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九江一中第二次月考高三数学（文）试卷
命题人：高三文数备课组 考试时间：120分钟
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x），则（∁UA）∩B=（ ）
A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜﹣2} D．{x|x＜3}
2．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ ）
3．九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（A|B）=（ ）
A． B． C． D．
4．要得到函数y=sin（2x+）得图象，只需将y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
5．下列命题中错误的是（ ）
A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题[来源:学科网ZXXK]
B．命题“若，则或”为真命题
C．命题“若，则或”的否命题为“若，则且”
D．命题：，，则为，
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若cosC=，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（ ）
A．4π B.8π C．9π D．36π
7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. B. C. D.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）
A． B． C． D．
9．点在圆上运动，则的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
10.双曲线﹣=1（a，b＞0）离心率为，左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|=2，则双曲线方程为（ ）
A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1
11．已知函数f（x）=|2x﹣2|+b的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（ ）
A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1
C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1
12．在三棱锥A-BCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥A-BCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥A-BCD体积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．
14．化简： = ．
15．已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，若点P（a，b）（a＞0，b＞0）在两圆的公共弦上，则的最小值为 ．
16. 若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和Sn=n2+an．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．
18．我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率．
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者
参加广场宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3） 在（2）的条件下，我市决定在这6名志愿者中随机抽取2名
志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
19．如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，,.且与均为正三角形,为的中点，为重心.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
20. 已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为，是上一点，，且．
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线．
21.已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．
[选做题：选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为
（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．
九江一中第二次月考数学（文）试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x），则（∁UA）∩B=（ ）
A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜﹣2} D．{x|x＜3}
故选：C．
2．已知i为 虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ ）
A． B． C． D．
故选A．
3．九江气象台统计，5月1日浔阳区下雨的概率为，刮风的概率为，既刮风又下雨的概率为，设A为下雨，B为刮风，那么P（A|B）=（ ）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意P（A）=，P（B）=，P（AB）=，[来源:Zxxk.Com]
∴P（A|B）===，故选B．
4．要得到函数y=sin（2x+）得图象，只需将y=sin2x的图象（D ）
A．向左平移个单位 B．向右平移个单位
C．向右平移个单位 D．向左平移个单位
5．下列命题中错误的是（ C ）
A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B．命题“若，则或”为真命题
C．命题“若，则或”的否命题为“若，则且”
D．命题：，，则为，
6．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，bcosA+acosB=2，则△ABC的外接圆的面积为（ c ）
A．4π B．8π C．9π D．36π
7．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ D ）
A. B. C. D.
8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ A ）
A． B． C． D．
9. 点在圆上运动，则的取值范围是（D ）
A． B．
C. D．
10. 双曲线﹣=1（a，b＞0）离心率为，左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支上一点，∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，|F2Q|=2，则双曲线方程为（ ）
A．﹣y2=1 B．x2﹣=1 C．x2﹣=1 D．﹣y2=1
【解答】解：由∠F1PF2的平分线为l，点F1关于l的对称点为Q，
可得直线l为F1Q的垂直平分线，且Q在PF2的延长线上，
可得|PF1|=|PQ|=|PF2|+|F2Q|，
即|PF1|﹣|PF2|=|F2Q|，
由双曲线的定义可得|PF1|﹣|PF2|=2a，
由|F2Q|=2，可得a=1，
由e==，可得c=，
b==，
则双曲线的方程为x2﹣=1．
故选：B．
11．已知函数f（x）=|2x﹣2|+b的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（ ）
A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1
C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1
【考点】函数零点的判定定理．
【分析】函数f（x）=|2x﹣2|+b的有两个零点，即y=|2x﹣2|与y=﹣b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1＞x2），在同一坐标系中画出y=|2x﹣2|与y=﹣b的图象，根据图象可判定．
【解答】解：函数f（x）=|2x﹣2|+b的有两个零点，即y=|2x﹣2|与y=﹣b有两个交点，交点的横坐标就是x1，x2（x1＞x2），
在同一坐标系中画出y=|2x﹣2|与y=﹣b的图象（如下），可知1＜x1＜2，
