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湖南省湘东五校2017年下期高三联考
理科数学
总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2017年12月8日
由 醴陵市一中 浏阳市一中 攸县一中 株洲市八中 株洲市二中联合命题
姓名___________ 考号__________
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则( )
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，若复数的实部与虚部互为相反数，则( )
A. B. C. D.
3.“不等式在上恒成立”的一个必要不充分条件是( )
A. B. C. D.
4．某几何体的三视图如右图所示，则这个几何体的体积为（ ）
A． B．
C． D．
5．圆上到直线的距离等于2的点有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
6．函数的图象的大致形状是( )
A B C D
7．已知实数满足，且的最大值为6，则 的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8.若表示不超过的最大整数，则右图中的程序框图运行之后输出的结果为（ ）
A. 600 B. 400 C. 15 D. 10
9．已知，则等于 ( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
10．已知平面区域，现向该区域内任意掷点，则该点落在曲线 下方的概率是（ ）
A. B. C. D.
11．设F是双曲线的焦点，过F作双曲线一条渐近线的垂线，与两条渐近线交于P，Q，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．已知是定义在上的函数，且满足①；②曲线关于点对称；③当时，若在上有5个零点，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13．若的展开式中的系数为20，则__________．
14．平面向量的夹角为，，则_________.
15．已知等腰中， ， 分别为的中点，沿将折成直二面角（如图），则四棱锥的外接球的表面积为__________．
16．已知，其中， 的最小正周期为.
（1）函数的单调递增区间是 ___________
（2）锐角三角形中，角A,B,C的对边分别为, 若，则的取值范围是______________.
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
17．（12分）已知各项均不相等的等差数列的前四项和成等比数列.
（1）求数列的通项公式；
（2）前项的和，若，求实数的最大值.
18．（12分）已知具有相关关系的两个变量之间的几组数据如下表所示：
（1）请根据上表数据在网格纸中绘制散点图；
（2）请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出关于的线性回归方程，并估计当时的值；
（3）将表格中的数据看作五个点的坐标，则从这五个点中随机抽取3个点，记落在直线右下方的点的个数为，求的分布列以及期望.
参考公式：， .
19. （12分）如图所示，等腰梯形ABCD的底角∠BAD＝60°，直角梯形ADEF所在的平面垂直于平面ABCD，∠EDA＝90°，且ED＝AD＝2AF＝2AB＝2.
(1)证明：平面ABE⊥平面EBD；
A
B
C
D
E
F
M
(2)点M在线段EF上，试确定点M的位置，使平面MAB与平面ECD所成角的余弦值为.
20．（12分）已知椭圆C的中心在原点，离心率等于，它的一个短轴端点恰好是抛物线的焦点．
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知P（2，3）、Q（2，﹣3）是椭圆上的两点，A，B是椭圆上位于直线PQ两侧的动点，
①若直线AB的斜率为，求四边形APBQ面积的最大值；
②当A、B运动时，满足∠APQ=∠BPQ，试问直线AB的斜率是否为定值，请说明理由．
21. （12分）已知函数
（1）若函数在点处的切线与函数的图象相切，求的值；
（2）的最大值．
（参考数据：≈1.61，≈1.7918，=0.8814）
选考题：共10分。请考生在第22、23
题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22、（10分）[选修4―4：坐标系与参数方程]
平面直角坐标系中，倾斜角为的直线过点，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
(1)写出直线的参数方程(为常数)和曲线的直角坐标方程；
(2)若直线与交于、两点，且，求倾斜角的值.
23（10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若二次函数与函数的图象恒有公共点，求实数的取值范围.
湖南省湘东五校2017年下期高三联考
理科数学参考答案
一． 选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
C
C
B
B
A
B
C
A
C
B
二．填空题：
13． ； 14. ； 15. ；
16. (1) ；(2) .
