天津一中 2017—2018 学年度高三年级二月考试卷
数 学（文史类）
本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时120 分钟．
第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页．
答卷前，考生务必将自己的姓名填写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡和答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题卡和答题纸交回．
祝各位考生考试顺利！
第Ⅰ卷（共60分）
注意事项：
1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用
橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，则（ ）
A．{0,1,2} B．{1,2} C．{0} D．{0,1}
2.是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
3.执行如图所示的程序框图，若输入的值为 2，则输出的值为（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
4.设为空间两条不同的直线，为空间两个不同的平面，给出下列命题：
①若，则； ②若，则；
③若，则； ④若，则.
其中所有正确命题的序号是（ ）
A．②④ B．③④ C.①② D．①③
5.已知奇函数在上是增函数，．若，，则的大小关系为（ ）
A． B． C. D．
6.已知函数当时，，则的取值范围是（ ）
A． B． C. D．
7.设函数，若在区间上单调，且，则的最小正周期为（ ）
A． B． C. D．
8.已知均为正数，且，则的最小值为（ ）
A．6 B．7 C.8 D．9
第Ⅱ卷（共90分）
注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上．
2．本卷共 12 小题，共 110 分．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
9.已知是实数，是纯虚数，则 ___________.
10.曲线在点处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积是__________.
11.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________.
12.圆心在直线，且与直线相切于点的圆的标准方程为__________.
13.在中，已知,若点满足,且,则实数的值为 ．
14.已知函数若函数有三个零点，则实数的取值范围为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
15.在中，角所对的边分别为，且，已知,，.
（I）求和的值
（II）求的值
16.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过9万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为500元/分钟和200元/分钟．甲、乙两个电视台为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为0.3万元和0.2万元．设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟.
（Ⅰ）用列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域
（Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收益是多少
如图，边长为的正方形与梯形所在的平面互相垂直，其中
的中点.
（Ⅰ）证明:平面
（Ⅱ）求二面角的正切值
（Ⅲ）求与平面所成角的余弦值
18. 已知数列的前项和为，
（Ⅰ）求数列的通项公式
（II）设，为的前项和，求
19. 已知数列中，
（I）求证：数列是等比数列
（II）求数列的通项公式
（III）设，若，使成立，求实数的取值范围.
20.已知函数，其中为自然对数的底数，
②（I）若，函数
①求函数的单调区间
②若函数的值域为,求实数的取值范围
（II）若存在实数,使得，且，求证：
参考答案
一、选择题
1-5: DACBCA 6-8: ADB
二、填空题
9. 10. 11.
12. 13.1或 14.
三、解答题
15. （I）； （II）
【解析】
试题分析：（I）利用向量的数量积，化简得，故，再结合余弦定理，可求得；（II）由于三边都已经知道，故由余弦定理可以求出，进而求得，再利用两角差的余弦公式，可求得.
试题解析：
由得：，又，所以.
由余弦定理，得，又，所以.
解，得或.因为.
在中，.
由正弦定理，得，又因为，所以为锐角，
因此.
于是
解：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为分钟和分钟，则，满足的数学关系式为
该二次元不等式组等价于
做出二元一次不等式组所表示的平面区域
（II）设公司的收益为元，则目标函数为：
考虑，将它变形为.
这是斜率为，随变化的一族平行直线，当截距最大，即最大.
又因为满足约束条件，所以由图可知，
当直线经过可行域上的点时，截距最大，即最大.
解方程组得,
代入目标函数得.
答：该公司在甲电视台做100分钟广告，在乙电视台做200分钟广告使公司的收益最大，最大收益是70万元.
17.
解（I）分别为的中点
平面 平面
平面
（II）取中点，连接
, 又
为二面角的平面角
又
∵平面平面，平面平面平面
平面 的余弦值即为所求
在中，
与平面所成角的余弦值为
18.解（1）
又
∴数列是以2为首项，公比为2的等比数列
由（1）知
所以
设，
则，
两式相减得，
整理得，所以.
19.（I）证明：，
.
，，.
∴数列是首项、公比均为2的等比数列
（II）解：是等比数列，首项为2，通项，
故
，当时，符合上式，
∴数列的通项公式为
（III）解：，
故
若,使成立，由已知，有，解得，所以的取值范围为
20.解：（1）当时，.
①.
由得，由得.
所以函数的单调增区间为，单调减区间为.
②
当时，，所以在区间上单调递减；
当时，，所以在区间上单调递增.
在上单调递减，值域为,
因为的值域为，所以，
即.
由①可知当时，，故不成立.
因为在上单调递减，在上单调递增，且
所以当时，恒成立，因此.
当时，在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在上的值域为，即.
在上单调递减，值域为.
因为的值域为，所以，即.
综合1°,2°可知，实数的取值范围是.
（2）.
若时，，此时在上单调递增.
由可得，与相矛盾，
同样不能有.
不妨设，则有.
因为在上单调递减，在上单调递增，且，
所以当时，.
由，且，可得
故.
又在单调递减，且，所以，
所以，同理.
即解得，
所以.
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