2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．已知集合M={x|x2+x﹣12≤0}，N={y|y=3x，x≤1}，则集合{x|x∈M且x∉N}为（ ）
A．（0，3] B．[﹣4，3] C．[﹣4，0） D．[﹣4，0]
2．等差数列{an}中，a7+a9=16，a4=1，则a12=（ ）
A．15 B．30 C．31 D．64
3．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（ ）
A．ca＞cb B． C．bac＞abc D．logac＞logbc
4．设函数f（x）=，已知曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线斜率为﹣2，则实数a的值为（ ）
A．﹣1或﹣ B．﹣ C．﹣ D．1或﹣
5．已知函数f（x）=sin2x的图象向左平移个单位后，得到函数y=g（x）的图象，下列关于y=g（x）的说法正确的是（ ）
A．图象关于点（﹣，0）中心对称 B．图象关于x=﹣轴对称
C．图象关于点（﹣，0）中心对称 D．图象关于x=﹣轴对称
6．两个非零向量，b满足|+|=|﹣|=2||，则向量+与﹣夹角为（ ）
A． B． C． D．
7．函数f（x）=的图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
8．已知正数x，y满足，则z=（）x•（）y的最小值为（ ）
A．1 B． C． D．
9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=，则cos（α﹣β）=（ ）
A．1或 B．﹣1或﹣ C． D．﹣
10．设函数f（x）=3cosx，若存在f（x）的非零极值点x0满足x02+f（x0）＜4m，则实数m的取值范围为（ ）
A．（1，3） B．（2﹣，2+） C．（3，+∞） D．（2+，+∞）
11．已知函数f（x）（x∈R）的图象关于点（1，1）对称，若函数y=﹣f（x）有四个零点x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
12．已知f（x）是定义在（0，+∞）上的单调递减函数，f′（x）是其导函数，
若 ＞x，则下列不等关系成立的是（ ）
A．f（2）＜2f（1） B．3f（2）＞2f（3） C．ef（e）＜f（e2） D．ef（e2）＞f（e3）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知=（1，﹣1），=（t，1），若（+）∥（﹣），则实数t= ．
14．已知x＞0，y＞0，且x+2y=2，若+＞m恒成立，则实数m的取值范围是 ．
15．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）=f（2﹣x），且当x∈[0，1]时，
f（x）=2x﹣m，则f（2107）= ．
16．在△ABC中，•=2，其面积为，则sin2A+sin2B的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分）
17．（12分）已知=（sinx，cos2x），=（cosx，1），x∈R，设f（x）=•．
（1）求f（x）的解析式及单调递增区间；
（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a=2，f（A）=1，求△ABC面积的最大值．
18．（12分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足an+1=，
n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若对一切正整数n都有++…+＜，求实数a的最小值．
19．（12分）某经销商计划经营一种商品，经市场调查发现，该商品每日的销售量y（单位：千克）与销售价格x（单位：元/千克，1＜x≤12）满足：当1＜x≤4时，
y=a（x﹣3）2+，（a，b为常数）；当4＜x≤12时，y=﹣100．已知当销售价格为2元/千克时，每日可售出该特产800千克；当销售价格为3元/千克时，每日可售出150千克．
（1）求a，b的值，并确定y关于x的函数解析式；
（2）若该商品的销售成本为1元/千克，试确定销售价格x的值，使店铺每日销售该特产所获利润f（x）最大．（≈2.65）
20．（12分）已知函数f（x）=alnx+（a∈R）．
（1）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的值；
（2）若f（x）存在单调递减区间，求a的取值范围．
21．（12分）已知a为实常数，函数f（x）=ex﹣ax﹣1（e为自然对数的底数）．
（1）讨论函数f（x）的单调性；
（2）若a≤1，函数f（x）有两个零点，求实数a的取值范围．
22．（10分）已知函数f（x）=|x﹣a|+（a≠0）．
（1）若a=1，解关于x的不等式f（x）≥|x﹣2|；
（2）若不等式f（x）﹣f（x+m）≤1恒成立，求正数m的最大值．
2017-2018学年山东省烟台市高三（上）期中数学试卷（理科）
参考答案
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）
1．D；2．A；3．D；4．B；5．C；6．D；7．A；8．D；9．D；10．A；11．C；12．C；
二、填空题：
13. 14. 15. 16.
三、解答题：
17.解：(1) -----------------------1分
---------------3分
令 ------------------4分
得
的单调递增区间为 ------------------6分
（2）由,
得 ------------------7分
又 ----------------8分所以
所以 ------------------9分
------------------11分
∴面积的最大值为. ------------------12分
18.解：（1）当时，满足，
且
∴， ----------------------1分
∴，
∵，∴， ------------------2分
∴当时，是公差为的等差数列． -----------------3分
∵，，构成等比数列，∴，，
解得， ------------------4分
又由已知，当时，，
∴ -----------------5分
∵，
∴是首项，公差的等差数列．
∴数列的通项公式． ------------------6分
（2）由（1）可得式-------------8分
∴
----------------10分
解得
的最小值为 ---------------12分
19.解：（1）由题意：
时 ，∴，
又∵时，∴,可得, ----------------2分
∴ -----------------4分
（2）由题意：
------------5分
当时，
，
，
由得或
由得
所以在上是增函数，在上是减函数 ------------------7分
因为
所以时，的最大值为 ------------------9分
当1时，
------------------10分
当且仅当，即时取等号，
∴时有最大值． ------------------11分
∵，
∴当时有最大值，
即当销售价格为元的值，使店铺所获利润最大． -----------------12分
20.解：（1），定义域为． ------------------1分
因为 ------------------3分
因为在处取得极小值
所以
即解得 -----------------4分
经检验时，在处取得极小值 ------------------5分
（2）解法一:因为
因为若存在单调递减区间，所以有正数解. ------------------6分
即有的解 ------------------7分
即有的解 ------------------8分
问题等价于 ------------------9分
当且仅当取等号
------------------11分
------------------12分
解法二：因为
因为若存在单调递减区间，所以有正数解. ------------------6分
即有的解 ------------------7分
当时，明显成立 . ------------------8分
②当时，开口向下的抛物线，
总有的解； ------------------9分
③当时，开口向上的抛物线，
只要方程有正根即可.
因为，
所以方程有两正根.
，解得． ------------------11分
综合①②③知：． -------------12分
21. 解：（1）=． -----------------1分
当时，＞0，函数在单调递增； ------------3分
当时，=，
令，解得；令，解得．
∴函数的单调递增区间为，单调递减为． --------5分
综上可得：当时，函数在单调递增；
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为
． --------------6分
（2）由（1）知，当时，函数在上是增函数，不可能有
两个零点， ------------------7分
当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为．
此时为函数的最小值，
令
令，得，
∴函数的单调递增区间为，且
∴当时， -----------------9分
令
在上单调递减
即当时， ------------------10分
由于 ----------------11分
当时，函数有两个零点 ----------------12分
22.解：（1）不等式等价于
或或 -----------------3分
解得 ------------------5分
（2）解法一：--------------8分
∵∴，的最大值为1 ----------------10分
解法二：
------------------8分
∵
∴，的最大值为1 ------------------10分
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