义域为R的函数，f'（x）是f（x）的导函数，且f（1）=e，∀x∈R都有f'（x）＞f（x），则不等式f（x）＜ex的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．若= ．
14．函数f（x）=ex（x+sinx+1）在x=0处的切线方程为 ．
15．已知实数a，b，c成公差为1的等差数列，b，c，d成等比数列，a＞0，则a+b+c+d的取值范围是 ．
16．已知O是△ABC内一点，且5= ．
三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为．
（1）求角A的大小；
（2）当a=2时，求△ABC周长的最大值．
18．长春某高校“红烛”志愿者协会计划募捐救助农村贫困学生，采用如下方式：在不透明的箱子中放入大小形状均相同的白球七个，红球三个，每位参与者投币10元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个，若有一个红球，奖金5元，两个红球奖金10元，三个全为红球奖金100元．
（1）求参与者中奖的概率；
（2）若有200个爱心人士参加此项活动，求此次募捐所得善款的期望值．
19．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PAC均为正三角形，AB=2，平面ABC⊥
平面PAC．M，D分别是AC与PC的中点，E在AP上且AE=AP．
（1）证明ME⊥平面MBD；
（2）若F为PA上一点，且PF=λFA，当二面角F﹣BD﹣M为直二面角时，求λ的值；
（3）写出三棱锥P﹣ABC外接球的体积（不需要过程）．
20．已知一动点M到直线x=﹣4的距离是它到F（﹣1，0）距离的2倍．
（1）求动点M的轨迹方程C；
（2）若直线l经过点F，交曲线C于A，B两点，直线AO交曲线C于D．求△ABD面积的最大值及此时直线BD的斜率．
21．已知函数f（x）=alnx+．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）有两个极值点x1，x2，且＜m恒成立时，求m的取值范围．
22．已知曲线C1的参数方程为，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为msinθ﹣cosθ=．
（1）求C1，C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C2与C1交于M，N两点，与x轴交于P点，若，求m的值．
2017-2018学年吉林省长春市高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共12小题，每小题5分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知复数z=，则z的共轭复数||=（ ）
A．5 B．1 C． D．
【考点】A5：复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的公式计算．
【解答】解：∵z==，
∴，则||=|i|=1．
故选：B．
2．已知集合A={x||x|＞1}，B={x|x2﹣2x﹣3≤0}，则A∩B=（ ）
A．（﹣1，1） B．R C．（1，3] D．（﹣1，3]
【考点】1E：交集及其运算．
【分析】先分别求出集合A，B，由此能求出A∩B．
【解答】解：∵集合A={x||x|＞1}={x|x＞1或x＜﹣1}，
B={x|x2﹣2x﹣3≤0}={x|﹣1≤x≤3}，
∴A∩B={x|1＜x≤3}=（1，3]．
故选：C．
3．已知向量（ ）
A． B． C． D．
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的夹角公式计算即可．
【解答】解：设与的夹角为θ，
∵||=1，||==2，
∴cosθ===，
∵0≤θ≤π，
∴θ=，
故选：B
4．“”是“f（x）=Asin（ωx+ϕ）是偶函数”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
【考点】2L：必要条件、充分条件与充要条件的判断．
【分析】根据充要条件的定义，结合三角函数的图象和性质，可得答案．
