课下能力提升(二十二) 直线与圆的位置关系
一、选择题
1．若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是( )
A．在圆上 B．在圆外
C．在圆内 D．以上都有可能
2．若直线x－y＝2被圆(x－a)2＋y2＝4所截得的弦长为2，则实数a的值为( )
A．－1或 B．1或3
C．－2或6 D．0或4
3．(重庆高考)对任意的实数k，直线y＝kx＋1与圆x2＋y2＝2的位置关系一定是( )
A．相离 B．相切
C．相交但直线不过圆心 D．相交且直线过圆心
4．(广东高考)垂直于直线y＝x＋1且与圆x2＋y2＝1相切于第一象限的直线方程是( )
A．x＋y－＝0 B．x＋y＋1＝0
C．x＋y－1＝0 D．x＋y＋＝0
5．已知圆的方程为x2＋y2－6x－8y＝0.设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为( )
A．10 B．20
C．30 D．40
二、填空题
6．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为__________．
7．已知圆C过点(1,0)，且圆心在x轴的正半轴上，直线l：y＝x－1被该圆所截得的弦长为2，则圆C的标准方程为________．
8．经过点P(2，－3)作圆(x＋1)2＋y2＝25的弦AB，使点P为弦AB的中点，则弦AB所在直线方程为________．
三、解答题
9．自点P(－6,7)发出的光线l射到x轴上点A处，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于点Q.求光线l所在直线的方程．
10．已知圆C：(x－3)2＋(y－4)2＝4和直线l：kx－y－4k＋3＝0.
(1)求证：不论k取何值，直线和圆总相交；
(2)求k取何值时，圆被直线截得的弦最短，并求最短弦的长．
答案
3
1．解析：选B 由于直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则＜1，即a2＋b2＞1，从而可知点P(a，b)在圆x2＋y2＝1的外部．
2．解析：选D 圆心C(a,0)到直线x－y＝2的距离d＝，由题意得d2＋()2＝22，解得d＝.
所以＝，解得a＝0或a＝4.
3．解析：选C 易知直线过定点(0,1)，且点(0,1)在圆内，但是直线不过圆心(0,0)．
4．解析：选A 因为所求直线l(设斜率为k)垂直于直线y＝x＋1，所以k·1＝－1，所以k＝－1，设直线l的方程为y＝－x＋b(b＞0)，即x＋y－b＝0，所以圆心到直线的距离为＝1，所以b＝.
5．解析：选B 圆心坐标是(3,4)，半径是5，圆心到点(3,5)的距离为1，根据题意，最短弦BD和最长弦(即圆的直径)AC垂直，故最短弦的长为2＝4，所以四边形ABCD的面积为×|AC|×|BD|＝×10×4＝20.
6．解析：由题意得圆心为C(－1,0)．由点到直线的距离公式得圆心C到直线x＋y＋3＝0的距离d＝＝，即圆半径r＝.∴圆的方程为(x＋1)2＋y2＝2.
答案：(x＋1)2＋y2＝2
7．解析：圆心到直线x－y－1＝0的距离为d＝.
因为圆截直线所得的弦长为2，所以2＋2＝(a－1)2，即(a－1)2＝4，所以a＝3或a＝－1(舍去)．
所以圆心为(3,0)，半径r2＝(a－1)2＝4，
故圆的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.
答案：(x－3)2＋y2＝4
8．解析：设圆心为C(－1,0)，由题意知：AB⊥CP，
而kCP＝＝－1，从而kAB＝1，
∴弦AB所在的直线方程为y＋3＝x－2，即x－y－5＝0.
答案：x－y－5＝0
9．
3
解：如图，作圆x2＋y2－8x－6y＋21＝0关于x轴的对称圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，
由几何光学原理知，
直线l与圆x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切，
又∵l的斜率必存在，故可设直线l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.
由d＝＝＝2，得k＝－或k＝－，
故光线l所在直线的方程为3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.
10．解：由题可知圆心为C(3,4)，半径为r＝2.
(1)证明：直线方程可化为k(x－4)＋(3－y)＝0，
∴直线过定点P(4,3)．∵(4－3)2＋(3－4)2＜4.
∴点P在圆C内部．
∴直线kx－y－4k＋3＝0与圆C总相交．
(2)∵直线经过定点P(4,3)，∴当PC与直线垂直时，圆被直线截得的弦最短．
设直线与圆的交点为A，B，则由勾股定理得(|AB|)2＝r2－|CP|2＝4－2＝2.∴AB＝2.
∵PC与直线kx－y－4k＋3＝0垂直，直线PC的斜率为kPC＝＝－1，∴直线kx－y－4k＋3＝0的斜率为k＝1.
∴当k＝1时，圆被直线截得的弦最短，最短弦长为2.
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