石家庄二中高三12月月考数学理科题
一、选择题
1．已知全集是小于9的正整数}，，则等于（ ）
A. {1，2} B. {3，4} C. {5，6} D. {3，4，5，6，7，8}
2．设是虚数单位，复数为纯虚数，则实数的值为（ ）
A. B. C. D.
3．已知命题，则为（ ）
A. B.
C. D.
4．若变量满足约束条件，则的最大值为（ ）
A. -7 B. -1 C. 1 D. 2
5．中国古代数学著作《算法统综》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初步健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔仔细算相还”.其大意为：“有一个走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地”.则该人第五天走的路程为（ ）
A. 48里 B. 24里 C. 12里 D. 6里[KS5UKS5U.KS5U
6．一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积等于（ ）
A. B. C. D.
7．已知点及抛物线上一动点，则的最小值为（ ）．
A. B. C. D.
8．已知函数的最小正周期是，将函数的图象向左平移个单位长度后所得的函数为，则函数的图象（ ）
A. 有一个对称中心 B. 有一条对称轴
C. 有一个对称中心 D. 有一条对称轴
9．已知正项等比数列的前项和为，且，则的最小值为（ ）
A. 10 B. 15 C. 20 D. 25
10．如图在正方体中，点为线段的中点. 设点在线段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
11．设、分别为双曲线（， ）的左、右焦点， 为双曲线右支上任一点．若的最小值为，则该双曲线离心率的取值范围是（ ）．
A. B. C. D.
12．已知是定义域为的单调函数，若对任意的，都有，且方程在区间上有两解，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13．甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分，当他们被问到谁考了满分时，回答如下．
甲说：丙没有考满分；乙说：是我考的；丙说：甲说的是真话．
事实证明：在这三名同学中，只有一人说的是假话，那么得满分的同学是 ．
14．已知直线： ，点， . 若直线上存在点满足，则实数的取值范围为___________.
15．在矩形中， ， ,则_________.
16．已知椭圆， 是的长轴的两个端点，点是上的一点，满足，设椭圆的离心率为，则______.
三、解答题：
17、已知公差不为零的等差数列的前项和为，若,且成等比数列.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）设数列满足，求数列的前项和
18、在△的内角的对边分别为，已知， ,.
（1）求；
（2）设D为BC边上一点，且,求△的面积.
19．在四棱锥中， 平面， 是的中点， ， ， .
（1）求证： ；
（2）求二面角的余弦值.
20．已知动圆与圆外切，又与直线相切 .
（1）求动圆的圆心的轨迹方程；
（2）若动点为直线上任一点，过点的直线与曲线相交两点.求证： .
21．已知左、右焦点分别为的椭圆与直线相交于两点，使得四边形为面积等于的矩形.[KS5UKS5U]
（1）求椭圆的方程；
（2）过椭圆上一动点（不在轴上）作圆的两条切线，切点分别为，直线与椭圆交于两点， 为坐标原点，求的面积的取值范围.
22．已知函数.
(1)讨论函数在区间上的单调性；
(2)已知函数，若，且函数在区间内有零点，求的取值范围.
参考答案
1．D 2．A 3．D 4．D 5．C 6．A 7．C 8．B 9．C 10．B 11．B 12．A
二填空题
13．甲 14． 15．12. 16.
三解答题
17解：（Ⅰ）数列是等差数列，设的公差为，成等比数列，
，
得 ， ..........2分
得.........4分
得 .............5分
（Ⅱ） ........6分 .......7分 .............9分 ............10分
18、解:（1）由得，又，得. 2分
由余弦定理.又∵
代入并整理得，故. 5分
（2）∵，
由余弦定理. 7分
∵，即为直角三角形，
则，得. 9分
由勾股定理.又，则，[KS5UKS5U]
. 12分
19．试题解析：（1）取的中点，连接，则.
因为，所以. 2分
因为平面， 平面，所以又
所以平面因为平面，所以；又，
所以； 4分
又因为, ，所以平面
因为平面，所以. 5分
（2）以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.
则， ， ， ， ，
， . 6分
设平面的法向量为，则所以
令，所以. 8分
由（1）知平面， 平面，所以.
同理，所以平面
所以平面的一个法向量. 10分
所以， 11分
由图可知，二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.12分
20试题解析：
(1)由题知动圆圆心到距离与到直线距离相等； 2分
所以动圆圆心的轨迹方程为： . 4分
(2)由题知设，
当直线斜率为时，不符合题意，
所以可设直线的方程为， 5分
联立，消去，得恒成立，
有， 7分
而， 8分
10分
，
所以成立. 12分
21． 试题解析：（1）∵四边形为面积等于的矩形，
∴，故， 2分
∴椭圆方程化为，且点，∵点A在椭圆上，∴，整理得，解得。∴椭圆的方程为； 4分
（2）设，则以线段为直径的圆的方程为
，
又圆的方程为， 两式相减得直线的方程为. 6分
由消去y整理得
∵直线与椭圆交于两点，
∴，
设，则 7分
又原点到直线CD的距离为，
∴
9分
设， ∵， ∴ 10分
又在上单调递增，∴，
所以的面积的取值范围为. 12分
22．试题解析：解：(1)由题得，所以.
当时， ，所以在上单调递增； 1分
当时， ，所以在上单调递减； 2分
当时，令，得， 3分
所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增.
综上所述，当时， 在上单调递增；
当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增；[KS5UKS5UKS5U]
当时，所以在上单调递减. 4分
(2) ，
，
设为在区间内的一个零点，则由，可知在区间上不单调，则在区间内存在零点，同理， 在区间内存在零点，所以在区间内至少有两个零点. 6分
由(1)知，当时， 在上单调递增，故在内至多有一个零点，不合题意.
当时， 在上单调递减，故在内至多有一个零点，不合题意，所以， 8分
由，得， . 10分
此时在区间上单调递减，在区间上单调递增.
因此， ， ，
必有， .
由， ，解得. 12分
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