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湖北八校2018届高三数学12月联考试题(理科附答案)

时间:2017-12-08 11:34:25作者:佚名试题来源:网络
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2018届高三第一次联考
数学试题(理)

一、选择题 (本大题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。)
1.已知集合 ,则(   )
A.       B.      C.       D.
2. 复数 的共轭复数为(   )
A.-            B.           C.            D.
3. 将函数 的图像向右平移 个单位后得到的图像关于原点对称,则 的最小值是(   )
A.            B.          C.            D.
4. 已知函数 ,则不等式 的解集为(   )
A.      B.  
C.        D.
5. 已知命题 ,  且 ,命题 , .下列命题是真命题的是(   )
A.         B.             C.          D.
6. 将正方体(如图1)截去三个三棱锥后,得到如图2所示的几何体,侧视图的视线方向如图2所示,则该几何体的侧视图为(   )

 

 

7. 下列说法错误的是(   )
A.“函数 的奇函数”是“ ”的充分不必要条件.
B.已知 不共线,若 则 是△ 的重心.
C.命题“ , ”的否定是:“ , ”.
D.命题“若 ,则 ”的逆否命题是:“若 ,则 ”.
8. 已知等比数列 的前 项和为 ,已知 ,则 (   )
A.-510           B.400         C. 400或-510          D.30或40
9. 南宋数学家秦九韶在《数书九章》中提出的秦九韶,算法至今仍是多项式求值比较先进的算法.已知 ,下列程序框图设计的是求 的值,在“      ”中应填的执行语句是(   )
A.       
B.        
C.        
D. 
10. 已知 ,且 ,则 (   )
A.       B.       C.     D. 
11. 已知△ 中, 为角 的对边, ,则△ 的形状为(    )
A. 锐角三角形        B. 直角三角形        C. 钝角三角形   D . 无法确定
12. 我国古代太极图是一种优美的对称图.如果一个函数的图像能够将圆的面积和周长分成两个相等的部分,我们称这样的函数为圆的“太极函数”.下列命题中错误命题的个数是(   )
 对于任意一个圆其对应的太极函数不唯一;
 如果一个函数是两个圆的太极函数,那么这两个圆为同心圆;
 圆 的一个太极函数为 ;
 圆的太极函数均是中心对称图形;
 奇函数都是太极函数;
 偶函数不可能是太极函数.
 A. 2      B. 3         C.4      D.5
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分)
13.已知平面向量 且 ,则           .
14.曲线 与直线 所围成的封闭图形的面积为            .
15.已知等差数列 是递增数列,且 , ,则 的取值范围为           .
16. 是 上可导的奇函数, 是 的导函数.已知 时 ,不等式 的解集为 ,则在 上 的零点的个数为           .

三、解答题(本大题共70分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。)
17.(12分)已知向量 .
(1)求 的最大值及 取最大值时 的取值集合 ;
(2)在△ 中, 是角 的对边若 且 ,求△ 的周长的取值范围.
18.(12分)已知数列 满足 .
(1)求证: 是等比数列;  
(2)求 的通项公式.
19.(12分)四棱锥 中, ∥ ,  ,  , 为 的中点.
(1)求证:平面 平面 ;
(2)求 与平面 所成角的余弦值.
20.(12分)已知某工厂每天固定成本是4万元,每生产一件产品成本增加100元,工厂每件产品的出厂价定为 元时,生产 件产品的销售收入是 (元), 为每天生产 件产品的平均利润(平均利润= ).销售商从工厂每件 元进货后又以每件 元销售,  ,其中 为最高限价 , 为销售乐观系数,据市场调查, 是由当 是 , 的比例中项时来确定.
  (1)每天生产量 为多少时,平均利润 取得最大值?并求 的最大值;
  (2)求乐观系数 的值;
  (3)若 ,当厂家平均利润最大时,求 的值.

21.(12分)已知函数 是 的一个极值点.
  (1)若 是 的唯一极值点,求实数 的取值范围;
  (2)讨论 的单调性;
(3)若存在正数 ,使得 ,求实数 的取值范围.
请考生在22、23两题中任选一题作答。如果多做,则按所做第一个题目计分。

22.(10分)已知曲线 的极坐标方程为 , 的参数方程为 ( 为参数).
   (1)将曲线 与 的方程化为直角坐标系下的普通方程;
   (2)若 与 相交于 两点,求 .

23.(10分)已知 .
  (1)求 在 上的最大值 及最小值 .
  (2) ,设 ,求 的最小值.

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2018届高三第一次联考
 数学参考答案(理)
一、选择题
C A B C A—— D A B C D—— B C
二、填空题
13.          14.         15.         16. 2
三、解答题
17.(1) ,
 
 
 的最大值为              ………………4分
此时    即  
                  ………………6分
(2)   
 ,               ………………7分
 由 得
         ………………10分
又     ………………11分
故 ,即周长 的范围为 .  ………………12分
18.(1)由 得
 
 
 
 是等比数列.     ………………6分
(2)由(1)可得
 
 是首项为 ,公差为 的等差数列
 
 .        ………………12分


19.(1) 为 的中点,
 
设 为 的中点,连接 则
   

     从而
    面   
 面    面
 面 面 ………………6分
(2)设 为 的中点,连接 ,则 平行且等于  
 ∥     ∥
不难得出 面 (   )
 面 面
 在面 射影为 , 的大小为 与面 改成角的大小
设 ,则   
 
即 与 改成角的余弦值为 .(亦可以建系完成) ………………12分

20.依题意总利润=

 
   此时
 
即,每天生产量为400件时,平均利润最大,最大值为200元 ………………6分
(2)由 得
 是 的比例中项
 
两边除以 得
   解得 .              ………………8分
(3)厂家平均利润最大, 元
每件产品的毛利为
 
 元
 (元), 元.  ………………12分

21.(1) ,    是极值点
  ,故 ,   
 
 是唯一的极值点
 恒成立或 恒成立
由 恒成立得 ,又   
由 恒成立得 ,而 不存在最小值,  不可能恒成立.    ………………4分
(2)由(1)知,当 时,  ,   ;    ,   .
 在 递减,在 上递增.
当 时,
 , ;   ,  ;   ,  .
 在 、 上递增,在 上递减。
当 时, 在 、  上递增,在 递减。
 时, 在 上递增.  ………………8分
(3)当 时, ,满足题意;
当 时,  ,满足题意;
当 时,由(2)知需 或 ,
当 时, ,而 ,故存在 使得 ,这样 时 的值域为 从而可知满足题意
当 时,得 或者 解得 ;
当 时, 可得满足题意.
  的取值范围 或 .  ………………12分
22.(1)曲线 的直角坐标系的普通方程为
曲线 的直角坐标系的普通方程为   ………………5分
(2)将 的参数方程代入 的方程 得
 得:
 
解得
 .  ………………10分
23.(1)
  时,   ………………5分
(2)
 
 的最小值为 .   ………………10分

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