高三校际教学质量联合检测考试
理科数学
2017.11
本试卷共5页，满分150分。
考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的准考证号、姓名填写在答题卡上。考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名、考试科目”与考生本人准考证号、姓名是否一致。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束，监考员将试题卷、答题卡一并收回。
第I卷(选择题，共60分)
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．设全集U=R，集合，，则图中阴影部分表示的集合为
A． B．C．D．
2．已知点A(1，3)，B(4，－1)，则与向量同方向的单位向量为
A．B．C．D．
3．若，则“”是“”的
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既非充分又非必要条件
4．已知函数是奇函数，则实数a的值为
A．1 B． C．1或 D．0
5．在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳一次，设命题P是“甲降落在指定范围”，命题q是“乙降落在指定范围”，则命题“至少有一位学员没有降落在指定范围内”可表示为
A． B． C． D．
6．设变量满足约束条件，则的最大值为
A.4 B.6 C.8 D.10
7．已知曲线，则下列说法正确的是
A．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
C.把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
D．把曲线向右平移个单位长度，再把得到的曲线上各点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，得到曲线
8．两旅客坐火车外出旅游，希望座位连在一起，且有一个靠窗，已知火车上的座位如图所示，则下列座位号码符合要求的应当是
A．48，49 B．62，63 C．75，76 D．84，85
9．函数 (其中e为自然对数的底数)图象的大致形状是
10．已知数列的首项，其前项和满足
A． B． C． D．
11.已知点O为内一点，且的面积之比等于
A.9：4：1 B.1：4：9 C.3：2：1 D.1：2：3
12．已知函数
上的最大值是
A． B．
C． D．
第Ⅱ卷(非选择题，共90分)
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。共20分。
13．函数的递减区间是___________．
14．设___________（其中e为自然对数的底数）．
15．设集合都是M的含有两个元素的子集，且满足：对任意的，都有（表示两个数中的较小者），则k的最大值是____________.
16．已知关于的不等式（其中e为自然对数的底数）有解，
则实数a的取值集合为__________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明。证明过程或演算步骤。
17．(本小题满分10分)
已知定义域为R的函数是奇函数.
(I)求的值；
(1I)当时，恒成立，求实数k的取值范围．
18．(本小题满分12分)
已知为数列的前n项和，且满足．
(I)证明为等比数列；
(II)设数列的前n项和为，求．
19．(本小题满分12分)
如图，在中，已知点D在BC边上，且
．
(I)求AD的长；
(Ⅱ)求．
20．(本小题满分12分)
已知向量．
(I)若，试判断能否平行；
(Ⅱ)若，求函数的最小值．
21．(本小题满分12分)
某化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，经过市场调查和测算，2017年化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件．已知每年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其平均每件生产成本的150％与平均每件促销费的一半之和。则当年生产的化妆品正好能销完．
(I)将该企业2017年的利润y(万元)表示为t(万元)的函数；
(Ⅱ)该企业2017年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大．
(利润=销售收入－生产成本－促销费，生产成本=固定费用+生产费用)
22．(本小题满分12分)
已知函数(其中e为自然对数的底数)．
(I)讨论函数的单调性；
(Ⅱ)当时，不等式恒成立，求实数a的最大值．
(III)已知点，曲线在点处的切线与直线交于点N，求（O为坐标原点）的面积最小时的值，并求出面积的最小值.
绝密★启用前 试卷类型：A
理科数学 参考答案
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。
BAABA,CBDBB, CD
1、【答案】B
【解析】因为,所以阴影部分表示的集合为,故选B.
2、解析 ,则与其同方向的单位向量.故选A.
3．【解析】答案A，由已知得此时是的必要不充分条件。
4.【解析】答案B，由题意知恒成立，可解得.
5、【答案】A，解析：依据题意得：“甲没有降落在指定范围”，：“乙没有降落在指定范围”，因此“至少一位学员没有降落在指定范围”可以表示为，故选A。
6、解析：答案C，作出可行域，先求出，故最大值为8.
或如图所示：结合的图像为正“V”形，即可得答案．
7、【答案】B，【解析】
对于，，
对于, ,
对于， ,
对于， ,
或直接由.故选B.
