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宁夏长庆高级中学2018届高三年级第四次月考
数 学 试 卷（理）
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
2．设i为虚数单位，复数（2﹣i）z=1+i，则z的共轭复数在复平面中对应的点在（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．在空间直角坐标系Oxyz中，平面OAB的一个法向量为＝(2，－2,1)，
已知点P(－1,3,2)，则点P到平面OAB的距离d等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
4．已知函数，若，则（ ）
A．－3 B．－1 C．0 D．3
5．已知，，＝(7,5，λ)，若，，
三个向量共面,则实数λ等于( )．
A. B. C. D.
6.下列命题中, 正确的命题有几个 ( )
①命题“存在，”的否定是“对于任意的，”；
②若函数在(2016, 2017)上有零点，则；
③在公差为的等差数列 中，成等比数列，则公差为；
④函数在上的单调递增区间为;
A．0 B．1 C．2 D．3
7.函数（为自然对数的底数）的图像可能是（ ）
8. 已知函数，且，则以下结论正确的是（ ）
A.c>a>b B.a>c>b C.a>b>c D.b>a>c
9.若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，其中左视图是一个边长为2的正三角形，则这个几何体的体积是（ ）
A．2cm3 B． cm3 C．3cm3 D．3cm3
10．函数是偶函数的充要条件是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
11. 若函数f（x）=x2+x﹣lnx+1在其定义域的一个子区间（2k﹣1，k+2）内不
是单调函数，则实数k的取值范围是（ ）
A．（﹣，） B．[，3） C．[，） D．（﹣，3）
12．定义在上的函数，恒有成立，且，对任意的，则成立的充要条件是（ ）
A． B． C． D．
Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二. 填空题 (本大题共4小题，每小题5分．)
13. 如图，ABCD-A1B1C1D1为正方体，
①.BD∥平面CB1D1
②.AC1⊥BD
③.AC1⊥平面CB1D1
④.异面直线AD与CB1所成的角为60°
以上结论错误的有 .
14. 已知直线：与坐标轴围成的面积为，
则数列{}的前n项和为 ．
15.已知三棱锥中， A、B、C三点均在球心为的球表面上，且AB=BC=1，，三棱锥的体积为，则球的表面积是___________.
16、若直线是曲线的切线，也是曲线的切线，则________．
三．解答题： 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17．（本小题12分） 设．
（1）求的单调区间；
（2）在锐角中，角，，的对边分别为，，，
若， ，求面积的最大值．
18.（本小题12分） 设数列的前n项和满足且 成等差数列．
( 1 )求数列的通项公式；
( 2 )若数列满足，求数列的前n项和．
19. （本小题12分） 如下图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分 别是AB，AD，CD的中点，
求： (1)·的值；
(2)线段EG的长；
(3)异面直线EG与AC所成角的大小．
20．（本小题12分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，侧面PCD⊥底面ABCD,PD⊥CD,E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，．
(1) 求证：BE∥平面PAD；
(2) 求证：平面PBC⊥平面PBD；
(3) 在棱PC上是否存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为。若存在，求的值；若不存在，说明理由。
21. （本小题12分）已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，
使得，求实数的取值范围．
选做题：请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做
第一题计分
22. （本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线L：(t为参数)，
曲线C1：(θ为参数)．
(1)设直线L与C1相交于A，B两点，求|AB|；
(2)若把曲线C1上各点的横坐标变为原来的，纵坐标变为原来的，得到曲线C2，设点P是曲线C2上的一个动点，求它到直线L的距离的最小值．
23. （本小题10分）选修4-5：不等式选讲
已知函数，．
(1)当a=-1时，解不等式；
(2)若时，，求实数a的取值范围．
宁夏长庆高级中学2018届高三年级第四次月考数学答案
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
D
D
C
A
D
B
A
D
B
A
C
B
13. ④ 14. 15. 64 16.
17. 解（1）由题意
，
由，可得，
由，可得，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是；
（2），，
由题意是锐角，所以；由余弦定理：，
可得，，且当时成立，
，面积最大值为．
18. 解：（Ⅰ）由已知Sn=2an-a1，有
n≥2时，an=Sn-Sn-1=2an-2an-1，
即an=2an-1（n≥2），
从而a2=2a1，a3=2a2=4a1．
又∵a1，a3+1，a4成等差数列，即a1+a4=2（a3+1）
∴8a1+2=8a1+ a1，
解得：a1=2．
所以，数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．故an=2n．
(2)由（1）知an=2n
19 【解析】设＝，＝，＝，则||＝||＝||＝1，
〈，〉＝〈，〉＝〈，〉＝60°，＝＝－，
＝－，＝－．
(1)·＝(－)·(－)＝－·＋2＝－＋＝.
(2)＝＋＋＝＋(－)＋(－)
＝－＋＋＝－＋＋，
∴2＝(－＋＋)2＝(2＋2＋2－2·－2·＋2·)＝，
∴||＝，即EG的长为.
(3)由(2)知，·＝(－＋＋)·＝－·＋2＋·＝，
∴cos〈，〉＝＝＝.
故异面直线EG与AC所成的角为45°.
20
解:设PD中点为F，连接EF，
点E,F分别是棱PC,PD的中点，
,.
四边形FABE为平行四边形.
,平面,
平面
（2）在梯形中,过点作于,
在中，,.
又在中，,,
, .
面面,面面,,面,
面, , ,平面,平面
平面, 平面,
平面平面
(3)设在棱PC上是存在一点Q，使得二面角Q-BD-P为，设
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系．
则.
令，，。
平面，即平面的法向量．
设面的法向量为
则,即．令，得．
二面角为，
，解得．
Q在PC上，，，所以=．
21. （本小题12分）已知函数．
（1）若，求曲线在处的切线方程；
（2）求的单调区间；
（3）设，若对任意，均存在，
使得，求的取值范围．
解：（1）由已知,，所以斜率，
又切点（1，2），所以切线方程为，即
故曲线在处的切线方程为．−−−−−−−（4分）
（2）
①当时，由于，故，，所以的单调递增区间为．−−−（6分）
②当时，由，得，在区间上，在区间上，所以，函数的单调递增区间是，单调递减区间是−−−−−−（8分）
（3）由已知，转化为．，所以
由（2）知，当时，在上单调递增，值域为，故不符合题意．
当时，函数的单调递增区间是，单调递减区间是，故的极大值也为最大值为，所以，解得．所以的取值范围为−−−−−−−−−−−−−−−（12分）
22. 选修4-4：坐标系与参数方程
解 (1)l的普通方程为y＝(x－1)，C1的普通方程为x2＋y2＝1.联立方程解得l与C1的交点为A(1,0)，B，则|AB|＝1.
(2)C2的参数方程为(θ为参数)，故点P的坐标是，
从而点P到直线l的距离是
d＝＝，
由此当sin＝－1时，d取得最小值，且最小值为(－1)．
23．已知函数，．
(1)当时，解不等式；
(2)若时，，求的取值范围．
解：(1)当时，不等式为；
当时，不等式转化为，不等式解集为空集；
当时，不等式转化为，解之得；
当时，不等式转化为，恒成立；
综上所求不等式的解集为．
(2)若时，恒成立，即，亦即恒成立，
又因为 ， 所以，所以的取值范围为．
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