【解答】解：当“”时，“f（x）=Asin（ωx+ϕ）=Acosωx是偶函数”，
“f（x）=Asin（ωx+ϕ）是偶函数”时，“ +kπ，k∈Z”，
故“”是“f（x）=Asin（ωx+ϕ）是偶函数”的充分不必要条件，
故选：A
5．已知命题p“函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3）在（1，+∞）上单调递增”，命题q“函数f（x）=ax+1﹣1的图象恒过（0，0）点”，则下列命题正确的是（ ）
A．p∧q B．p∨q C．p∧（¬q） D．（¬p）∨q
【考点】2E：复合命题的真假．
【分析】先判断两个简单命题的真假，进而根据复合命题真假判断的真值表得到答案．
【解答】解：函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3）的定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（3，+∞），
故命题p“函数f（x）=log2（x2﹣2x﹣3）在（1，+∞）上单调递增”，为假命题；
令x+1=0，则x=﹣1，ax+1﹣1=0，故函数f（x）=ax+1﹣1的图象恒过（﹣1，0）点，
故命题q“函数f（x）=ax+1﹣1的图象恒过（0，0）点”，为假命题；
则p∧q，p∨q，p∧（¬q）均为假命题；
（¬p）∨q为真命题，
故选：D．
6．已知向量是奇函数，则实数a的值为（ ）
A．2 B．0 C．1 D．﹣2
【考点】9R：平面向量数量积的运算．
【分析】根据向量的数量积和奇函数的定义即可求出．
【解答】解：f（x）==2ex+ae﹣x，
∵f（x）为奇函数，且定义域为R，
∴f（0）=0，
即2+a=0，
解得a=﹣2，
故选：D
7．要得到y=sinx•cosx﹣cos2x+的图象，只需将函数y=sin2x的图象（ ）
A．左移 B．右移 C．左移 D．右移
【考点】HJ：函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】利用三角恒等变换化简函数的解析式，再利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．
【解答】解：要得到y=sinx•cosx﹣cos2x+=sin2x﹣+=sin（2x﹣）的图象，
只需将函数y=sin2x的图象象右平移个单位即可，
故选：D．
8．已知实数a=cos224°﹣sin224°，b=1﹣2sin225°，c=，则a，b，c的大小关系为（ ）
A．b＞a＞c B．c＞a＞b C．a＞b＞c D．c＞b＞a
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】由题意利用余弦函数的值域和单调性，可得a，b，c的大小关系．
【解答】解：实数a=cos224°﹣sin224°=cos48°，b=1﹣2sin225°=cos50°，c==tan46°＞1，
再根据余弦函数y=cosx在（0°，90°）上单调递减，且它的值域为（ 0，1），
可得c＞a＞b，
故选：B．
9．直线x=1，x=e与曲线y=围成的面积是（ ）
A． B． C． D．
【考点】6G：定积分在求面积中的应用．
【分析】利用定积分的几何意义表示出曲边图形的面积，再求值．
【解答】解：如图所示，
由直线x=1，x=e与曲线y=围成的阴影部分面积是
（﹣）dx=dx﹣dx
=﹣lnx
=﹣﹣1+0
=（2﹣5）．
故选：A．
10．已知等差数列{an}满足a3=3，且a1，a2，a4成等比数列，则a5=（ ）
A．5 B．3 C．5或3 D．4或3
【考点】84：等差数列的通项公式．
【分析】设等差数列{an}的公差为d，可得a1=3﹣2d，a2=3﹣d，a4=3+d，由a1，a2，a4成等比数列，得关于d的方程，求出d，则a5可求．
【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，
则a1=3﹣2d，a2=3﹣d，a4=3+d，
由a1，a2，a4成等比数列，得
=a1a4，即（3﹣d）2=（3﹣2d）（3+d），
解得：d=0或1，
当d=0时，a5=a3+2d=3；
当d=1时，a5=a3+2d=5．
