高 三 12 月 检 测
数学理试题
一、 选择题 本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．已知全集U=R，集合A={x|x2﹣2x＜0}，B={x|x﹣1≥0}，那么A∩∁UB=（ ）
A．{x|0＜x＜1} B．{x|x＜0} C．{x|x＞2} D．{x|1＜x＜2}
2 ．给出下列说法，其中正确的个数是( )
① 命题“若，则”的否命题是假命题；
② 命题，使，则；
③ 是“函数为偶函数”的充要条件；
④ 命题，使”，命题中，若，则”，那么命题为真命题.
3.已知，，则的值为（ ）
A. B. C. D.
4．已知向量，若，则( )
5.已知实数，满足，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
6.已知一个几何体的三视图及有关数据如图所示，则该几何
体的体积为（ ）
A．2 B． C． D．
7.《算法通宗》是我国古代内容丰富的数学名书，书中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红灯向下倍加增，共灯三百八十一，请问塔顶几盏灯？”其意思为“一座塔共七层，从塔顶至塔底，每层灯的数目都是上一层的2倍，已知这座塔共有381盏灯，请问塔顶有几盏灯？”
A．3 B．4 C．5 D．6
8．已知函数f（x）=则函数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
9 .设函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ是常数，A＞0，ω＞0），且函数f（x）的部分图象如图所示，则有（ ）
A．f（﹣）＜f（）＜f（） B．f（﹣）＜f（）＜f（）
C．f（）＜f（）＜f（﹣） D．f（）＜f（﹣）＜f（）
10.如图所示，正方体ABCD﹣A′B′C′D′的棱长为1，E，F分别是棱AA′，CC′的中点，过直线E，F的平面分别与棱BB′、DD′交于M，N，设BM=x，x∈[0，1]，给出以下四个命题：
①平面MENF⊥平面BDD′B′； ②当且仅当x=时，四边形MENF的面积最小；
③四边形MENF周长L=f（x），x∈[0，1]是单调函数；④四棱锥C′﹣MENF的体积V=h（x）为常函数；以上命题中假命题的序号为（ ）
A．①④ B．② C．③ D．③④
二 、填空题
11．若等差数列{an}的公差为2，且a1，a2，a4成等比数列，则a1= ．
12.已知函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 ．
13.函数（且）的图象恒过定点A，若点A在直线（，）上，则的最小值为 ．
14.设(为自然对数的底数)，则的值为
15.把自然数按右图所示排列起来，从上往下
依次为第一行、第二行、第三行……，中间用
虚线围起来的一列数，从上往下依次为1、5、
13、25、……，按这样的顺序，排在第30个的数是 .
三、解答题
16．在△ABC中，A=，AB=6，AC=3．
（1）求sin（B+）的值；
（2）若点D在BC边上，AD=BD，求AD的长．
17.（本小题满分12分） 等差数列中，，，其前项和为.
(Ⅰ) 求数列的通项公式；
(Ⅱ) 设数列满足，其前n项和为，求证：．
18.已知圆M：x2+y2﹣2x+a=0．
（1）若a=﹣8，过点P（4，5）作圆M的切线，求该切线方程；
（2）若AB为圆M的任意一条直径，且•=﹣6（其中O为坐标原点），求圆M的半径．
19在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥平面ABCD，DC∥AB，DC=2，AB=4，BC=2，∠CBA=30°．
（1）求证：AC⊥PB；
（2）若PC=2，点M是棱PB上的点，且CM∥平面PAD，求BM的长．
（3）求平面PAD与平面PBC所成二面角的正弦
20.某油库的设计容量是30万吨，年初储量为10万吨，从年初起计划每月购进石油m万吨，以满足区域内和区域外的需求，若区域内每月用石油1万吨，区域外前x个月的需求量y（万吨）与x的函数关系为y=（p＞0，1≤x≤16，x∈N*），并且前4个月，区域外的需求量为20万吨．
（1）试写出第x个月石油调出后，油库内储油量M（万吨）与x的函数关系式；
