佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考
高二年级理科数学试题
命题人：涂悠悠审题人：雷沅江
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 给定下列四个命题：
①如果一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；
②如果一条直线和两个平行平面中的一个平面垂直，那么这条直线也和另一个平面垂直；
③如果一条直线和两个互相垂直的平面中的一个平面垂直，那么这条直线一定平行于另一个平面；
④如果两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．
其中为真命题的是
A. ①和② B. ②和③ C. ③和④ D. ②和④
2. 已知直线和平面，，，，，且在，内的射影分别为直线和，则直线和的位置关系是
A. 相交或平行 B. 相交或异面
C. 平行或异面 D. 相交、平行或异面
3. 某四面体的三视图如图所示，正视图、侧视图、俯视图都是边长为的正方形，则此四面体的外接球的表面积为
A. B. C. D.
4. 设四边形的两条对角线为，，则“四边形为菱形”是“”的
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设入射光线沿直线射向直线，则被反射后，反射光线所在的直线方程是
A. B. C. D.
6. 已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线与直线垂直，则双曲线的方程为
A. B. C. D.
7. 如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面，为底面内的一个动点，且满足，则点在正方形内的轨迹为下图中的
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A. B. C. D.
8. 双曲线的两个焦点分别为，点在双曲线上，且满足，则的面积为
A. B. C.1 D.
9. 已知球的半径为，四点，，，均在球的表面上，且，，，则点到平面的距离为
A. B. C. D.
10. 已知是直线上的动点，，是圆的切线，，是切点，是圆心，那么四边形面积的最小值是
A. B. C. D.
11. 为正四面体棱的中点，平面过点，且，，，则，所成角的余弦值为
A. B. C. D.
12. 设椭圆：的左、右焦点分别为，，其焦距为，点在椭圆的内部，点是椭圆上的动点，且恒成立，则椭圆离心率的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题（共4小题；共20分）
13. 若命题”使”是假命题，则实数的取值范围为 .
14. 如图所示，是一个由三根细铁杆，，组成的支架，三根铁杆的两两夹角都是，一个半径为的球放在支架上，则球心到的距离为
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15. 在平面直角坐标系中，圆的方程为，直线与圆相交于，两点，为弦上一动点，若以为圆心，为半径的圆与圆总有公共点，则实数的取值范围为 ．
16. 圆经过椭圆的两个焦点，，且与该椭圆有四个不同的交点，设是其中的一个交点，若的面积为，椭圆的长轴为，则 ．
三、解答题（共6小题；共70分）
17. （10分）如图，三棱锥中，平面，．
（1）求证：平面；
（2）若，为中点，求三棱锥的体积．
18. （12分）已知点，圆：．
（1）求经过点与圆相切的直线方程；
（2）若点是圆上的动点，求的取值范围．
19. （12分）如图，在四棱锥中，为正三角形，四边形为直角梯形，，，，点，分别为，的中点，．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
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20.（12分）已知椭圆的离心率为，以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为，圆的方程为．
（1）求椭圆及圆的方程：
（2）过原点作直线与圆交于，两点，若，求直线被圆截得的弦长．
21. （12分）如图，，分别是，的中点，，，沿着将折起，记二面角的度数为．
（1）当时，即得到图，求二面角的余弦值；
（2）如图中，若，求的值．
22. （12分）已知两点(-1,0)及(1,0)，点P在以为焦点的椭圆C上，且构成等差数列。
（1）求椭圆的方程；
（2）如图，动直线与椭圆有且仅有一个公共点，点是直线上的两点，且,,求四边形面积的最大值。
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佛山一中2017——2018学年上学期第二次段考
高二年级理科数学答案
一、选择题（共12小题，每题5分）：
1-5.DDCAA,6-10.BACBD,11-12 AB
二、填空题（共4小题，每题5分）：
13.14., 15.16.