故选：C．
11．若函数f（x）=lnx+x2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B．（﹣∞，2] C．[1，+∞） D．[2，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】由函数f（x）=lnx+x2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，可得：f′（x）=+2x﹣a≥0，化为：a≤+2x=g（x），利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出．
【解答】解：f′（x）=+2x﹣a，
∵函数f（x）=lnx+x2﹣ax+a+1为（0，+∞）上的增函数，
∴f′（x）=+2x﹣a≥0，化为：a≤+2x=g（x），
g′（x）=2﹣==，
可知：x=时，函数g（x）取得极小值即最小值， =2．
则实数a的取值范围是a≤2．
故选：A．
12．已知f（x）为定义域为R的函数，f'（x）是f（x）的导函数，且f（1）=e，∀x∈
R都有f'（x）＞f（x），则不等式f（x）＜ex的解集为（ ）
A．（﹣∞，1） B．（﹣∞，0） C．（0，+∞） D．（1，+∞）
【考点】6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】根据题意，令g（x）=，结合题意对其求导分析可得g′（x）＞0，即函数g（x）在R上为增函数，又由f（1）=e，可得g（e）==1，而不等式f（x）＜ex可以转化为g（x）＜g（1），结合函数g（x）的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，令g（x）=，其导数g′（x）==，
又由，∀x∈R都有f'（x）＞f（x），则有g′（x）＞0，即函数g（x）在R上为增函数，
若f（1）=e，则g（e）==1，
f（x）＜ex⇒＜1⇒g（x）＜g（1），
又由函数g（x）在R上为增函数，
则有x＜1，即不等式f（x）＜ex的解集为（﹣∞，1）；
故选：A．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分．
13．若= ．
【考点】GI：三角函数的化简求值．
【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得cos（α﹣）的值，再利用两角和的余弦公式求得cosα=cos[（α﹣）+]的值．
【解答】解：∵sin（α﹣）=，α∈（0，），∴cos（α﹣）==，
∴cosα=cos[（α﹣）+]=cos（α﹣）cos﹣sin（α﹣）sin=，
故答案为：．
14．函数f（x）=ex（x+sinx+1）在x=0处的切线方程为 3x﹣y+1=0 ．
【考点】6H：利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】求出函数的导数，可得在x=0处切线的斜率，求得切点坐标，运用斜截式方程可得切线的方程．
【解答】解：f′（x）=ex（sinx+cosx+x+2），
f′（0）=3，f（0）=1，
故切线方程是：y﹣1=3x，
即3x﹣y+1=0，
故答案为：3x﹣y+1=0．
15．已知实数a，b，c成公差为1的等差数列，b，c，d成等比数列，a＞0，则a+b+c+d的取值范围是 （7，+∞） ．
【考点】7F：基本不等式．
【分析】根据题意，由等差中项的性质可得a+b+c=3b，且c=b+1，再结合等比中项的性质可得d==b++2，则a+b+c+d=3b+b++2=4b++2，分析可得b的取值范围，令t=4b++2，结合对勾函数的单调性分析可得答案．
【解答】解：根据题意，实数a，b，c成公差为1的等差数列，则a+b+c=3b，且c=b+1，
若b，c，d成等比数列，则有c2=bd，
又由c=b+1，则d==b++2，
则a+b+c+d=3b+b++2=4b++2，
又由a＞0，则b＞1，
令t=4b++2，（b＞1），
分析可得t＞7，
则a+b+c+d的取值范围为（7，+∞）；
故答案为：（7，+∞）
16．已知O是△ABC内一点，且5= 2 ．