（2）要使16个月内每月按计划购进石油之后，油库总能满足区域内和区域外的需求，且每月石油调出后，油库的石油剩余量不超过油库的容量，试确定m的取值范围．
21.已知函数，．
（1）当时，求函数在处的切线方程；
（2）若函数有三个不同的极值点，求的取值范围；
（3）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，求正整数的最大值．
高三12月 数学检测答案
1 解：由A中的不等式变形得：x（x﹣2）＜0，0＜x＜2，即A={x|0＜x＜2}，
由B中的不等式解得：x≥1，即B={x|x≥1}，∵全集U=R，
∴∁UB={x|x＜1}，则A∩（∁UB）={x|0＜x＜1}．故选：A． 2 C
3
4.A
5.试题分析：，令，如下图所示，作出不等式组所表示的可行域，
作直线：，平移，从而可知，当，时，，此时，等号可取， 故的最小值是，故选C. 6 B 7 A
8 解：作出函数f（x）的图象如图：当x≤0时，由f（x）=得x+1=，即x=﹣1=﹣，
当x＞0时，由f（x）=得log2x=，即x==，
由g（x）=f（f（x））﹣=0得f（f（x））=，则f（x）=﹣或f（x）=，
若f（x）=﹣，此时方程f（x）=﹣有两个交点，
若f（x）=，此时方程f（x）=只有一个交点，
则数g（x）=f（f（x））﹣的零点个数是3个，故选：B
9 D 10 C 11．2
12 【解答】解：∵函数f（x）=x+asinx在（﹣∞，+∞）上单调递增
∴函数f（x）的导函数f′（x）=1+a•cosx≥0在（﹣∞，+∞）上恒成立，
令cosx=t，t∈[﹣1，1]，问题转化为g（t）=at+1≥0在t∈[﹣1，1]上恒成立，
即g（﹣1）≥0，g（1）≥0成立，所以﹣1≤t≤1．故答案为：[﹣1，1]．
13 试题分析：由题意得，，∴，
∴，当且仅当等号成立，
即最小值是，故填：，. 14． 15． 1741
16 解：（1）∵在△ABC中，A=，AB=6，AC=3．
由余弦定理得：BC===3，
故cosB===，
则sinB==，
故sin（B+）=（+）=；
（2）过点D作AB的垂线DE，垂足为E，由AD=BD得：cos∠DAE=cosB， ∴Rt△ADE中，AD===
17解：(Ⅰ) 因为，
，即，得， ，
所以.
(Ⅱ) ，
，
.
18 解：（1）若a=﹣8，圆M：x2+y2﹣2x+a=0即（x﹣1）2+y2=9，圆心（1，0），半径为3，斜率不存在时，x=4，满足题意；
斜率存在时，切线l的斜率为 k，则 l：y﹣5=k（x﹣4），即l：kx﹣y﹣4k+5=0
由=3，解得k=，∴l：8x﹣15y+43=0，
综上所述切线方程为x=4或8x﹣15y+43=0；
（2）•=（+）•（+）=1﹣（1﹣a）=﹣6，∴a=﹣6，
∴圆M的半径==．
19证明：（1）∵PC⊥平面ABCD，∴PC⊥AC，
又∠CBA=30°，BC=2，AB=4，
∴AC=
=，
∴AC2+BC2=4+12=16=AB2，∴∠ACB=90°，故AC⊥BC．
又∵PC、BC是平面PBC内的两条相交直线，
∴AC⊥平面PBC，∴AC⊥PB． 6分
解：（2）以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CP为z轴，建立空间直角坐标系，
B（0，2，0），A（2，0，0），P（0，0，2），D（1，﹣，0），
设M（0，b，c），，（0≤λ≤1），即（0，b，c﹣2）=（0，2，﹣2λ），
∴b=2，c=2﹣2λ．M（0，2，2﹣2λ），∴=（0，2λ，2﹣2λ），
设平面PAD的法向量=（x，y，z），则，
取x=1，得=（1，﹣，1）
∵CM∥平面PAD，
∴•=﹣2λ+2﹣2λ=0，解得λ=，
∴M（0，，1），
∴BM==2. 12分
20 解：（1）由题意，20=，∴2p=100，
∴y=10（1≤x≤16，x∈N*），
∴油库内储油量M=mx﹣x﹣10+10（1≤x≤16，x∈N*）；
（2）∴0≤M≤30，
∴0≤mx﹣x﹣10+10≤30（1≤x≤16，x∈N*），
∴（1≤x≤16，x∈N*）恒成立．；
设=t，则≤t≤1，．
由≤（x=4时取等号），可得m≥，
由20t2+10t+1=≥（x﹣16时取等号），可得m≤，
∴≤m≤．
21．解：（1）， ，
∴， ∴；
，即切点，
∴在处的切线方程为：．………………（3分）
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