三、大题（共6小题，17题10分,18-22每题12分，总共70分）：
17. (10分)（1） 在三棱锥 中， 平面 ，
又 平面 ，． …………1分
又 ，且 ， 平面 ． …………3分
（2） 法一：由 平面 ，得 ，
，．…………5分
是 中点，．…………6分
由（1）知，， 三棱锥 的高 ，…………8分
因此三棱锥 的体积为
…………10分
法二：
由 平面 知，平面 平面 ，…………4分
又平面 平面 ，
如图，过点 作 交 于点 ，
则 平面 ，且 …………6分
又 ，所以 …………7分
三棱锥 的体积 …………10分
18. （1） 由题意，所求直线的斜率存在．…………1分
设切线方程为 ，即 ，…………2分
所以圆心 到直线的距离为 ， …………3分
所以 ，解得 ， …………4分
所求直线方程为 或 ．…………6分
（2） 设点 ，
所以 ，． …………8分
所以 ．…………9分
因为点 在圆上，所以 ，所以 ．…………10分
又因为 ，所以 ，…………11分
所以 ． …………12分
19. （1） 取 中点 ，连接 ，，如图 ，
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易知 ，…………2分
同理 ．，得，…………4分
又 ，，，
所以，．…………5分
又 ，所以直线 ．…………6分
（2） 解法一：连接 ，．如图 ，
因为 ，，且 ，
所以 ，
又 ，
所以 ．
又因为 ，，，，
所以 ，． …………8分
过点 作 于点 ，连接 ，
由 可知，．
所以直线 与平面 所成角为 ．…………10分
在直角三角形 中，求得 ，
在直角三角形 中，求得 ，
所以，．……………12分
20. （1） 设椭圆的焦距为 ，左、右焦点分别为 ，，由离心率为 ，
可得 ，即 ，，……………………1分
以椭圆的一个短轴端点及两个焦点为顶点的三角形的面积为
，即 ，
所以 ，则 ，，……………………3分
所以椭圆的方程为 ，圆 的方程为 ．…………5分
（2）法一：由题意得…………8分
所以…………10分
…………12分
法二： ①当直线 的斜率不存在时，直线方程为 ，与圆 相切，
不符合题意；……………………………………6分
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② 当直线 的斜率存在时，设直线 方程为 ，
由 可得 ，
由条件可得 ，即 ，………………………7分
设 ，，
则 ，，
，，
而圆心 的坐标为 ，则 ，，
所以 ，…………………8分
即 ，
所以 ，
解得 或 ，………………………10分
当 时，在圆 中，令 可得 ，故直线 被圆 截得的弦长为 ；
当 时，直线 的方程为 ，圆心 到直线 的距离 ，
故直线 被圆 截得的弦长为 ；………………………11分
综上可知，直线 被圆 截得的弦长为 ．…………………………………12分
21. （1） 因为 所以即为二面角 的平面角……………1分
当时，则…………………2分
又，所以……………………………3分
过点 向 作垂线交 延长线于 ，连接 ，
则 为二面角 的平面角．……………………………4分
设 ，，，
，，．……………………………6分
（2） 过点 向 作垂线，垂足为 ，
由（1）知，即面，所以面……………………………7分
又面，……………………………8分
因为，……………………………9分
又面有 ，……………………………10分
因 为正三角形，
故 ，则 ，……………………………11分
而 ，故 ．……………………………12分
22.（1）依题意，设椭圆的方程为.因为构成等差数列，
所以，所以. ……………………2分
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又因为，所以，所以椭圆的方程为. ……………………4分
（2）将直线的方程代入椭圆的方程中，得
由直线与椭圆仅有一个公共点知，()=0,
化简得：，……5分
设,, ……6分
法1：当时，设直线的倾斜角为，则
=,所以
……8分
因为，所以当时，，
,.………………10分
当时，四边形是矩形，.………………11分
所以四边形面积的最大值为.………………12分
法2：因为,
,………………8分
所以。
四边形的面积………………10 分
当且仅当时，，，所以.
所以四边形的面积的最大值为. …………………12分
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