【考点】9H：平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由题意可知=﹣，利用平面向量加法的平行四边形法则作图即可得出面积比．
【解答】解：∵5+6+10=，
∴=﹣，
延长OC至C′，使得OC′=2OC，连接AC′，设AC′的中点为D，
则=2，
∴2=﹣，即O，B，D三点共线．
∴S△AOB=S△OBC′=2S△OBC，
故答案为：2．
三、解答题（本大题共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知△ABC三个内角A，B，C的对边分别为．
（1）求角A的大小；
（2）当a=2时，求△ABC周长的最大值．
【考点】HT：三角形中的几何计算．
【分析】（1）将切化弦，再根据和角公式化简可得sinA=cosA，故而得出A=；
（2）利用正弦定理得出b+c关于B的三角函数，从而得出b+c的最大值，于是得出结论．
【解答】解：（1）∵tanB+tanC=，
∴====，
∴sinA=cosA，
∴tanA=，
又0＜A＜π，∴A=．
（2）由正弦定理得：，
∴b==sinB，c==sinC=sin（﹣B），
∴b+c= [sinB+sin（﹣B）]=4（cosB+sinB）=4sin（B+），
∴当B+=即B=时，b+c取得最大值4．
∴△ABC周长的最大值4+2=6．
18．长春某高校“红烛”志愿者协会计划募捐救助农村贫困学生，采用如下方式：在不透明的箱子中放入大小形状均相同的白球七个，红球三个，每位参与者投币10元有一次摸奖机会，一次性从箱中摸球三个，若有一个红球，奖金5元，两个红球奖金10元，三个全为红球奖金100元．
（1）求参与者中奖的概率；
（2）若有200个爱心人士参加此项活动，求此次募捐所得善款的期望值．
【考点】CH：离散型随机变量的期望与方差．
【分析】（1）根据组合数公式计算概率；
（2）根据概率计算数学期望．
【解答】解：（1）中奖的概率P===．
（2）设此次募捐所得善款的期望值为E，
则E=200××（10﹣5）+200×（1﹣）×10﹣200××≈958．
19．在三棱锥P﹣ABC中，△ABC与△PAC均为正三角形，AB=2，平面ABC⊥平面PAC．M，D分别是AC与PC的中点，E在AP上且AE=AP．
（1）证明ME⊥平面MBD；
（2）若F为PA上一点，且PF=λFA，当二面角F﹣BD﹣M为直二面角时，求λ的值；
（3）写出三棱锥P﹣ABC外接球的体积（不需要过程）．
【考点】LG：球的体积和表面积；LW：直线与平面垂直的判定．
【分析】（1）以M为原点，MB为x轴，MC为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明ME⊥平面MBD．
（2）设F（0，b，c），，0≤t≤1，求出平面BDF的法向量和平面MBD的法向量，由二面角F﹣BD﹣M为直二面角，求出t=，再由PF=λFA，求出．
（3）三棱锥P﹣ABC外接球的体积为π．
【解答】证明：（1）△ABC与△PAC均为正三角形，AB=2，平面ABC⊥平面PAC．M，D分别是AC与PC的中点，
∴PM⊥AC，BM⊥AC，PM⊥BM，
以M为原点，MB为x轴，MC为y轴，MP为z轴，建立空间直角坐标系，
M（0，0，0），B（，0，0），C（0，1，0），P（0，0，），D（0，，），A（0，﹣1，0），E（0，﹣，），
=（0，﹣，），=（，0，0），=（0，，），
=0， =0，
∴MB⊥ME，MD⊥ME，
∵MB∩MD=M，
∴ME⊥平面MBD．
解：（2）设F（0，b，c），，0≤t≤1，∴（0，b，c﹣）=（0，﹣t，﹣），
∴F（0，﹣t，），=（﹣，﹣t，），=（﹣，），
设平面BDF的法向量=（x，y，z），
则，取y=1，得=（0，1，），
∵ME⊥平面MBD，∴平面MBD的法向量为=（0，﹣，），
∵二面角F﹣BD﹣M为直二面角，
∴=﹣+=0，
解得t=，
∵PF=λFA，∴．
（3）三棱锥P﹣ABC外接球的体积为．
20．已知一动点M到直线x=﹣4的距离是它到F（﹣1，0）距离的2倍．
（1）求动点M的轨迹方程C；
（2）若直线l经过点F，交曲线C于A，B两点，直线AO交曲线C于D．求△ABD面积的最大值及此时直线BD的斜率．
【考点】J3：轨迹方程．
【分析】（1）设M（x，y），由题意可得： =2，化简整理可得动点M的轨迹方程C．
