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2017年九江一中高三第二次月考数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x），则（∁UA）∩B=（ ）
A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜﹣2} D．{x|x＜3}
2．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ ）
A． B． C． D．
3．若圆锥曲线的离心率为，则（ ）
A. B. C. D.
4．若直线过三角形内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线平分三角形周长”是“直线平分三角形面积”的（ ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要[来源:Zxxk.Com]
5．下列命题中错误的是（ ）
A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B．命题“若，则或”为真命题
C．命题“若，则或”的否命题为“若，则且”
D．命题：，，则为，
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ ）
A. B. C. D.
第6题 第7题
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ ）A. B. C. D.
8．点在圆上运动，则的取值范围是（ ）
A． B．
C. D．
9. 已知数列是各项均不为0的正项数列， 为前项和，且满足， ，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值为( )
A. B. C. D.
10. 点分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ ）[来源:Zxxk.Com]
A． B． C. D．
11．已知函数的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（ ）
A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1
C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1
12．在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（ ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知an=，则a1+a2+…+a9= ．
14. 已知直线与抛物线围成的区域的面积为，则的展开式的常数项为 ．
15.
已知向量、满足：，且，若，其中且，则最小值是 ．
16．已知锐角中，内角所对应的边分别为，且满足：，，
则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在△中，内角所对的边分别为，.
（1）求角的大小；
（2）设函数，且图像上相邻两最高点间的距离为,求 的值.
18. 2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为，并对它们进行量化：表示不合格，表示临界合格，表示合格，再用综合指标的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若，则长势为一级；若，则长势为二级；若，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了块青蒿人工种植地，得到如下结果：
种植地编号
[来源:学。科。网]
[来源:Z§xx§k.Com]
种植地编号
（1）在这块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标相同的概率；
（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.
19. om]如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面平面，四边形为直角梯形，，点为的重心，为中点，，
（1） 当时，求证：//平面；
（2）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值.
20.已知椭圆的左右焦点分别为，过点作直线交椭圆于
两点，若且
（1）求椭圆的方程；
（2）已知为原点，圆与椭圆交于
两点，点为椭圆上一动点，若直线与轴分别交
于点求证：为常数.
21.若总有则称为与在上的一个“严格分界函数”.
（1）求证：是和在上的一个“严格分界函数”；
（2）函数，若存在最大整数使得在恒成立，求的值.（…是自然对数的底数，）
[来源:Z+xx+k.Com]
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐
标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．
2017年九江一中高三第二次月考数学（理）试卷
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．设全集U=R，集合A={y|y=x2﹣2}，B={x|y=log2（3﹣x），则（∁UA）∩B=（ C ）
A．{x|﹣2≤x＜3} B．{x|x≤﹣2} C．{x|x＜﹣2} D．{x|x＜3}
2．已知i为虚数单位，则的实部与虚部之积等于（ A ）
A． B． C． D．
3．若圆锥曲线的离心率为，则（ C ）
A. B. C. D.
4．若直线过三角形内心（三角形内心为三角形内切圆的圆心），则“直线平分三角形周长”是“直线平分三角形面积”的（ C ） 条件
A．充分不必要 B．必要不充分 C．充要 D．既不充分也不必要
5．下列命题中错误的是（ C ）
A．若命题为真命题，命题为假命题，则命题“”为真命题
B．命题“若，则或”为真命题
C．命题“若，则或”的否命题为“若，则且”
D．命题：，，则为，
6．执行如图所示的程序框图，输出的值为（ D ）
A. B. C. D.
第8题
7．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某三棱锥的三视图，则该三棱锥的体积为（ B ）
A. B. C. D.
8．点在圆上运动，则的取值范围是（ D ）
A． B．
C. D．
9. 已知数列是各项均不为0的正项数列， 为前项和，且满足， ，若不等式对任意的恒成立，求实数的最大值为( D )
A. B. C. D.
10. 点分别是双曲线的左、右焦点，点在双曲线上，则的内切圆半径的取值范围是（ A ）
A． B． C. D．
11．已知函数的两个零点分别为x1，x2（x1＞x2），则下列结论正确的是（ A ）
A．1＜x1＜2，x1+x2＜2 B．1＜x1＜2，x1+x2＜1
C．x1＞1，x1+x2＜2 D．x1＞1，x1+x2＜1
12．在三棱锥ABCD中，BC⊥CD，Rt△BCD斜边上的高为1，三棱锥ABCD的外接球的直径是AB，若该外接球的表面积为16π，则三棱锥ABCD体积的最大值为（ D ）
A． B． C．1 D．
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13. 已知an=，则a1+a2+…+a9= 330 ．
14. 已知直线与抛物线围成的区域的面积为，则的
展开式的常数项为 160 ．
15.
已知向量、满足：，且，若，其中且，则最小值是 ．
16．已知锐角中，内角所对应的边分别为，且满足：，，则的取值范围是 ．
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.在△中，内角所对的边分别为，.
（1）求角的大小；
（2）设函数，且图像上相邻两最高点间的距离为,求 的值.
解析：（1）因为由余弦定理知，所以，又因为，则正弦定理得，所以，因为，所以.
（2）,由已知,则,因为,所以,整理得,因为,所以,所以
①.②,
故的取值是.
