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高三数学考试卷
数学Ⅰ试题
注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页,包含填空题(共14题)、解答题(共6题),满分为160分,考试时间为120分钟。考试结束后,请将答题卡交回。
2.答题前,请您务必将自己的姓名、考试证号等用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔填写在答题卡上。
3.作答试题必须用书写黑色字迹的0.5毫米签字笔写在答题卡上的指定位置,在其它位置作答一律无效。如有作图需要,可用2B铅笔作答,并请加黑、加粗,描写清楚。
一、填空题:本大题共14小题,每小题5分,共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1.集合A={x|0≤x≤2},B={-1,2,3},则A∩B= ▲ .
2.若复数z满足z=i(2-i)(i是虚数单位),则复数z的模|z|= ▲ .
3.某市交通部门对某路段公路上行驶的汽车的速度实施监控,从速度在50~90 km/h的汽车中抽取200辆进行分析,得到数据的频率分布直方图(如图所示),则速度在70 km/h以下的汽车有 ▲ 辆.
4.如图,若输入的x值为16,则相应输出的值y为 ▲ .
第3题图 第4题图
5.已知变量x,y满足约束条件则x+y的最大值是 ▲ .
6.某校高三年级学生会主席团共由4名学生组成,其中有两名学生来自同一班级,另外两名学生来自另两个不同班级.现从中随机选出两名学生参加会议,则选出的两名学生来自不同班级的概率为 ▲ .
7.已知一个圆锥的母线长为2,侧面展开图是半圆,则该圆锥的体积为 ▲ .
8.已知双曲线-=1(a>0,b>0)的一条渐近线方程是3x-4y=0,则该双曲线的离心率为 ▲ .
9.在等差数列{an}中,若a4=4,-=96,则数列{an}的前10项和S10= ▲ .
10.将函数y=sin(2x+)的图象向右平移φ(00)的离心率为,且点(,)在椭圆C上.
(1)求椭圆C的方程;
(2)设P为椭圆上第一象限内的点,点P关于原点O的对称点为A,点P关于x轴的对称点为Q,设=λ,直线AD与椭圆C的另一个交点为B,若PA⊥PB,求实数λ的值.
18.(16分)
一块圆柱形木料的底面半径为6 cm,高为16 cm.要将这块木料加工成一只笔筒,在木料一端中间掏去一个小圆柱,使小圆柱与原木料同轴,并且掏取的圆柱体积是原木料体积的三分之一.设小圆柱底面半径为r,高为h,要求笔筒底面的厚度超过1 cm.
(1)求r与h的关系,并指出r的取值范围;
(2)笔筒成形后进行后续加工,要求笔筒上底圆环面、桶内侧面、外表侧面都喷上油漆,其中上底圆环面、外表侧面喷漆费用均为a(元/ cm2),桶内侧面喷漆费用是2a(元/ cm2),而筒内底面铺贴金属薄片,其费用是7a(元/ cm2)(其中a为正常数).
①将笔筒的后续加工费用y(元)表示为r的函数;
②求出当r取何值时,能使笔筒的后续加工费用y最小,并求出y的最小值.
19.(16分)
已知函数f(x)=x(ln x-ax)(a∈R).
(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;
(2)若函数f(x)既有极大值又有极小值,求实数a的取值范围;
(3)设g(x)=ax2-(a-1)x+a,若对任意的x∈(1,+∞),都有f(x)+g(x)>0,求整数a的最大值.
20.(16分)
已知数列{an}的首项a1≠0,其前n项和为Sn,且Sn=3an-2a1对任意正整数n都成立.
(1)证明:数列{an}为等比数列;
(2)若a1=,设bn=,求数列{bn}的前n项和为Tn;
(3)若a1,ak(k≥3,k∈N*)均为正整数,如果存在正整数q,使得a1≥qk-1, ak≤(q+1)k-1,证明:a1=2k-1.
高三数学考试卷参考答案
1.{2} 2. 3.100 4.4 5.4 6. 7.π 8. 9.70 10. 11.(,2] 12.-4
13.(-,+∞) 14.2-1
15.证明:(1)因为D,E分别为AB,AC的中点,
所以DE∥BC. 2分
又DE⊂平面PDE,BC⊄平面PDE,
所以BC∥平面PDE. 5分
(2)过点P作PO⊥CD,垂足为O.
又平面PCD⊥平面ABC,PO⊂平面PCD,
平面PCD∩平面ABC=CD,所以PO⊥平面ABC.
又因为AB⊂平面ABC,所以AB⊥PO. 9分
因为PA=PB,D为AB的中点,所以AB⊥PD. 11分
又∠PDC为锐角,一定有PO∩PD=P,PO,PD⊂平面PCD,所以AB⊥平面PCD.
又PC⊂平面PCD,
所以AB⊥PC. 14分
16.解:(1)由sin Bsin(B+)=,可得sin B(sin Bcos+cos Bsin)=,
即sin2B+sin Bcos B=,故+sin 2B=,整理得sin(2B-)=1. 3分
又B为三角形的内角,即B∈(0,π),于是2B-∈(-,),
所以2B-=,从而B=. 6分
(2)sin A+sin C=sin A+sin(π-(A+B))=sin A+sin(-A)
=sin A+sincos A-cossin A=cos A+sin A=sin(A+). 10分
因为A为三角形的内角,且B=,
于是A∈(0,),故A+∈(,),所以sin(A+)∈(,1].
所以sin A+sin C=sin(A+)∈(,].
即sin A+sin C的取值范围是(,]. 14分
17.解:(1)因为点(,)在椭圆C上,则+=1,
又椭圆C的离心率为,可得=,即c=a,
所以b2=a2-c2=a2-(a)2=a2,代入上式,可得+=1,
解得a2=4,故b2=a2=1.
所以椭圆C的方程为+y2=1. 6分
(2)设P(x0,y0),则A(-x0,-y0),Q(x0,-y0).
因为=λ,则(0,yD-y0)=λ(0,-2y0),故yD=(1-2λ)y0.
所以点D的坐标为(x0,(1-2λ)y0). 8分
设B(x1,y1),则kPB·kBA=·===-. 11分
又kBA=kAD==(1-λ)·,
故kPB=-=-.
又PA⊥PB,且kPA=,
所以kPBkPA=-1,即-·=-1,解得λ=.
所以λ=. 14分
18.解:(1)据题意,πr2h=(π×62×16),所以r2h=192,即h=. 3分
因为16-h>1,故h0,函数f(x)在(0,x1)上单调递增,函数f(x)在x=x1处取极小值. 7分
由于
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