（2）由题意可设直线l的方程为：ty=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．与椭圆方程联立化为：（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0，利用根与系数的关系可得：
|AB|=．点D到直线l的距离d=2点O到直线l的距离，利用点到直线的距离可得d，S△ABD=，化简整理利用导数研究函数的单调性即可得出．
【解答】解：（1）设M（x，y），由题意可得： =2，
化简整理可得：，即为动点M的轨迹方程C．
（2）由题意可设直线l的方程为：ty=x+1，A（x1，y1），B（x2，y2）．
联立，化为：（3t2+4）y2﹣6ty﹣9=0，
∴y1+y2=，y1y2=，
∴|AB|===．
点D到直线l的距离d=2点O到直线l的距离，∴d=2×．
∴S△ABD==××2×==．
令=m≥1，则f（m）=3m+，f′（m）==．
可知：m=1，即t=0时，函数f（m）取得最小值4，∴△ABD面积的最大值为3．
取A（﹣1，），B，可得：D．
可得：直线BD的斜率k=0．
21．已知函数f（x）=alnx+．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）当f（x）有两个极值点x1，x2，且＜m恒成立时，求m的取值范围．
【考点】6D：利用导数研究函数的极值；6B：利用导数研究函数的单调性．
【分析】（1）函数函数f（x）的定义域为（0，+∞），f′（x）=，
方程x2﹣2ax+a=0的△=4a2﹣4a，分0≤a≤1时，a＜0，a＞1三种情况讨论；
（2）由（1）得a＞1时，f（x）有两个极值点x1，x2．
可得x1+x2=2a，x1x2=a
f（x1）+f（x2）=a（lnx1+lnx2）+﹣2a（x1+x2）+2=alna+2a2﹣a﹣4a2+2=alna﹣2a2﹣a+2
∴==
利用导数求出G（x）=lna﹣2a﹣1+，（a＞1）的最大值即可
【解答】解：（1）函数函数f（x）的定义域为（0，+∞），
f′（x）=，
方程x2﹣2ax+a=0的△=4a2﹣4a
①当0≤a≤1时，△≤0恒成立，f′（x）≤0恒成立，f（x）在（0，+∞）单调递增；
②当a＜0时，方程x2﹣2ax+a=0的根x1=a+＞0，x2=a﹣＜0
f（x）在（0，a+）单调递减，在（a+，+∞）单调递增；
③当a＞1时，方程x2﹣2ax+a=0的根x1=a+＞0，x2=a﹣＞0
f（x）在（0，a﹣），（a+，+∞）单调递增，在（a﹣，a+）单调递减；
（2）由（1）得a＞1时，f（x）有两个极值点x1，x2．
x1+x2=2a，x1x2=a
f（x1）+f（x2）=a（lnx1+lnx2）+﹣2a（x1+x2）+2=alna+2a2﹣a﹣4a2+2=alna﹣2a2﹣a+2
∴==
令G（x）=lna﹣2a﹣1+，（a＞1）
G′（x）=﹣0恒成立．
∴G（x）在（1，+∞）递减，∴
∴
22．已知曲线C1的参数方程为，以原点O为极点，以x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为msinθ﹣cosθ=．
（1）求C1，C2的直角坐标方程；
（2）若曲线C2与C1交于M，N两点，与x轴交于P点，若，求m的值．
【考点】QH：参数方程化成普通方程．
【分析】（1）曲线C1的参数方程消去参数θ，能求出曲线C2的直角坐标方程；曲线C2的极坐标方程转化为mρsinθ﹣ρcosθ=1，由此能求出曲线C2的直角坐标方程．
（2）联立，得M（，），N（，），在x﹣my+1=0中，令y=0，得P（﹣1，0），由此利用，能求出m的值．
【解答】解：（1）∵曲线C1的参数方程为，
∴消去参数θ，得曲线C2的直角坐标方程为=1．
∵曲线C2的极坐标方程为msinθ﹣cosθ=，即mρsinθ﹣ρcosθ=1，
∴曲线C2的直角坐标方程为x﹣my+1=0．
（2）联立，得 M（，），N（，），
在x﹣my+1=0中，令y=0，得x=﹣1，∴P（﹣1，0），
∵，∴（﹣1+，﹣）=（，），
∴，解得m=．
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