玉溪一中 2018 届高三第四次月考试题
理科数学
第Ⅰ卷
一、选择题（本小题 12 小题，每小题 5 分，计 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的，）
1.已知集合 A＝{1,2,3}，B＝{x|(x＋1)(x－2)0，y∈R，则“x>y”是“x>|y|”的( )
A． 充要条件 B． 充分而不必要条件
C． 必要而不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
3.设(1＋2i)(a＋i)的实部与虚部相等，其中 a 为实数，则 a 等于( )
A． －3 B． －2 C． 2 D． 3
4.已知集合 A={1，2，3}，集合 B={4，5}，映射 f：A→B，且满足 1 对应的元素是 4，则这样
的映射有（ ）
A． 2 个 B． 4 个 C． 8 个 D． 9 个
5.对于函数 f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若存在实数 m 使得 f(m)x－f(x)恒成立时 a 的取值范围．
2018 届高三第 4 次月考答案(理数）
1.C 2.C 3.A 4.B 5.D 6.C . 7.A 8.C 9.D 10.D 11.D 12.C
13.60 14. 15. 16.
17.【答案】
(1)解 设数列{an}的公差为 d.
因为
S2
，所以
6＋d
. .........2 分
解得 q＝3 或 q＝－4(舍)，d＝3 .......4 分
故 an＝3＋3(n－1)＝3n，bn＝3n－1. ......5 分
(2)证明 因为 Sn＝错误!，所以
1
Sn＝错误!＝
2
3(
1
n－
1
n＋1)． .......6 分
故
1
S1＋
1
S2＋…＋
1
Sn
＝
2
3[(1－
1
2)＋(
1
2－
1
3)＋(
1
3－
1
4)＋…＋(
1
n－
1
n＋1)]＝
2
3(1－
1
n＋1)． ............8 分
因为 n≥1，所以 0＜
1
n＋1≤
1
2，所以
1
2≤1－
1
n＋1＜1， .......10 分所以 ，即 ...........12 分
18．【答案】
（Ⅰ）证明：方法 1：如图，取 的中点 ，连接 ，
∵在正方形 中， ， ，
在直角梯形 中， ， ，
∴ ， ，即四边形 是平行四边形，
……………（2 分）
∴ ，
∵在直角梯形 中， 即四边形 是平行四边形（4 分）
∴ ，
由上得 ，即四边形 是平行四边形，
∴ 四点共面．……（6 分）
方法 2：由正方形 ，直角梯形 ，直角梯形 所在平面两两垂直，
易证： 两两垂直，建立如图所示的坐标系，则
，
∵ ，…………（3 分）
∴ ，即四边形 是平行四边形，
故 四点共面．………（6 分）
（Ⅱ）解：设平面 的法向量为 ，
∵ ，
则 令 ，则 ，…………（8 分）
设平面 的法向量为 ，且 ，则 令 ，则 ，………（10 分）
∴设二面角 的平面角的大小为 ，则
． …………（12 分）
19【答案】（Ⅰ）根据题意，参加社区服务在时间段[90，95）的学生人数为：
200×0.06×5=60（人），参加社区服务在时间段[95，100]的学生人数为 200×0.02×5=20（人），
∴抽取的 200 位学生中，参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数为 80 人，
∴从全市高中学生中任意选取一人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率 p= = ．
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知从全市高中生中任意选取 1 人，其参加社区服务时间不少于 90 小时的概
率为 ，由已知得随机变量 X 的可能取值为 0，1，2，3，
则 P（X=0）= = ，P（X=1）= = ，
P（X=2）= = ，P（X=3）= = ，
∴随机变量 X 的分布列为：
X 0 1 2 3
P
∵X～B（3， ），∴E（X）=3× = ．
20.【答案】(1)由题意得 ＝ ， ＋ ＝1，
解得 a2＝8，b2＝4.
所以 C 的方程为 ＋ ＝1.
(2)设直线 l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将 y＝kx＋b 代入 ＋
＝1 得
(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.
故 xM＝ ＝ ，yM＝k·xM＋b＝ .于是直线 OM 的斜率 kOM＝ ＝－ ，
即 kOM·k＝－ .
所以直线 OM 的斜率与直线 l 的斜率的乘积为定值．
21.【答案】(1)f(x)的定义域为(0，＋∞)，当 a＝4 时，f(x)＝(x＋1)lnx－4(x－1)，f′
(x)＝lnx＋ －3，f′(1)＝－2，f(1)＝0，曲线 y＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程为 2x＋y
－2＝0.
(2)当 x∈(1，＋∞)时，f(x)>0 等价于 lnx－ >0，设 g(x)＝lnx－ ，则
g′(x)＝ － ＝ ，g(1)＝0.
(ⅰ)当 a≤2，x∈(1，＋∞)时，x2＋2(1－a)x＋1≥x2－2x＋1>0，故 g′(x)>0，g(x)在(1，
＋∞)单调递增，
因此 g(x)>0；
(ⅱ)当 a>2 时，令 g′(x)＝0 得，
x1＝a－1－ ，x2＝a－1＋ .由 x2>1 和 x1x2＝1 得 x12.
而|x＋1|＋|x－a|≥|(x＋1)－(x－a)|＝|1＋a|，∴|1＋a|>2，解得 a>1 或 a
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