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惠高2018届高三12月月考理科数学试题
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2．已知复数z满足(1－i)z=i，则复数在复平面内的对应点位于 ( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知向量， ，若，则（ ）
A. B. C. 2 D. 4
4. 设点P是函数f(x)＝sinωx的图象C的一个对称中心，若点P到图象C的对称轴的距离的最小值是，则f(x)的最小正周期是( )
A. B．π C．2π D.
5.点到直线的距离为（ ）
A. B． C. D．
6.执行如图所示的程序框图，若输入，则输出的结果为( )
A．80 B．84 C.88 D．92
7．一个棱锥的三视图如上图所示，则它的体积为( )
A． B． C．1 D．
8．已知命题p：对任意x∈R，总有；q：“”是“a>l，b>l”的
充分不必要条件．则下列命题为真命题的是 ( )
A． B． C． D．
9.将函数的图像向左平移个单位后 ，所的图像的解析式是（ ）
A． B． C． D．
10.已知，，则（ ）
A. B. C. D.
11. 函数的单调递增区间是（ ）
A. B. C. 和 D.
12.已知双曲线的两条渐近线均与圆相切，且双曲线的右焦点为该圆的圆心，则的离心率为（ ）
A． B． C. D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．.在平面内的动点满足不等式，则的最大值是
____________
14，在的展开式中的系数为320，则实数__________．
15. 已知，，则的值为____________.
16.设函数，若，则实数的取值范围是 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17、已知数列的前项和．
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）求数列的前项和．
18.当前，网购已成为现代大学生的时尚，某大学学生宿舍4人参加网购，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪家购物，掷出点数为5或6的人去淘宝网购物，掷出点数小于5的人去京东商城购物，且参加者必须从淘宝网和京东商城选择一家购物．
（Ⅰ）求这４个人恰有１人去淘宝网购物的概率；
（Ⅱ）用，分别表示这４个人中去淘宝网和京东商城购物的人数，记，求随机变量的分布列与数学期望.
19. 如图，四棱锥中，侧面为等边三角形且垂直于底面， .
（1）证明：；
（2）若直线与平面所成角为，求二面角的余弦值.
20. 已知椭圆的焦距为，且过点.
（1）求椭圆的方程；
（2）若不经过点的直线与交于两点，且直线与直线的斜率之和为，证明：直线的斜率为定值.
21．已知函数.
（1）求时，求的单调区间；
（2）讨论在定义域上的零点个数.
选做题（请考生在22、23两题中任选其一解答，多选按第一题给分）
（22）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为为参数. 在以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴的极坐标系中, 曲线
(Ⅰ) 求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ) 求曲线上的点到直线的距离的最大值.
23.选修4-5：不等式选讲
设．
（Ⅰ）若的解集为，求实数的值；
（Ⅱ）当时，若存在，使得不等式成立，求实数的取值范围．
试室____________________原班级_____________________考号__________________________姓名____________________座位号__________________
惠高18届高三12月月考理科数学答题卡
题号
一二
17
18
19
20
21
22（23）
总分
得分
选择题答题卡
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
填空题
13 14 15 16
解答题
17（12分）
18（12分）
19（12分）
20（12分）
21（12分）
22（23）（12分）
1-12 BCCACAADACDC
13，6 14 2 15 16
17
解：（Ⅰ）∵，∴，∴
∴，∴，两式相减得
而当时，也满足，∴
（Ⅱ）
则
两式相减得
∴
18.解：（Ⅰ）这4个人中，每个人去淘宝网购物的概率为，去京东商城购物的概率为，
设“这4个人中恰有人去淘宝网购物”为事件（），
则．
这4个人中恰有1人去淘宝网购物的概率．
（Ⅱ）易知的所有可能取值为，，．
，
，
．
所以的分布列是
0
3
4
所以数学期望．
19.解：（1）取的中点为，连接，
为等边三角形，.
底面中，可得四边形为矩形，
，
平面，
平面.
又，所以.
（2）由面面知，平面，两两垂直，直线与平面所成角为，即，
由，知，得.
分别以的方向为轴，轴，轴的正方向建立空间直角坐标系，则
，，
设平面的法向量为.
，则，
设平面的法向量为，
，则，
,
由图可知二面角的余弦值.
20.解：（1）因为椭圆的焦距为，且过点，
所以.
因为，
解得，
所以椭圆的方程为.
（2）设点，则，
由消去得，（*）
则，
因为，即，
化简得.
即.（**）
代入得，
整理得，
所以或.
若，可得方程（*）的一个根为，不合题意，
所以直线的斜率为定值，该值为.
21．题：(1) 在定义域是， .
当时， .当时， ，当时，由，
所以单调递增区间是，单调递减区间是.
(2)∵.
(i)当时， ， 在区间上单调递减，
当时， ，当时， ，所以在区间上只有一个零点.
(ii)当时， 恒成立，所以在区间上没有零点.
(iii)当时，当时， ， 在区间上单调递增；
当时， ， 在区间上单调递减，
所以当时， 取极大值.
①当时，极大值，在区间上有1个零点.
②当时，极大值，在区间上没有零点.
③当时，极大值，
当时， ，当时， ，
所以在区间上有2个零点，
综上，当时，函数没有零点，当或时函数有1个零点；当时函数有2个零点.
（22）解：
(Ⅰ) 由 消去得, ………………………………………1分
所以直线的普通方程为. ………………………………………2分
由, ……3分
得. ………………………………………4分
将代入上式,
得曲线的直角坐标方程为, 即. ………5分
(Ⅱ) 法1:设曲线上的点为, ………………………………6分
则点到直线的距离为…………………………7分
………………………………………8分
当时, , ………………………………………9分
所以曲线上的点到直线的距离的最大值为.………………………………10分
23.解：（Ⅰ）显然，
当时，解集为，，，无解；
当时，解集为，令，，．
综上所述，．
（Ⅱ）当时，令
由此可知，在单调递减，在单调递增，在单调递增，
所以当时，取到最小值．
由题意知，，即实数的取值范围为．
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