天水一中2015级2017-2018学年度第一学期第二阶段考试
数学试题（理科）
（满分：150分 时间：120分钟）
一选择题
1．已知集合，，则（）．
A. B. C. D.
2．若函数，，，又，，且的最小值为，则的值为（ ）
A. B. C. D. 2
3．大家常说“便宜没好货”,这句话的意思是:“不便宜”是“好货”的 （ ）
A．充分条件 B．必要条件C．充分必要条件 D．既非充分也非必要条件
4．函数的单调区间是（）．
A. B. C. D.
5．对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
6．若{an}，{bn}满足an·bn＝1，an＝n2＋3n＋2，则{bn}的前10项和为( )
A. B. C. D.
7．若满足且有最大值，则的取值范围为
A. B. C. D.
8．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
9．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积是（ ）．
A. B. C. D.
10．下列命题中错误的是（ ）．
A. ，不等式均成立
B. 若，则
C. 命题“若，，则”的逆否命题是真命题
D. 若命题，，命题，，则是真命题
11．已知是上的奇函数，，则数列的通项公式为（）．
A. B. C. D.
12．已知函数（）在上为增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二．填空题
13．如图，点分别是正方体的棱和的中点，则和所成角的大小是_________．
14．对于函数，部分与的对应关系如下表：
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
7
5
9
6
1
8
2
4
数列满足：，且对于任意，点都在函数的图象上，则的值为__________.
15．已知，，，不等式恒成立，则的取值范围是__________．（答案写成集合或区间格式）
16．已知函数（是常数且），对于下列命题：
①函数的最小值是；
②函数在上是单调函数；
③若在上恒成立，则的取值范围是；
④对任意的且，恒有
其中正确命题的序号是__________.
三．解答题
17．设函数．
（）求数的最小正周期和对称轴方程．
（2）若中，，求的取值范围．
18．已知数列的首项，且满足.
（1）设，证明数列是等差数列；
（2）求数列的前项和．
19．如图，在四棱锥中，底面，，，点为棱的中点.
（1）证明：；
（2）求二面角的余弦值．
20.已知函数．
（1）当时，求函数的定义域；
（2）若关于的不等式的解集是，求的取值范围．
21．已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）求函数在上的最大值；
（3）求证：存在唯一的，使得.
22．已知关于的函数．
（）当时，求函数在点处的切线方程．
（）设，讨论函数的单调区间．
（）若函数没有零点，求实数的取值范围．
参考答案
1．B
【解析】∵，，∴．
故选．
2．A
【解析】整理函数的解析式：，
结合：，，且的最小值为，
可得函数的周期为：，则.
本题选择A选项.
3．B
【解析】
试题分析：钱大姐常说“便宜没好货”, “便宜没好货”是一个真命题，则它的逆否命题也是真命题,即“好货则不便宜”，所以“不便宜”是“好货”的必要条件.
考点：命题及其充要条件.
4．C
【解析】设，，，函数定义域为，所以先排除A，B；在上函数m先增后减，故D不对；由图像可知，该复合函数单调区间为，故选．
5．C
【解析】，即时，恒成立，时，则有，解得，故选C.
6．B
【解析】,前10项和为,故选B.
7．C
【解析】作出可行域（如下图所示），将化为，则直线的截距越大，对应的值也越大，即可行域在直线的下方，若，平移直线，由图象得直线在轴上的截距没有最大值，若，平移直线，由图象得直线在轴上的截距没有最大值，若，当直线经过点或时直线在轴上的截距增大，即取得最大值；故选C.
8．C
【解析】由题可知，底面 为直角三角形，且，则 ，则球的直径 ，则球的表面积
选C
9．A
【解析】三棱锥如图所示，，，，且，
∴底面积，
∴．故选．
点睛:空间几何体体积问题的常见类型及解题策略
(1)若所给定的几何体是可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解．
(2)若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解．
(3)若以三视图的形式给出几何体，则应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解．
10．D
【解析】项：∵，∴，不等式均成立，对；
项：若，则，则，接触：，对；
项：∵，∴或，原命题是真命题，对，
则原命题的逆否命题也是真命题．
项：∵恒成立．恒成立，命题是真命题．又∵，∴，，命题是真命题．∴是假命题．错．
故选D
点睛：本题以命题的真假判断与应用为载体考查了复合命题，四种命题，全称命题，对勾函数的图象和性质等知识点，根据二次函数的图象和性质，可判断①；根据对勾函数的图象和性质，可判断②；判断出原命题的真假，可判断③；根据复合命题真假判断的真值表，可判断④．
11．C
【解析】∵是奇函数，∴，令，，
令，，∴，∴，
令，∴，令，∴，
∵，∴，同理可得，
，∴，
故选
点睛：本题首先考查函数的基本性质，借助函数性质处理数列问题问题，十分巧妙，对数学思维的要求比较高，奇函数的应用与数列第一项联系起来，就知道该怎么对x赋值了，继续推导，要求学生理解f（t）+f（1-t）=2．本题有一定的探索性，难度大.