三．解答题：
17． （1）设公差为d,由已知得：
，
联立解得d=1或d=0（舍去）
所以 解得 ……………………………6分
（2）∵
∴ ………………… 9分
又因为恒成立，所以，
而 ，当n=2时等号成立。
所以， 即的最大值为16. ……………………………12分
18.（1）散点图如图所示：
…………………………………2分
（2）依题意， ， ，
， ，
，∴；
∴回归直线方程为，故当时， . ……………………7分
（3）可以判断，落在直线右下方的点满足，
故符合条件的点的坐标为，故的可能取值为1,2,3；
， ， ，
故的分布列为：
故. ………………………………12分
19.（1）证明：∵平面ABCD⊥平面ADEF，平面ABCD∩平面ADEF=AD，ED⊥AD，ED⊂平面ADEF，
∴ED⊥平面ABCD，∵AB⊂平面ABCD，
∴ED⊥AD，
∵AB=1，AD=2，∠BAD=60°，
∴BD==，
∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥BD，
又BD⊂平面BDE，ED⊂平面BDE，BD∩ED=D，
∴AB⊥平面BDE，又AB⊂平面ABE，
∴平面ABE⊥平面EBD． …………………………………6分
（2）解：以B为原点，以BA，BD为x轴，y轴建立空间直角坐标系B﹣xyz，
则A（1，0，0），B（0，0，0），C（﹣，，0），
D（0，，0），E（0，，2），
F（1，0，1），则=（，，0），=（0，0，2），
=（1，0，0），=（1，﹣，﹣1），
设=λ=（λ，﹣λ，﹣λ）（0≤λ≤1），
则=+=（λ，﹣，2﹣λ），
设平面CDE的法向量为=（x1，y1，z1），平面ABM的法向量为=（x2，y2，z2），
则，，
∴，，
令y1=1得=（﹣，1，0）（也可以证明向量是平面CDE的法向量）
令y2=2﹣λ得=（0，2﹣λ，）， ……………………………9分
∴cos＜＞===，解得λ=，
∴当M为EF的中点时，平面MAB与平面ECD所成的角的余弦值为． ………12分
20.解：（1）设C方程为，则．
由，得a=4
∴椭圆C的方程为． …………………………………4分
（2）①解：设A（x1，y1），B（x2，y2），直线AB的方程为，
代入，得x2+tx+t2﹣12=0
由△＞0，解得﹣4＜t＜4
由韦达定理得x1+x2=﹣t，x1x2=t2﹣12． …………………………………6分
∴==．
由此可得：四边形APBQ的面积
∴当t=0时，． …………………………………8分
②当∠APQ=∠BPQ，则PA、PB的斜率之和为0，设直线PA的斜率为k
则PB的斜率为﹣k，直线PA的直线方程为y﹣3=k（x﹣2）
由
（1）代入（2）整理得（3+4k2）x2+8（3﹣2k）kx+4（3﹣2k）2﹣48=0
∴
将k换成-k可得: …………………………10分
∴
∴
所以AB的斜率为定值． ………………………………12分
21.（1）∵函数f（x）=5+lnx，∴f（1）=5，且，
从而得到f′（1）=1．
∴函数f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为：y﹣5=x﹣1，即y=x+4．…………2分
设直线y=x+4与g（x）=，（k∈R）相切于点P（x0，y0），
从而可得g′（x0）=1，g（x0）= +4，又，
∴，解得或．
∴k的值为1或9． …………………………………………5分
（2）当x∈（1，+∞）时，5+lnx＞恒成立，
等价于当x∈（1，+∞）时，k＜恒成立． ……………………6分
设h（x）=，（x＞1），则，（x＞1）
记p（x）=x﹣4﹣lnx，（x＞1），则p′（x）=1﹣=，
∴p（x）在x∈（1，+∞）递增．
又p（5）=1﹣ln5＜0，p（6）=2﹣ln6＞0， ……………………………………8 分
∴p（x）在x∈（1，+∞）存在唯一的实数根m∈（5，6），使得p（m）=m﹣4﹣lnm=0，①
∴当x∈（1，m）时，p（x）＜0，即h′（x）＜0，则h（x）在x∈（1，m）递减；
当x∈（m，+∞）时，p（x）＞0，即h′（x）＞0，则h（x）在x∈（m，+∞）递增；
所以x∈（1，+∞）时，hmin=h（m）=，
由①可得lnm=m﹣4，∴h（m）=， ………………………10分
而m∈（5，6），m+（），又h（3+2）=8，
p（3+2）=2﹣1﹣ln（3+2）＞0，∴m∈（5，3+2），∴h（m）∈（，8）．
又k∈N*，∴k的最大值是7． ………………………………………12分
22． (1)直线的参数方程为 (为参数)，
曲线的直角坐标方程： . ………………………………4分
(2)把直线的参数方程代入，得：
，
由韦达定理有：， ，
根据直线参数的几何意义， ，得或.
又因为，所以. ………………………10分
23.（1）当时，，
由得不等式的解集为. …………………………5分
（2）由二次函数，该函数在取得最小值2，
因为，在处取得最大值，
所以要使二次函数与函数的图象恒有公共点，
只需，即. …………………………10分
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