18. 2015年12月10日, 我国科学家屠呦呦教授由于在发现青蒿素和治疗疟疾的疗法上的贡献获得诺贝尔医学奖，以青蒿素类药物为主的联合疗法已经成为世界卫生组织推荐的抗疟疾标准疗法，目前，国内青蒿人工种植发展迅速，调查表明，人工种植的青蒿的长势与海拔高度、土壤酸碱度、空气湿度的指标有极强的相关性，现将这三项的指标分别记为，并对它们进行量化：表示不合格，表示临界合格，表示合格，再用综合指标的值评定人工种植的青蒿的长势等级：若，则长势为一级；若，则长势为二级；若，则长势为三级；为了了解目前人工种植的青蒿的长势情况，研究人员随机抽取了块青蒿人工种植地，得到如下结果：
种植地编号
种植地编号
（1）在这块青蒿人工种植地中任取两地，求这两地的空气湿度的指标相同的概率；
（2）从长势等级是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，从长势等级不是一级的人工种植地中任取一地，其综合指标为，记随机变量，求的分布列及其数学期望.
解：（1）由表可知：空气温度指标为的有；
空气温度指标为的有,空气温度指标为的有.
所以空气温度指标相同的概率.
（2）计算块青蒿人工种植地的综合指标, 可得下表：
编号
综合指标
其中长势等级是一级的有，共个，长势等级不是一级的有，共个.
随机变量的所有可能取值为：.
,
,
,所以的分布列为：
所以.
19. om]如图，在棱台中，与分别是棱长为1与2的正三角形，平面
平面，四边形为直角梯形，，点为的重
心，为中点，，
（1）当时，求证：//平面；
（2）若直线与所成角为，试求二面角的余弦值.
解：（Ⅰ）连延长交于，
因为点为的重心，所以
又，所以，所以
//；···················3(分)
为中点，为中点, //,又//，
所以//，得四点共面
//平面··································6(分)
（Ⅱ）平面平面，平面，连接易得，
以为原点，为x轴，为y轴，为z轴建立空间直角坐标系，
则，设，
， ，
因为与所成角为，所以，
得，，，··············8(分)
设平面的法向量，则，取，
平面的法向量，所以二面角的余弦值····················12(分)
20.已知椭圆的左右焦点分别为，过点作直线交椭圆于
两点，若且
（1）求椭圆的方程；
（2）已知圆为原点，圆与椭圆交于
两点，点为椭圆上一动点，若直线与轴分别交于
点求证：为常数.
20.解：(1)设，则，，，．
则有，解得．·······················3(分)
，，，，
，．
于是，在△中，，
所以，所以，椭圆的方程为.········6(分)
(2)由条件可知、两点关于轴对称，设，，则，
，，所以，．
直线的方程为，······················9(分)
令得点的横坐标，同理可得点的横坐标.于是
，
所以，为常数．····················12(分)
21.若总有则称为与在上的一个“严格分界函数”.
（1）求证：是和在上的一个“严格分界函数”；
（2）函数，若存在最大整数使得在恒成立，求的值.（…是自然对数的底数，）
21.解：（1）证明：令，[来源:学科网]．
当时，，故在区间上为减函数，
因此，故．···················2(分)
再令，当时，，
故在区间上为增函数．，所以，故是和在上的一个“严格分界函数”···················5(分)
（2） 由（1）知.
又，···················7分)
令
解得，易得在单调递减，在单调递增，则
···················9(分)
又在存在使得，故在上先减后增，则有，则，所以
，则····················12(分)
[选修4-4：坐标系与参数方程]
22．在平面直角坐标系xOy中，倾斜角为α（α≠）的直线l的参数方程为（t为参数）．以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0．
（I）写出直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点P（1，0）．若点M的极坐标为（1，），直线l经过点M且与曲线C相交于A，B两点，设线段AB的中点为Q，求|PQ|的值．
解：（Ⅰ）∵直线l的参数方程为（t为参数）．
∴直线l的普通方程为y=tanα•（x﹣1），
由曲线C的极坐标方程是ρcos2θ﹣4sinθ=0，得ρ2cos2θ﹣4ρsinθ=0，
∴x2﹣4y=0，
∴曲线C的直角坐标方程为x2=4y．
（Ⅱ）∵点M的极坐标为（1，），∴点M的直角坐标为（0，1），
∴tanα=﹣1，直线l的倾斜角为，
∴直线l的参数方程为，
代入x2=4y，得，
设A，B两点对应的参数为t1，t2，
∵Q为线段AB的中点，
∴点Q对应的参数值为，
又P（1，0），则|PQ|=||=3．
[选修4-5：不等式选讲]
23．已知函数f（x）=|x﹣1|+a|x+2|．
（Ⅰ）当a=1时，求不等式f（x）≥5的解集；
（Ⅱ）当a＜﹣1时，若f（x）的图象与x轴围成的三角形面积等于6，求a的值．
【解答】解：（Ⅰ）a=1时，f（x）≥5化为：|x﹣1|+|x+2|≥5①，
当x≤﹣2时，①式化为﹣2x﹣6≥0，解得：x≤﹣3；
当﹣2＜x＜1时，①式化为3＞5，不成立；
当x≥1时，①式化为2x+1≥5，解得x≥2
综上，f（x）≥5的解集是{x|x≤﹣3或x≥2}；
（Ⅱ）当x≤﹣2时，f（x）=﹣（a+1）x﹣2a+1；
当﹣2＜x＜1时，f（x）=（a﹣1）x+2a+1；
当x≥1时，f（x）=（a+1）x+2a﹣1，
综上，f（x）=；
画出函数f（x）的图象如图所示；
则f（x）与x轴围成的△ABC三个顶点分别为：
A（﹣2，3），B（﹣，0），C（，0）
由题设可得：S=（﹣）•3=6，
化简得2a2+3a﹣2=0，解得a=﹣2或a=（不合题意，舍去）；
故a的值是﹣2．
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