12．A
【解析】由题函数为增函数，则 在上恒成立，则
，设则
令得到，可知函数在上单调递增，在上单调递减，则， 即的取值范围是，
选A
13．B
【解析】根据题意，要使得 即 ，只需满足 ，且 ，
对于函数 当 即时 ，函数 单调递增，当 即 时，函数f（x）单调递减，
在 单调递增，
解得 ．
故选B．
【点睛】本题主要考查不等式有解和恒成立的综合问题，涉及二次函数和指数函数的单调性和值域，以及导数的运算．其中正确理解题意，把问题转化为要使得 只需满足 ，且 ，是解决问题的关键
14．
【解析】
如图，连,则有。
∴即为异面直线和所成的角（或其补角）。
在中，.
∴.
∴直线和所成的角为。
答案：
点睛：（1）求异面直线所成的角常采用“平移线段法”，平移的方法一般有三种类型：利用图中已有的平行线平移；利用特殊点(线段的端点或中点)作平行线平移；补形平移．
（2）计算异面直线所成的角通常放在三角形中借助于解三角形的方法进行。
15．7561
【解析】结合所给的对应关系可得：
，
，
则：，
.
16．
【解析】因为，，，则，（当且仅当时取等号），，不等式恒成立，即：只需，则，则的取值范围是.
【点睛】关于利用基本不等式求最值问题，需要掌握一些基本知识和基本方法，利用基本不等式求最值要注意“一正、二定、三相等”，当两个正数的积为定值时，这两个数的和取得最小值；当两个正数的和为定值时，这两个数的积取得最大值；利用基本不等式求最值的技巧方法有三种：第一是“１的妙用”，第二是“做乘法”，第三是“等转不等”.
17．①③④
【解析】因为，函数的最小值是f(0)=—1
②函数在上是单调减函数；在x>0上单调递增函数，故错误。
③若上恒成立，则，故a的取值范围是a>1，成立
④对任意恒有
，因为是凹函数，成立。
18．（Ⅰ）；（Ⅱ）.
【解析】试题分析：（Ⅰ）直接在中运用正弦定理即可得出结论；（Ⅱ）由已知及余弦定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解.
试题解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，解得，
所以.
（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，因为，所以，所以的面积为.
19．（）对称轴方程：（），（）
【解析】试题分析：（1）利用诱导公式、和差化积公式、积化和差公式进行计算得到，据此求得其最小正周期和单调区间；（2）利用（1）的结论得到
，易得，由正弦定理得到：sinB=，结合角B的取值范围和特殊角的三角函数值推知角B的大小，利用三角形内角和定理可以求得角C的大小，所以由余弦定理来求c的值即可．（3），∴或，在中，，化简，解出A的范围再求出原式的范围.
试题解析：
（）∵
,
,
．
最小正周期，对称轴方程：，
．
（）∵，∴，，
又∵是锐角三角形，∴，又∵，，，
解出或．又∵由正弦定理，∴，
∴在锐角中，，∴，∵在中，，
∴，∴．
综上，，．
（）∵，，∴或，
在中，，又∵
,
．
令，
原式
,
,
．
∵在中，，，且，，
代入不等式，解出．∴，，，
∴．
所以原式的取值范围是.
点睛：本题考查了正弦定理、余弦定理，三角函数的周期性和单调性，函数y=Asin（ωx+φ），x∈R及函数y=Acos（ωx+φ）；x∈R（其中A、ω、φ为常数，且A≠0，ω＞0）的周期T=2π÷ω，解题时注意题干中限制为锐角三角形.
20．（1）详见解析；（2）
【解析】
试题分析：（1）根据等差数列的定义进行证明即可；（2）利用（1）中求得的数据可以推知．利用错位相减法来求．
试题解析：解：（1）
………………4分
∴数列是以为首项，3为公差的等差数列。………………5分
（2）由（1）可知………………7分
①
②………………9分
①-②得：
………………12分
考点：1.数列的求和；2.等差关系的确定．
【方法点睛】针对数列（其中数列分别是等差数列和等比数列（公比）），一般采用错位相减法求和，错位相减的一般步骤是:1.…①；2.等式两边同时乘以等比数列的公比，得到…②；3.最后①-②，化简即可求出结果.
21．（1）见解析（2）
【解析】试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理，先证明BC⊥平面AA1C，再证得平面AA1C⊥平面BA1C；（2）由于是固定的，且,所以当C点到AB的距离最大时，几何体的体积有最大值。
试题解析：（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，
所以AC⊥BC．
因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，
而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．
又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．
（2）解：在Rt△ABC中，当AB边上的高最大时，三角形ABC面积最大，
此时AC=BC.
