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浏阳一中 醴陵一中 南方中学 2017下学期高二年级联考
文科数学
总分：150分 时量：120分钟 考试时间：2017年12月12日
命题人： 审题人：
一．选择题（共12小题，每题5分）
1．已知命题p：若a＞b＞0，则a2＞b2；命题q：若x2=4，则x=2，．下列说法正确的是（ ）
A．“p∨q”为假命题 B．“p∧q”为假命题
C．“p”为真命题 D．“q”为假命题
2．椭圆的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．4
3．下列命题的说法错误的是（ ）
A．对于命题p：∀x∈R，x2+x+1＞0，则p：∃x0∈R，x02+x0+1≤0．
B．“x=1“是“x2﹣3x+2=0“的充分不必要条件．
C．“ac2＜bc2“是“a＜b“的必要不充分条件．
D．命题“若x2﹣3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2﹣3x+2≠0”．
4．在等比数列{an}中，已知a3=6，a3+a5+a7=78，则a5=（ ）
A．12 B．18 C．24 D．36
5．已知函数f（x）=xex，则f′（2）等于（ ）
A．e2 B．2e2 C．3e2 D．2ln2
6．已知双曲线（a＞0，b＞0）的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A．x±y=0 B． C． D．2x±y=0
7．已知a＜b＜0，则下列不等式一定成立的是（ ）
A．a2＜ab B．|a|＜|b| C． D．
8．已知某生产厂家的年利润y（单位：万元）与年产量x（单位：万件）的函数关系式为y=﹣+36x+126，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为（ ）
A．11万件 B．9万件 C．6 万件 D．7万件
9．函数y=的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
10．已知等差数列的公差和首项都不等于，且，，成等比数列，则等于（ ）
A. B. C. D.
11．已知抛物线C：y2=8x的焦点为F，准线为l，P是l上一点，Q是直线PF与C的一个交点，若=4，则|QF|=（ ）
A．3 B． C． D．
12．已知定义在R上的函数f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），当x1+x2=1时，不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，则实数x1的取值范围是（ ）
A．（﹣∞，0） B． C． D．（1，+∞）
二．填空题（共4小题，每题5分）
13．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=2x+3y的最大值为 ．
14．已知 m＞0，n＞0且n+2m=4 ，则+的最小值是 ．
15．如图是某算法的程序框图，若任意输入[，19]中的实数x，则输出的x大于49的概率为 ．
16．f（x）=ax3﹣x2+x+2，，∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），则实数a 的取值范围是 ．
三．解答题（共6小题，总共70分）
17．已知函数f（x）=x3﹣12x．
（1）求在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）求函数f（x）的极值．
18．在等差数列{an}中，a1=﹣2，a12=20．
（Ⅰ）求通项an；
（Ⅱ）若，求数列的前n项和．
19． 某家电公司销售部门共有200位销售员，每位部门对每位销售员都有1400万元的年度销售任务，已知这200位销售员去年完成销售额都在区间[2，22]（单位：百万元）内，现将其分成5组，第1组，第2组，第3组，第4组，第5组对应的区间分别为[2，6），[6，10），[10，14），[14，18），[18，22]，绘制出频率分布直方图．
（1）求a的值，并计算完成年度任务的人数；
（2）用分层抽样从这200位销售员中抽取容量为25的样本，求这5组分别应抽取的人数；
（3）现从（2）中完成年度任务的销售员中随机选取2位，奖励海南三亚三日游，求获得此奖励的2位销售员在同一组的概率．
20．已知椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，一个焦点是F（0，1）．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若倾斜角为的直线l与椭圆C交于A、B两点，且|AB|=，求直线l的方程．
21．已知抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），A为抛物线C上第一象限的任意一点，过点A的直线l交C 于另一点B，交x轴的正半轴于点D，且有|FA|=|FD|，延长AF交曲线C于点E．过点E作直线l1平行于l，设l1与此抛物线准线交于点Q．
（Ⅰ）求抛物线的C的方程；
（Ⅱ）设点A、B、E的纵坐标分别为yA、yB、yE，求的值；
（Ⅲ）求△AEQ面积的最小值．
22．已知函数f（x）=lnx﹣a（x﹣1），a∈R
（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性；
（Ⅱ）当x≥1时，f（x）≤恒成立，求a的取值范围．
浏阳一中 醴陵一中 南方中学 2017下学期高二年级联考文科数学
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
B
B
C
B
C
C
C
C
D
D
A
D
