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宁夏长庆高级中学2017-2018学年第一学期
第四次月考高三数学（文科）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、已知，，则等于
A．（，1） B．（，2） C．（0，2） D．（1，2）
2、已知是虚数单位，复数
A． B． C． D．2
3、在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是
A． B． C． D．
4．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102
根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )
A．192 B．202 C．212 D．222
5．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
6、已知命题，，命题是偶函数，则下列结论中正确的是
A．是假命题 B．是真命题
C．是真命题 D．是假命题
7、若，则
A． B． C． D．
8、如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则
A．2 B．1 C． D．0
9、已知和点满足．若存在实数使得成立，则
A．2 B．3 C．4 D．5
10、已知函数，若，则
A． B． C． D．1
11、已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，若bn＝anan＋1，则数列{bn}的前n项和Sn为( )
A. B. C. D.
12．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为( )
A．1 B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知平面向量，满足,且，,则与的夹角
14、如图，从气球A上测得正前方的河流在B，C处的俯角分别为750和300此时气球距地面的高度是60米，则河流的宽度BC等于
15．若x，y满足则2x＋y的最大值为
16．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．
(1)当a∥b时，求tan2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．.
18. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积； (2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
19．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a＝Sn＋1＋Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n－1·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a＝2，＝.
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的面积的最大值．
21．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.
（1）求曲线的参数方程；
（2）若点在曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值.
23． （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
设.
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围.
宁夏长庆高级中学2017-2018学年第一学期
第四次月考高三数学（文）试卷
一、选择题（每小题5分，共60分）
1、已知，，则等于
A．（，1） B．（，2） C．（0，2） D．（1，2）
2、已知是虚数单位，复数
A． B． C． D．2
3、在下列函数中，同时满足：①是奇函数，②以π为周期的是
A． B． C． D．
4．观察下列等式，13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102
根据上述规律，13＋23＋33＋43＋53＋63＝( )
A．192 B．202 C．212 D．222
5．将长方体截去一个四棱锥后得到的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为( )
6、已知命题，，命题是偶函数，则下列结论中正确的是
A．是假命题 B．是真命题
C．是真命题 D．是假命题
7、若，则
A． B． C． D．
8、如图，函数的图象在点P处的切线方程是，则
A．2 B．1
C． D．0
9、已知和点满足．若存在实数使得成立，则
A．2 B．3 C．4 D．5
10、已知函数，若，则
A． B． C． D．1
11、已知数列{an}中，a1＝1，且an＋1＝，若bn＝anan＋1，则数列{bn}的前n项和Sn为( )
A. B. C. D.
12．若点P是曲线y＝x2－ln x上任意一点，则点P到直线y＝x－2的最小值为( )
A．1 B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分．第13题～第21题为必考题，每个试题考生都必须做答．第22题～第23题为选考题，考生根据要求做答．
二、填空题（每小题5分，共20分）
13、已知平面向量，满足，且，，则向量与的夹角 1200
14、如图，从气球A上测得正前方的河流在B，C处的俯角分别为750和300此时气球距地面的高度是60米，则河流的宽度BC等于 120(√3-1)
15．若x，y满足则2x＋y的最大值为 4
16．设数列{an}的通项公式为an＝2n－10(n∈N*)，则|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝____130____.
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．已知向量a＝，b＝(cosx，－1)．
(1)当a∥b时，求tan2x的值；
(2)求函数f(x)＝(a＋b)·b在上的值域．
解 (1)∵a∥b，∴sinx·(－1)－·cosx＝0，
即sinx＋cosx＝0，tanx＝－，
∴tan2x＝＝.
(2)f(x)＝(a＋b)·b＝a·b＋b2
＝sinxcosx－＋cos2x＋1
＝sin2x－＋cos2x＋＋1＝sin.
∵－≤x≤0，
∴－π≤2x≤0，－≤2x＋≤，
∴－≤sin≤，
∴f(x)在上的值域为.
18. 如图，在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，D是PC的中点．已知∠BAC＝，AB＝2，AC＝2，PA＝2.求：
(1)三棱锥P－ABC的体积；
(2)异面直线BC与AD所成角的余弦值．
解 (1)S△ABC＝×2×2＝2，三棱锥P－ABC的体积为V＝S△ABC·PA＝×2×2＝.
(2)如图，取PB的中点E，连接DE，AE，则ED∥BC，所以∠ADE(或其补角)
是异面直线BC与AD所成的角．
在△ADE中，DE＝2，AE＝，AD＝2，
cos∠ADE＝＝.
故异面直线BC与AD所成角的余弦值为.
19．已知正项数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝1，a＝Sn＋1＋Sn.
(1)求{an}的通项公式；
(2)设bn＝a2n－1·2an，求数列{bn}的前n项和Tn.
解 (1)因为a＝Sn＋1＋Sn，①
所以当n≥2时，a＝Sn＋Sn－1，②
①－②得a－a＝an＋1＋an，
即(an＋1＋an)(an＋1－an)＝an＋1＋an，
因为an>0，所以an＋1－an＝1，
所以数列{an}从第二项起，是公差为1的等差数列．
由①知a＝S2＋S1，因为a1＝1，所以a2＝2，
所以当n≥2时，an＝2＋(n－2)×1，即an＝n.③
又因为a1＝1也满足③式，所以an＝n(n∈N*)．
(2)由(1)得bn＝a2n－1·2an＝(2n－1)·2n，
Tn＝2＋3·22＋5·23＋…＋(2n－1)·2n，④
2Tn＝22＋3·23＋…＋(2n－3)·2n＋(2n－1)·2n＋1，⑤
④－⑤得－Tn＝2＋2×22＋…＋2×2n－(2n－1)·2n＋1，
所以－Tn＝2＋－(2n－1)·2n＋1，
故Tn＝(2n－3)·2n＋1＋6.
20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c且a＝2，＝.
(1)求角A的大小；
(2)求△ABC的面积的最大值．
解 (1)根据正弦定理，
由＝可得＝，
∴b2－a2＝bc－c2，即b2＋c2－a2＝bc，
由余弦定理可得cosA＝＝＝，
∵A∈(0，π)，∴A＝.
(2)由a＝2及余弦定理可得cosA＝＝＝，故b2＋c2＝bc＋4.
又bc＋4＝b2＋c2≥2bc，∴bc≤4＋2，
当且仅当b＝c＝ 时等号成立．
故所求△ABC的面积的最大值为×(4＋2)×＝＋1.
21．已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．
(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，求a的值；
(2)当a＝1时，若直线l：y＝kx－1与曲线y＝f(x)相切，求l的直线方程．
解 (1)f′(x)＝1－，因为曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，所以f′(1)＝1－＝0，解得a＝e.
(2)当a＝1时，f(x)＝x－1＋，f′(x)＝1－.
设切点为(x0，y0)，
①＋②得x0＝kx0－1＋k，即(k－1)(x0＋1)＝0.
若k＝1，则②式无解，∴x0＝－1，k＝1－e.
∴l的直线方程为y＝(1－e)x－1.
请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．做答时请写清题号。
22．(本小题满分10分) 选修4-4：坐标系与参数方程
以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为，将曲线：（为参数），经过伸缩变换后得到曲线.
（1）求曲线的参数方程；
（2）若点在曲线上运动，试求出到直线的距离的最小值
23． （本小题满分10分）选修4—5；不等式选讲
设.
（1）求的解集；
（2）若不等式对任意实数恒成立，求实数x的取值范围.
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