，，⇒，⇒x1+x2＜2．
故选：A．
【点评】本题考查了函数的零点与函数的交点间的转化，利用图象的交点情况，确定零点情况是常用的方法，属于中档题．
12．在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
【分析】当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体，此时三棱锥ABCD的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，由已知得当a=b=时，AC=2，此时三棱锥ABCD体积为V=．由此排除A，B，C选项．
【解答】解：当AD⊥平面BCD时，以CB、CD、CA为棱构造长方体，
此时三棱锥ABCD的外接球即该长方体的外接球，其直径为AB，
∵该外接球的表面积为16π，∴AB=4，
设BC=a，CD=b，∵在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，
∴BD=，
设Rt△BCD斜边上的高为CE，则CE=1，
由，得BD==ab，
∵a＞0，b＞0，∴ =ab≥，即ab≥2，
当且仅当a=b=时，取等号，
∴当a=b=时， =2，解得AC=2，
此时三棱锥ABCD体积为V===．
由此排除A，B，C选项，
故选：D．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知向量=（1，2），=（x，﹣1），若∥（﹣），则•= ．
【考点】9J：平面向量的坐标运算．
【分析】利用向量共线定理即可得出．
【解答】解： =（1﹣x，3），
∵∥（﹣），∴2（1﹣x）﹣3=0，解得x=﹣．
则•=﹣﹣2=﹣．
故答案为：﹣．
14．化简： = 2 ．
15．已知圆C1：x2+y2=4和圆C2：（x﹣2）2+（y﹣2）2=4，若点P（a，b）（a＞0，b＞0）在两圆的公共弦上，则的最小值为 8 ．
16．若f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，则实数a的取值范围是（0，+∞）
【解答】解：设t=sinx，由x∈（0，π）得t∈（0，1]，
∵f（x）=sin3x+acos2x=sin3x+a（1﹣sin2x），
∴f（x）变为：y=t3﹣at2+a，[来源:学科网]
则y′=3t2﹣2at=t（3t﹣2a），
由y′=0得，t=0或t=，[来源:学_科_网]
∵f（x）=sin3x+acos2x在（0，π）上存在最小值，
∴函数y=t3﹣at2+a在（0，1]上递减或先减后增，
即＞0，得a＞0，
∴实数a的取值范围是（0，+∞），
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．已知数列{an}与{bn}，若a1=3且对任意正整数n满足an+1﹣an=2，数列{bn}的前n项和
Sn=n2+an．
（Ⅰ）求数列{an}，{bn}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{}的前n项和Tn．
【解答】解：（Ⅰ）由题意知数列{an}是公差为2的等差数列，
又∵a1=3，∴an=3+2（n﹣1）=2n+1．
列{bn}的前n项和Sn=n2+an=n2+2n+1=（n+1）2
当n=1时，b1=S1=4；
当n≥2时，．
上式对b1=4不成立．
∴数列{bn}的通项公式：；
（Ⅱ）n=1时，；
n≥2时，，
∴．
n=1仍然适合上式．
综上，．
18．我市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，得到的频率分布直方图如图所示．
（1）分别求第3，4，5组的频率．
（2）若从第3，4，5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场宣传活动，应从第3，4，5组各抽取多少名志愿者？
（3）在（2）的条件下，我市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有一名志愿者被抽中的概率．
18.(1) 第3组的频率为0．3，第4组的频率为0．2，第5组的频率为0．1;(2) 从第3，4，5组中分别抽取3人，2人，1人;(3) 第4组至少有一名志愿者被抽中的概率为.
19．(本小题满分12分)如图，四棱锥中，平面平面，底面为梯形，，,.且与均为正三角形,为的中点，为重心.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积.
19、【解析】（Ⅰ）方法一：连交于,连接.
由梯形，且，知
又为的中点，且，为的重心，∴ ------- 2分
在中，,故//.------- 4分
又平面, 平面,∴//平面.------- 6分
方法二：过作交于,过作交于,连接,
为的中点，且，
为的重心，,,
又为梯形，,,------- 2分
, ∴------- 4分
又由所作，得// ，为平行四边形.
,面 ------- 6分
方法三：过作// 交于,连接,
由为正三角形, 为的中点，且，为的重心，
得，------- 2分
又由梯形，，且，
知,即 ------- 4分
∴在中，//，所以平面//平面
又平面，∴面 ------- 6分
（Ⅱ） 方法一:由平面平面，与均为正三角形，为的中点
∴，，得平面，且
由（Ⅰ）知//平面，∴ ------- 8分
又由梯形，，且，知
又为正三角形，得，∴，-- 10分
得
∴三棱锥的体积为．------- 12分
方法二: 由平面平面，与均为正三角形，为的中点
∴，，得平面，且
由，∴ ------- 8分
而又为正三角形，得，得．----- 10分
∴，∴三棱锥的体积为．---- 12分
20.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为圆，是上一点，，且．．
（1）求椭圆的方程；
（2）当过点的动直线与椭圆相交于不同两点时，线段上取点，且
满足，证明点总在某定直线上，并求出该定直线．
解析：（1）由已知得，且，
在中，由余弦定理得，解得.
则，所以椭圆的方程为.
（2）由题意可得直线的斜率存在，
设直线的方程为，即，
代入椭圆方程，整理得，
设，则.
设，由得
（考虑线段在轴上的射影即可），
所以，
于是，
整理得，（*）
又，代入（*）式得，
所以点总在直线上.
21.已知函数．
（1）若在区间上单调递增，求实数的取值范围；
（2）若存在唯一整数，使得成立，求实数的取值范围．
21. 解析（1）函数的定义域为，，
要使在区间上单调递增，只需，即
在上恒成立即可，
易知在上单调递增，所以只需即可，
易知当时，取最小值，，
∴实数的取值范围是.
（2）不等式即，
令，
则，在上单调递增，
而，[来源:Zxxk.Com]
∴存在实数，使得，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增，∴.
，画出函数和的大致图象如下，
的图象是过定点的直线，
由图可知若存在唯一整数，使得成立，则需，
而，∴．
∵，∴．
于是实数的取值范围是．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
【解答】解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．
∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），
由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，
∴x2﹣4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．
（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），
∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，
∴直线l的参数方程为，
代入x2=4y，得，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为，
又P（1，0），则|PQ|=||=3．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）≥5化为：|x﹣1|+|x+2|≥5①，
当x≤﹣2时，①式化为﹣2x﹣6≥0，解得：x≤﹣3；
当﹣2＜x＜1时，①式化为3＞5，不成立；
当x≥1时，①式化为2x+1≥5，解得x≥2
综上，f（x）≥5的解集是{x|x≤﹣3或x≥2}；
（Ⅱ）当x≤﹣2时，f（x）=﹣（a+1）x﹣2a+1；
当﹣2＜x＜1时，f（x）=（a﹣1）x+2a+1；
当x≥1时，f（x）=（a+1）x+2a﹣1，
综上，f（x）=；
画出函数f（x）的图象如图所示；
则f（x）与x轴围成的△ABC三个顶点分别为：
A（﹣2，3），B（﹣，0），C（，0）
由题设可得：S=（﹣）•3=6，
化简得2a2+3a﹣2=0，解得a=﹣2或a=（不合题意，舍去）；
故a的值是﹣2．
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