此时几何体取得最大体积.
则由AB2=AC2+BC2且AC=BC， 得，
所以体积为 ．
22．（1）见解析；（2）．
【解析】试题分析：
(1)利用题意首先证明面然后利用线面垂直的结论可得.
(2)建立空间直角坐标系，由平面的法向量可求得二面角的余弦值为．
试题解析：
⑴证明：取中点，连接
分别是的中点
四边形是平行四边形
面,
面
⑵以点为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则
设面的法向量为
由，令，即
面的一个法向量
设二面角的大小为，则
23．（1） ;（2）
【解析】
试题分析：（1）由题设知：，解绝对值不等式，即可解得函数的定义域；（2）不等式即，时，恒有，不等式解集是R，可得m+4≤3，即可求出结果．
试题解析：解：（1）由题设知：，
不等式的解集是以下不等式组解集的并集：
，或，或
解得函数的定义域为；
（2）不等式即，
时，恒有，
不等式解集是R，
的取值范围是
考点：1．绝对值不等式；2．恒成立问题．
【方法点睛】:的解法一般有两种方法：
①零点分段讨论法：利用绝对值的分界点将区间进行分段，进而去掉绝对值符号，将问题转化成分段不等式组进行求解；
②绝对值的几何意义：对于的类型，可以利用绝对值的几何意义进行求解．
24．（1）；（2）
【解析】试题分析：（1）求导得，故，又，根据点斜式方程可得切线方程；（2）令，解不等式可得函数的单调递减区间。
试题解析：
（1）∵
∴，
∴，
又，
∴函数的图象在点处的切线方程为，
即。
（2）由（1）得，
令，解得或。
∴函数的单调递减区间为。
点睛：
（1）利用导数研究曲线的切线问题，一定要熟练掌握以下条件：
①函数在切点处的导数值也就是切线的斜率．即已知切点坐标可求切线斜率，已知斜率可求切点坐标．②切点既在曲线上，又在切线上．切线有可能和曲线还有其它的公共点．
（2）求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．
25．(1) ;(2) 函数在区间上的最大值为6;(3)见解析.
【解析】试题分析：（1）根据切线的几何意义得到，，代入已知的斜率和点得到方程；（2）对函数求导，研究函数的单调性，和极值，最终求得函数的最值；（3）设=，转化为此函数有唯一的零点。
（1）由，得 ,
所以，又
所以曲线在点处的切线方程为：，
即： .
（2）令，得 . 与在区间的情况如下：
-
0
+
极小值
因为 所以函数在区间上的最大值为6.
（3）证明：设=，则，
令，得.与 随x的变化情况如下：
1
0
0
极大值
极小值
则的增区间为，，减区间为.
又，，所以函数在没有零点，
又，
所以函数在上有唯一零点.
综上，在上存在唯一的，使得.
点睛：本题考查了函数的切线问题，根据导数的几何意义，求得函数的切线；对于研究函数最值问题，一般先研究函数的单调性，根据单调性求函数的值域；而方程有解问题，可以转化为函数有零点问题，也可以转化为图像有交点问题。
26．（）（）在单调递增，在单调递减．（）
【解析】试题分析：（1）a=-1时，求函数f（x）的导数，求出切线的斜率，点斜式写出在处的切线方程（2）∵，分类讨论当时，当时的单调性（3）求F（x）的导数，利用导数判定F（x）的单调性与极值，从而确定使F（x）没有零点时a的取值．
试题解析：
（）当时，，
，
，
∴，
即在处的切线方程为．
（）∵
，
，
当时，在上恒成立，
∴在单调递增，
当时，令，解得，
令，解得，
∴在单调递增，
在单调递减．
（）∵没有零点，
即无解，
∴与两图象无交点，
设两图象相切于点，
∴，
∴，．
∵两图象无交点，
∴
点睛：研究函数零点的问题，转化为方程的根的问题，再对式子进行变形处理可以转化为两个函数图像交点的问题，利用导数分别研究函数的单调性，对于直线与曲线的位置关系里相切状态是临界.
27．（1）单调递增区间为，单调减区间为（2）（3）见解析
【解析】试题分析：（1）当时,求出，由可得增区间，由可得减区间；（2）求出函数的导数，由，得到函数的单调区间，根据函数的单调性可得，从而确定的范围；（3）当时，先证明即，，得，则叠加得化简即可得结果.
试题解析：（1）当时，得，解得，
∴函数的单调递增区间为，单调减区间为.
（2），依题意可知，此时得，
在上单调递减，在上单调递增，又或时，
，
∴的图象与轴交于两点，
当且仅当即
得.
∴的取值范围为.
（3）令，
∵，∵，得
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，得.
当时，即.
令，得，则叠加得：
，
即.
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