8、解析：选D，由已知图形中座位的排序规律可知，被5除余1的数和能被5整除的座位号靠窗，由于两旅客希望座位连在一起，且有一个靠窗，分析选项中的4组座位号知，A、B两组座位号都不靠窗，C中两个座位没有连在一起，只有D符合条件．
9、解析：答案B.易知函数为奇函数，且函数在上，故选B.
10、解析：答案B.由 ①
②
由②-①得,
,
又，,
数列为从第二项起，公比为-1的等比数列，
，
11、解析：答案C, 延长到，使,延长到，使,连接,取的中点，则,三点共线且为的重心，则,在中，为的中点，,在中，为边近端的三等分点，,在中，连接，为的中点，,在中，为边近端的三等分点，,,面积之比为
．
12、解析：D，在上是增函数，所以，令，则，，可得，同理可得，，，因此在上的最大值是．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。
13.答案；14. 答案；15、答案11；16、答案.
13、解析：因为定义域为，所以函数的递减区间是．
14、解析：==.
15、解析： 含有2个元素的子集有15个，但是，，；，；， 三组中都只能取一个，故有11个.
16、解析：由已知，，
，
即上的动点与上的点的距离小于等于，
设函数切线的切点为，所以=，所以，
所以切点为，两曲线动点之间的最小距离为到直线的距离，
，所以不存在小于的两点，
当时，为过切点的垂线与直线交点的横坐标，垂线方程为，解得.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17、解：(1)因为在定义域为的奇函数，所以，
即. ………………………………………… 1分
又由，即， ………………………2分
检验知，当函数为奇函数. ………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，故函数在上为减函数，
又因为是奇函数，从而不等式：，
等价于，即 ………………6分
因为减函数，由上式可得．
即对一切有：恒成立， …………………… 8分
设，令,
则有，，
，即k的取值范围为. …………………………12分
18、解：（1）当时，；时原式转化为：
，即，所以，
所以为首项为，公比为的等比数列. ………………6分
（Ⅱ）由（1）知：，所以.
于是，
………………12分
19、解：（Ⅰ）由得，
，
在中，由余弦定理知，
即，解得或，显然，
故. …………………………6分
（Ⅱ）由得，在中，由正弦定理知即，故，
，
. …………………………12分
20、解析：（Ⅰ）若与平行，则有，因为，，所以得，这与相矛盾，故与不能平行. …………………………6分
（Ⅱ）由于，又因为，所以， 于是，当，即时取等号.故函数的最小值等于. ………………12分
21、解析：（Ⅰ）由题意设：，将，代入得 ，
当年生产（万件）时，年生产成本=固定费用+年生产费用为；；
当销售（万件）时，年销售收入=；
由题意，生产万件化妆品正好销完，所以，年利润=年销售收入-年生产成本-促销费，
，
或者. ………………………6分
（Ⅱ）方法一： (万元)，
当且仅当即t =7时，，所以，当促销费用定在7万元时，企业的年利润最大。
方法二：，当t 7时，，y递减，故t =7时，所以，当促销费用定在7万元时，企业的年利润最大。 ……………12分
22、解析：（Ⅰ）依题意，，，令，故，令，解得。故在上单调递减，在上单调递增。故，故，即，故函数在R上单调递增。 …………………………4分
（Ⅱ）法一：令则，令，
（i）当时，在，，所以在上为增函数，
，所以，所以在上为增函数，
适合题意.
（ii）当时，和变化如下表，
0
+
0
极小值
0
极小值
所以函数在上为减函数，.
所以函数在上为减函数，，不适合题意.
综上，. …………………………8分
法二：不等式恒成立，得：
当时，，故时符合要求，故只需研究时的范围即可
当时
（灵活变形，对数的导数一般比指数导数简单）
令，
则，，
（i）当，即时，和变化如下表：
0
+
0
极小值
故，不符合，
（ii）当，即时，当时，恒成立，
在为单调递增函数， ，符合题意，
综上可得：， 的最大值为
. …………………………8分
（Ⅲ）依题意，切线l的斜率为由此得切线l的方程为
令x=1,得，
所以，
设
令，得或的变化情况如下表：
0
0
+
1
所以在上单调递减，在上单调递增。所以,
即时，的面积有最小值1. …………………………12分
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