2017_2018学年高中数学课下能力提升（十九）平面直角坐标系中的距离公式北师大版必修2.doc

1 课下能力提升(十九) 平面直角坐标系中的距离公式 一、选择题 1．已知 A(－1,1)，B(3，－5)，则线段 AB 的垂直平分线方程是( ) A．3x＋2y－2＝0 B．2x＋3y＋2＝0 C．3x－2y＋8＝0 D．2x－3y－8＝0 2．点 P(x，y)在直线 x＋y－4＝0 上，O 是坐标原点，则|OP|的最小值是( ) A. 5 B. 7 C. 6 D．2 2 3．已知直线 3x＋2y－3＝0 和 6x＋my＋1＝0 互相平行，则它们之间的距离是( ) A．4 B.2 13 13 C.5 13 26 D.7 13 26 4．已知点 A(0,2)，B(2,0)．若点 C 在函数 y＝x2 的图像上，则使得△ABC 的面积为 2 的点 C 的个数为( ) A．4 B．3 C．2 D．1 5．若两条平行直线 l1：3x－2y－6＝0，l2：3x－2y＋8＝0，则与 l2 的距离等于 l1 与 l2 间距离的直线方程为( ) A．3x－2y＋22＝0 B．3x－2y－10＝0 C．3x－2y－20＝0 D．3x－2y＋24＝0 二、填空题 6．经过点 P(2,1)且与点 Q(1，－2)的距离为 2的直线方程是________． 7．动点 P 在直线 x＋y－1＝0 上运动，Q(1,1)为定点，当|PQ|最小时，点 P 的坐标为 ________． 8．两条平行线分别过点 P(－2，－2)，Q(1,3)，它们之间的距离为 d，如果这两条直线 各自绕点 P，Q 旋转并互相保持平行，则 d 的范围是________． 三、解答题 9．用坐标法证明：在△ABC 中，AO 为 BC 边上的中线，则|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)． 10．求经过两直线 l1：x－3y－4＝0 与 l2：4x＋3y－6＝0 的交点，且和点 A(－3,1)的2 距离为 5 的直线 l 的方程． 答案 1．解析：选 D ∵kAB＝ －5－1 3－ －1 ＝－3 2 ，∴线段 AB 的垂直平分线的斜率为2 3 .又线段 AB 的中点坐标为(1，－2)，∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y＋2＝2 3 (x－1)，即 2x－3y－ 8＝0. 2．解析：选 D |OP|的最小值就是原点到直线 x＋y－4＝0 的距离，d＝|0＋0－4| 2 ＝2 2. 3．解析：选 D 直线 3x＋2y－3＝0 可化为 6x＋4y－6＝0，与 6x＋my＋1＝0 平行，所 以 m＝4， 由两平行线间的距离公式得 d＝|－6－1| 62＋42 ＝7 13 26 . 4．解析：选 A 设点 C(t，t2)，直线 AB 的方程是 x＋y－2＝0，|AB|＝2 2， 由于△ABC 的面积为 2，则这个三角形 AB 边上的高 h 满足方程1 2 ×2 2h＝2，即 h＝ 2， 由点到直线的距离公式得 2＝|t＋t2－2| 2 ， 即|t2＋t－2|＝2，即 t2＋t－2＝2 或 t2＋t－2＝－2，这两个方程各自有 2 个不相等的 实数根，故这样的点 C 有 4 个． 5．解析：选 A 设所求直线方程为 3x－2y＋C＝0， 则 解得 C＝－6(舍去)或 C＝22， 所以所求直线的方程为 3x－2y＋22＝0. 6．解析：设所求直线的斜率为 k，则 l 的方程为 y－1＝k(x－2)， 即 kx－y－2k＋1＝0. ∵点 Q 到直线 l 的距离为 2， ∴|k＋2－2k＋1| k2＋1 ＝ 2， 解得 k＝1 或 k＝－7. ∴直线方程为 x－y－1＝0 或 7x＋y－15＝0. 答案：x－y－1＝0 或 7x＋y－15＝0 7．解析：设 P(x,1－x)，由两点间距离公式得|PQ|＝ x－1 2＋x2＝ 2x2－2x＋1＝3 2 x－1 2 2＋1 2 ，当 x＝1 2 时，|PQ|最小． 答案： 1 2 ，1 2 8． 解析：由图可知，当这两条直线 l1，l2 与直线 PQ 垂直时，d 达到最大值，此时 d＝|PQ| ＝ －2－1 2＋ －2－3 2＝ 34， ∴0＜d≤ 34. 答案：(0， 34] 9． 证明：如图，以 O 为坐标原点，BC 边所在直线为 x 轴，建立平面直角坐标系， 设 B(－a,0)，C(a,0)，A(b，c)， 则|AB|2＝(b＋a)2＋(c－0)2＝(b＋a)2＋c2， |AC|2＝(b－a)2＋(c－0)2＝(b－a)2＋c2， ∴|AB|2＋|AC|2＝(b＋a)2＋c2＋(b－a)2＋c2＝2(a2＋b2＋c2)． 又|AO|2＝b2＋c2，|BO|2＝a2， ∴|AB|2＋|AC|2＝2(|AO|2＋|BO|2)． 10．解：由 x－3y－4＝0， 4x＋3y－6＝0， 解得 x＝2， y＝－2 3 ， 即直线 l 过点 B 2，－2 3 . ①当 l 与 x 轴垂直时，方程为 x＝2， A(－3,1)到 l 的距离 d＝|－3－2|＝5，满足题意． ②当 l 与 x 轴不垂直时，设斜率为 k， 则 l 的方程为 y＋2 3 ＝k(x－2)，即 kx－y－2k－2 3 ＝0.4 由 A 到 l 的距离为 5，得 |－3k－1－2k－2 3| k2＋ －1 2 ＝5，解得 k＝4 3 ， ∴l 的方程为 4 3 x－y－8 3 －2 3 ＝0，即 4x－3y－10＝0， 综上，所求直线方程为 x＝2 或 4x－3y－10＝0.