高三期中质量检测理科数学试题
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知集合，集合，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】= ,选C.
2. 下列命题中的假命题是（ ）
A. ， B.
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】，; ;，;，,所以D为假命题,选D.
3. 下列函数中，既是奇函数又是区间上的减函数的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】不是奇函数;既是奇函数又是区间上的减函数; 是奇函数又是区间上的增函数;不是奇函数,所以选B.
4. 数列为等差数列，是其前项的和，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】 ,选A.
5. 已知向量，的夹角为，且，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】因为,所以
,选D.
6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位 B. 向右平移个单位
C. 向左平移个单位 D. 向右平移个单位
【答案】A
【解析】 ,所以向左平移 个单位,选A.
7. 的内角、、的对边分别为、、，若、、成等比数列，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】由、、成等比数列，得 ,所以
,选B.
8. 函数的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】由 得,舍去A; 当 时 ,舍去B; 当 时 ,舍去D;选C.
点睛：有关函数图象识别问题的常见题型及解题思路(1)由解析式确定函数图象的判断技巧：（1）由函数的定义域，判断图象左右的位置，由函数的值域，判断图象的上下位置；②由函数的单调性，判断图象的变化趋势；③由函数的奇偶性，判断图象的对称性；④由函数的周期性，判断图象的循环往复．(2)由实际情景探究函数图象．关键是将问题转化为熟悉的数学问题求解，要注意实际问题中的定义域问题．
9. 我国古代数学名著《九章算术》中，有已知长方形面积求一边的算法，其方法前两步分为：
第一步：构造数列，，，，…，.①
第二步：将数列①的各项乘以，得数列（记为），，，…，.
则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为 ,所以 ,选B.
点睛：裂项相消法是指将数列的通项分成两个式子的代数和的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项相消法适用于形如 (其中是各项均不为零的等差数列，c为常数)的数列. 裂项相消法求和，常见的有相邻两项的裂项求和(如本例)，还有一类隔一项的裂项求和，如或.
10. 函数零点的个数为（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】C
【解析】当时,
当时,与 有两个交点,因此一共有三个零点,选C.
11. 在平行四边形中，，边，，若、分别是边、上的点，且满足，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】设
,选D.
点睛：平面向量数量积的类型及求法
(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式；二是坐标公式
；三是利用数量积的几何意义.
(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.
12. 函数是定义在上的奇函数，且为偶函数，当时，，若函数有三个零点，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】因为为偶函数,为奇函数,所以 ,即周期为4
点睛：利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)利用零点存在的判定定理构建不等式求解.
(2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解.
(3)转化为两熟悉的函数图象的上、下关系问题，从而构建不等式求解.
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 的值为__________.
【答案】
【解析】
14. 计算：__________.
【答案】
【解析】
点睛： 三角函数式的化简要遵循“三看”原则
(1)一看“角”，这是最重要的一环，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；
(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；
(3)三看“结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如“遇到分式要通分”等
15. 已知曲线：与曲线：，若两条曲线在交点处有相同的切线，则实数的值为__________.
【答案】
【解析】设交点为 ，则切线斜率为
16. 若对任意的，均有成立，则称函数为函数和函数在区间上的“中间函数”.已知函数，，，且是和在区间上的“中间函数”，则实数的取值范围是__________.
【答案】
【解析】 在区间上恒成立，所以
点睛：利用导数研究不等式恒成立或存在型问题，首先要构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题.
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知函数.
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）求在上的最小值.
【答案】(1)最小正周期为；单调递增区间为，.(2).
【解析】试题分析：（1）先利用二倍角公式降幂，再利用两角差余弦公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数，最后根据正弦函数性质求周期与单调区间（2）根据自变量范围确定正弦函数取值范围，再根据正弦函数图像确定最小值
试题解析：（1）
，
所以函数的最小正周期为.
由，，
得，，
所以函数的单调递增区间为，.
（2）因为，所以，
所以，所以，
所以在上的最小值为.
18. 在数列中，已知，，，为常数.
（1）证明：，，成等差数列；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】(1)证明见解析；(2).
【解析】试题分析：（1）根据递推关系求，，再验证成立即可（2）先构造等差数列，再根据等差数列通项公式得，由等比数列定义得数列
为等比数列，最后根据等比数列求和公式求数列的前项和.
试题解析：（1）因为，，
所以，
同理，，，
又因为，，
所以，
故，，成等差数列.
（2）由，得，
令，则，，
所以是以为首项，公差为的等差数列，
所以，
即，，两式相加，得：，
所以，
，
当，，
当，.
19. 已知的内角、、的对边分别为、、，.
（1）若，求的值；
（2）求的取值范围.
【答案】(1)；(2).
试题解析：（1）由余弦定理及题设可知：，得，
由正弦定理，得.
（2）由题意可知.
.
因为，所以，故，
所以的取值范围是.
20. 已知函数（，）.
（1）若的图象在点处的切线方程为，求在区间上的最大值和最小值；
（2）若在区间上不是单调函数，求的取值范围.
【答案】(1)最大值为8，最小值为；(2).
【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得，求导函数解得；再根据，得.再根据导函数求得零点，列表可得导函数符号，确定函数单调性，最后得到最值（2）由题意得导函数在上存在零点，所以的两根满足或，解得的取值范围.
试题解析：（1）∵在上，∴，
∵点在的图象上，∴，
又，∴，
∴，解得，.
∴，，
由可知和是的极值点.
∵，，，，
∴在区间上的最大值为8，最小值为.
（2）因为函数在区间上不是单调函数，所以函数在上存在零点.
而的两根为，，
若，都在上，则解集为空集，这种情况不存在；
若有一个根在区间上，则或，
∴.
21. 在等差数列中，，其前项和为，等比数列的各项均为正数，，且，.
（1）求数列和的通项公式；
（2）令，设数列的前项和为，求（）的最大值与最小值.
【答案】(1)，；(2)的最大值是，最小值是.
【解析】试题分析：（1）由条件列关于公差与公比的方程组，解得，，再根据等差与等比数列通项公式求通项公式（2）化简可得，再根据等比数列求和公式得，结合函数单调性，可确定其最值
试题解析：（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为，则
解得，，
所以，.
（2）由（1）得，故，
当为奇数时，，随的增大而减小，所以；
当为偶数时，，随的增大而增大，所以，
令，，则，故在时是增函数.
故当为奇数时，；
当为偶数时，，
综上所述，的最大值是，最小值是.
22. 已知函数.
（1）若函数在其定义域内为增函数，求实数的取值范围；
（3）设函数，若在上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围.
【答案】(1)；(2).
【解析】试题分析：（1）由题意得导函数在其定义域内恒非负，再根据二次方程恒成立条件得实数的取值范围；（2）将不等式有解问题，利用参变分离法转化为对应函数最值问题，再利用导数求对应函数最值，即得实数的取值范围.
试题解析：（1），，
因为函数在其定义域内为增函数，
所以，恒成立，
当时，显然不成立；
当时，，要满足，时恒成立，则，
∴.
（2）设函数，，
则原问题转化为在上至少存在一点，使得，即.
①时，，
∵，∴，，，则，不符合条件；
②时，，
由，可知，
则在单调递增，，整理得.
综上所述，.
点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.
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