12. 【解答】解：∵不等式f（x1）+f（0）＞f（x2）+f（1）恒成立，
∴不等式f（x1）﹣f（x2）＞f（1）﹣f（0）恒成立，
又∵x1+x2=1，
∴不等式f（x1）﹣f（1﹣x1）＞f（1）﹣f（1﹣1）恒成立，
设g（x）=f（x）﹣f（1﹣x），
∵f（x）=ex+mx2﹣m（m＞0），
∴g（x）=ex﹣e1﹣x+m（2x﹣1），
则g′（x）=ex+e1﹣x+2m＞0，∴g（x）在R上单调递增，
∴不等式g（x1）＞g（1）恒成立，∴x1＞1，故选：D．
二．填空题（共4小题）
13． 9 14． 15． 16． [﹣2，+∞）
16.【解答】解：g′（x）=，而x∈（0，1]，
故g′（x）＞0在（0，1]恒成立，
故g（x）在（0，1]递增，
g（x）max=g（1）=0，
若∀x1∈（0，1]，∀x2∈（0，1]，使得f（x1）≥g（x2），
只需f（x）min≥g（x）max即可；
故ax3﹣x2+x+2≥0在（0，1]恒成立，
即a≥在（0，1]恒成立，令h（x）=，x∈（0，1]，
h′（x）=＞0，h（x）在（0，1]递增，
故h（x）max=h（1）=﹣2，故a≥﹣2，故答案为：[﹣2，+∞）．
三． 解答题（共6小题）
17.【解答】解：（1）∵f（x）=x3﹣12x，∴f（1）=﹣11，
f′（x）=3x2﹣12，f′（1）=﹣9，
故函数f（x）在（1，﹣11）处的切线方程是：y+11=﹣9（x﹣1），
即9x+y+2=0；
（2）∵f（x）=x3﹣12x，
∴f′（x）=3x2﹣12，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜﹣2，
令f′（x）＜0，解得：﹣2＜x＜2，
∴f（x）在（﹣∞，﹣2），（2，+∞）递增，在（﹣2，2）递减，
∴f（x）极大值=f（﹣2）=16，f（x）极小值=f（2）=﹣16．
18.【解答】解：（Ⅰ）因为 an=﹣2+（n﹣1）d，
所以 a12=﹣2+11d=20．
于是 d=2，所以 an=2n﹣4．
（Ⅱ）因为an=2n﹣4，
所以 ．
于是 ，
令 ，则 ．
显然数列{cn}是等比数列，且，公比q=3，
所以数列的前n项和．
19【解答】解：（1）2a=0.25﹣（0.02+0.08+0.09），解得a=0.03，
完成完成年度任务的人数200×4×（0.03+0.03）=48人，
（2）这5组的人数比为0.02：0.08：0.09：0.03：0.03=2：8：9：3：3，
故这5组分别应抽取的人数为2，8，9，3，3人
（3）设第四组的4人用a，b，c表示，第5组的3人用A，B，C表示，
从中随机抽取2人的所有情况如下ab，ac，aA，aB，aC，bc，bA，bB，bC，cA，cB，cC，AB，AC，BC共15种，其中在同一组的有ab，ac，bc，AB，AC，BC共6种，
故获得此奖励的2位销售员在同一组的概率=．
20【解答】解：（1）椭圆C：=1（a＞b＞0）经过点，
则：①
椭圆的一个焦点是F（0，1）．则a2﹣b2=1 ②
由①②得：a2=4 b2=3
椭圆C的方程：③
（2）根据题意可知：设直线l的方程为：y=x+b④
联立③④得：
3（x+b）2+4x2=12
整理得：7x2+6bx+3b2﹣12=0
∴
∵|AB|===
解方程得：b=±2 ∴ 直线l的方程为：y=x±2
故答案为：（1）（2）直线l的方程为：y=x±2
21.【解答】解：（Ⅰ）由抛物线C顶点为O（0，0），焦点为F（1，0），
即有抛物线的方程为y2=4x；
（Ⅱ）设，，
∵|AF|=|DF|∴，∴，
∴直线AD的方程为，
1）当
2）当直线AE的方程为，
由，可得∵yA=t，∴，
由，可得∵yA=t∴
∴；综上所得
（Ⅲ）直线l1方程为y=﹣x﹣，
令x=﹣1，可得Q（﹣1，﹣），yE=，取AE的中点G，
QG∥x轴，则S△AQE=|QG|•|yA﹣yE|，
|QG|=（++2）=（+）2，即有S△AQE=（t+）3≥•（2）3=4，
则S△AQE的最小值为4，当且仅当t=2取等号．
22.【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为（0，+∞），，
若a≤0，则f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上单调递增，
若a＞0，则由f′（x）=0，得x=，
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，
当x∈（）时，f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
所以当a≤0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，
当a＞0时，f（x）在（0，）上单调递增，在（，+∞）上单调递减．
（Ⅱ）f（x）﹣=，
令g（x）=xlnx﹣a（x2﹣1），（x≥1），
g′（x）=lnx+1﹣2ax，令F（x）=g′（x）=lnx+1﹣2ax，
，
①若a≤0，F′（x）＞0，g′（x）在[1，+∞）上递增，
g′（x）≥g′（1）=1﹣2a＞0，
∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，
从而f（x）﹣不符合题意．
②若0＜a＜，当x∈（1，），F′（x）＞0，
∴g′（x）在（1，）上递增，
从而g′（x）＞g′（1）=1﹣2a，
∴g（x）在[1，+∞）上递增，g（x）≥g（1）=0，
从而f（x）﹣不符合题意．
③若a，F′（x）≤0在[1，+∞）上恒成立，
∴g′（x）在[1，+∞）上递减，g′（x）≤g′（1）=1﹣2a≤0，
从而g（x）在[1，+∞）上递减，
∴g（x）≤g（1）=0，f（x）﹣≤0，
综上所述，a的取值范围是[）．
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