菏泽一中12月数学（文科）检测
第I卷（选择题）
一、选择题（每题5分共50分）
1．已知是实数集，集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．已知过点的直线与圆相切，且与直线垂直，则（ ）
A. B.1 C.2 D.
3．如图是一个几何体的三视图，在该几何体的各个面中，面积最小的面的面积为（ ）
A． B． C． D．
4．若，则的值为（）
A． B. C. D.
5．设函数在区间上是单调递减函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．设条件， 条件， 其中为正常数．若是的必要不充分条件，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
7．已知正项等比数列满足：，若存在两项使得，则的最小值为( )
A. B. C. D. 不存在
8．．函数的图象为（ ）
9．给出下列四个结论：
①已知直线，，则的充要条件为；
②函数满足，则函数的一个对称中心为；
③已知平面和两条不同的直线，满足，，则；
④函数的单调区间为.
其中正确命题的个数为（ ）
A.4 B.3 C.2 D.0
10．设奇函数在区间上是增函数，且.当时，函数，对一切恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A. B.或
C.或 D.或或
第II卷（非选择题）
二、填空题（每题5分共25分）
11．是圆上的动点，是直线上的动点，则的最小值为 ________________
12．当实数满足约束条件时，有最大值，则实数的值是 .
13．若向量、满足、，，则与
的夹角为 ．
14．如图，渔船甲位于岛屿的南偏西方向的处，且与岛屿相距12海里，渔船乙以10海里/小时的速度从岛屿出发沿正北方向航行，若渔船甲同时从处出发沿北偏东的方向追赶渔船乙，刚好用2小时追上．则= .
15．已知偶函数满足，且当时，，若在区间内，函数有4个零点，则实数的取值范围是
三、解答题（16-19每题12分，20题13分，21题14分）
16．在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知cos 2A－3cos(B＋C)＝1.
(1)求角A的大小；
(2)若△ABC的面积S＝5，b＝5，求sin Bsin C的值．
17．已知：对，函数总有意义；函数在上是增函数；若命题“或”为真，求的取值范围。
18．如图1，在直角梯形中，，，且．
现以为一边向梯形外作正方形，然后沿边将正方形翻折，使平面与平面垂直，为的中点，如图2．
图2
图1
（1）求证：∥平面;
（2）求证：;
（3）求点到平面的距离.
19．（本题满分12分）已知数列为等差数列，且，数列的前项和为，且
（Ⅰ）求数列,的通项公式；
（Ⅱ）若,求数列的前项和．
20．为了降低能源损耗，某体育馆的外墙需要建造隔热层．体育馆要建造可使用20年的隔热层，每厘米厚的隔热层建造成本为6万元．该建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度（单位：cm）满足关系：(，为常数)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．设为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和．
（1）求的值及的表达式；
（2）隔热层修建多厚时，总费用达到最小？并求最小值．
21．（本小题满分14分）已知函数．
（1）讨论的单调区间；
（2）若函数在[，3]上有三个零点，求实数m的取值范围；
（3）设函数（e为自然对数的底数），如果对任意的，都有恒成立，求实数n的取值范围．
参考答案
1．D 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．B 9．D 10．D 11.
12． 13．与的夹角为 14． 15．
16．（1）（2）
17．或。
18．（1）见解析（2）见解析(3)
【解析】（1）证明：取中点，连结．
在△中，分别为的中点，所以∥，且．
由已知∥，，所以∥，且． 3分
所以四边形为平行四边形．所以∥． 4分
又因为平面，且平面，所以∥平面． 5分
（2）在正方形中，．
又因为平面平面，且平面平面，
所以平面．所以． 7分
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，所以．
所以． 8分 所以平面． 10分
（3）解法一：因为平面，所以平面平面． 11分
过点作的垂线交于点，则平面
所以点到平面的距离等于线段的长度 12分
在直角三角形中，
所以
所以点到平面的距离等于. 14分
解法二：平面,所以
所以
12分
又，设点到平面的距离为
则，所以
所以点到平面的距离等于. 14分
19．（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】（Ⅰ） 数列为等差数列，公差，所以，故 2分
由已知得当时，，所以有
两式相减得：，即，所以 5分
又，从而，
所以是以为首项，为公比的等比数列，于是 6分
（Ⅱ）
∴ 7分
9分
两式相减得 11分
所以 12分
20．（1）;（2）即隔热层修建厚时，总费用达到最小，最小值为70万元．
试题分析：（1）由建筑物每年的能源消耗费用C（单位：万元）与隔热层厚度x（单位：cm）满足关系： (0≤x≤10)，若不建隔热层，每年能源消耗费用为8万元．我们可得C（0）=8，得k=40，进而得到C(x)＝．建造费用为C1（x）=6x，则根据隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为f（x），我们不难得到f（x）的表达式．
（2）由（1）中所求的f（x）的表达式，我们利用导数法，求出函数f（x）的单调性，然后根据函数单调性易求出总费用f（x）的最小值．
（1）当时，，， 2分
5分
（2）， 7分
设，．
当且仅当这时，因此的最小值为70．
即隔热层修建厚时，总费用达到最小，最小值为70万元． 10分
21．（1）的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．
（2） ；（3）
试题解析：（1）的定义域为R，． （1分）
因为当或时，；当时，；（2分）
所以的单调递增区间为（-∞，-1）和（1，+∞），单调递减区间为（-1，1）．（3分）
（2）法1：
由（1）知，在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减；
所以在处取得极大值，在处取得极小值．
（5分）
因为在[，3]上有三个零点，所以有：，（7分）
即，解得，故实数m的取值范围为．（8分）
法2：要函数在[，3]上有三个零点，就是要方程在[，3]上有三个实根，也就是只要函数和函数的图象在[，3]上有三个不同的交点．（5分）
由（1）知，在（-∞，-1）和（1，+∞）上单调递增，在（-1，1）上单调递减；
所以在处取得极大值，在处取得极小值．
又，．（7分） 故实数m的取值范围为．（8分）
（3）对任意的，都有恒成立，等价于当时，成立．（10分）
由（1）知，在[，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增，且，，所以在[，2]上的最大值．（11分）
，令，得．（12分）
因为当时，；当时，；所以在[，1]上单调递减，在
上单调递增；故在[，2]上的最小值．（13分）
所以，解得或，故实数n的取值范围是．
（14分）
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