河南省洛阳市2018届高三上学期第一次统一考试（12月）数学理试题Word版含答案.doc

www.ks5u.com 河南省洛阳市2018届高三上学期第一次统一考试（12月）数学试卷(理)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设全集，集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.若（是虚数单位），则等于（ ）‎ A．3 B．2 C．0 D．-1‎ ‎3.若函数同时满足下列两个条件，则称该函数为“优美丽数”：‎ ‎（1）对，都有；‎ ‎（2）对，且，都有．‎ ‎①；②；③；④以上四个函数中，“优美函数”的个数是（ ）‎ A．0 B．1 C．2 D．3 ‎ ‎4.已知向量，，若，则实数的值是（ ）‎ A．-4 B．-1 C. 1 D．4‎ ‎5.已知某算法的程序框图如图所示，则该算法的功能是（ ）‎ ‎ A．求首项为1，公差为2 的等差数列前2017项和 ‎ B．求首项为1，公差为2 的等差数列前2018项和 ‎ C. 求首项为1，公差为4 的等差数列前1009项和 ‎ D．求首项为1，公差为4 的等差数列前1010项和 ‎6.设满足约束条件，则的最小值与最大值的和为（ ）‎ A．7 B．8 C. 13 D．14‎ ‎7.已知函数，先将的图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），再将得到的图象上所有点向右平移个单位长度，得到的图象关于轴对称，则的最小值为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.一个几何体的三视图如图所示，图中的三个正方形的边长均为2，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎9.若，则二项式的展开式中的常数项为（ ）‎ A．-15 B．15 C. -240 D．240‎ ‎10.在中，角的对边分别为，若成等比数列，且，则（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎11.已知是抛物线的焦点，曲线是以为圆心，以为半径的圆，‎ 直线与曲线从上到下依次相交于点，则（ ）‎ A．16 B．4 C. D．‎ ‎12.已知函数满足，且当时，，则方程在上的所有根之和为（ ）‎ A．8 B．9 C. 10 D．11‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知，则 ．‎ ‎14.某校有4个社团向高一学生招收新成员，现有3名同学，每人只选报1个社团，恰有2个社团没有同学选报的报法数有 种（用数字作答）．‎ ‎15.在半径为4的球面上有不同的四点，若，则平面被球所截得图形的面积为 ．‎ ‎16.已知为双曲线的左、右焦点，是双曲线右支上的一点，连接并过作垂直于的直线交双曲线左支于，其中，为等腰三角形．则双曲线的离心率为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知各项均不为零的数列的前项和为，且对任意，满足．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列满足，数列的前项和为，求证：．‎ ‎18.甲、乙两家外卖公司，其送餐员的日工资方案如下：甲公司的底薪80元，每单抽成4元；乙公司无底薪，40单以内（含40单）的部分每单抽成6元，超出40单的部分每单抽成7元，假设同一公司送餐员一天的送餐 单数相同，现从两家公司各随机抽取一名送餐员，并分别记录其50天的送餐单数，得到如下频数表：‎ 甲公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 天数 ‎10‎ ‎15‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎5‎ ‎ 乙公司送餐员送餐单数频数表 送餐单数 ‎38‎ ‎39‎ ‎40‎ ‎41‎ ‎42‎ 天数 ‎5‎ ‎10‎ ‎10‎ ‎20‎ ‎5‎ ‎（1）现从甲公司记录的50天中随机抽取3天，求这3天送餐单数都不小于40的概率；‎ ‎（2）若将频率视为概率，回答下列两个问题：‎ ‎①记乙公司送餐员日工资为（单位：元），求的分布列和数学期望；‎ ‎②小王打算到甲、乙两家公司中的一家应聘送餐员，如果仅从日工资的角度考虑，请利用所学的统计学知识为小王作出选择，并说明理由．‎ ‎19.如图，在四棱锥中，分别是的中点，底面是边长为2的正方形，，且平面平面．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值． ‎ ‎20.已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程．‎ ‎21.已知函数，（），且曲线在点处的切线方程为．‎ ‎（1）求实数的值及函数的最大值；‎ ‎（2）当时，记函数的最小值为，求的取值范围．‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数，），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）写出曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）已知点是曲线上一点，若点到曲线的最小距离为，求的值．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）设不等式的解集为，若，求实数的取值范围．‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CABDC 6-10: DCADB 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 14. 36 15. 16. ‎ 三、解答题 ‎17.（1）当时，，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，∴当时，，两式相减得，‎ ‎∴数列是首项为4，公比为4的等比数列，∴.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎，‎ 两式相减得 ‎.‎ ‎∴.‎ ‎18.（1）记抽取的3天送餐单数都不小于40为事件，‎ 则.‎ ‎（2）①设乙公司送餐员送餐单数为，‎ 则当时，，当时，，当时，‎ ‎，‎ 当时，，当时，.‎ 所以的所有可能取值为228，234，240，247，254.故的分布列为：‎ ‎228‎ ‎234‎ ‎240‎ ‎247‎ ‎254‎ ‎∴.‎ ‎②依题意，甲公司送餐员日平均送餐单数为 ‎.‎ 所以甲公司送餐员日平均工资为元.‎ 由①得乙公司送餐员日平均工资为241.8元.‎ 因为，故推荐小王去乙公司应聘.‎ ‎19.（1）由题，为的中点，可得，‎ ‎∵平面平面，，‎ ‎∴平面.‎ 又∵平面，‎ ‎∴. ‎ ‎∴平面.‎ ‎∴平面平面.‎ ‎（2）取的中点，的中点，连接，‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵平面平面平面，‎ ‎∴平面.‎ 分别以为轴建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎，‎ 设平面的法向量为，‎ 则.‎ 即.可取.‎ 同理，可得平面的法向量.‎ ‎.‎ 所以平面与平面所成锐二面角余弦值为.‎ ‎20.（1）因为椭圆的短轴长为2，故.‎ 依题意设直线的方程为：，由.解得，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设 当直线的斜率为0时，显示不符合题意.‎ 当直线的斜率不为0时，，设其方程为，‎ 由，得，‎ 所以，，①‎ 因为，所以，‎ 又点在椭圆上，‎ ‎∴‎ 又∵，‎ ‎∴，②‎ 将，及①代入②得，即或.‎ 故直线的方程为或.‎ ‎21.（1）函数的定义域为，，‎ 因不的图象在点处的切线方程为，‎ 所以.解得.‎ 所以．故．‎ 令，得，‎ 当时，，单调递增；‎ 当时，，单调递减．‎ 所以当时，取得最大值．‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴，，‎ 所以存在即，‎ 当时，，单调递减，当时，，单调递增，‎ 所以的最小值为，‎ 令，‎ 因为，所以在单调递减，‎ 从而，即的取值范围是 ‎22.（1）由曲线的参数方程，消去参数，可得的普通方程为：．‎ 由曲线的极坐标方程得，，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为 ‎（2）设曲线上任意一点为，‎ 则点到曲线的距离为．‎ ‎∵ ∴，，‎ 当时，，即；‎ 当时，，即．‎ ‎∴或．‎ ‎23.（1）当时，原不等式可化为．‎ ‎①当时，原不等式可化为，解得，所以；‎ ‎②当时，原不等式可化为，解得，所以；‎ ‎③当时，原不等式可化为，解得，所以．‎ 综上所述，当时，不等式的解集为．‎ ‎（2）不等式可化为，‎ 依题意不等式在恒成立，‎ 所以，即，‎ 即，所以．‎ 解得，故所求实数的取值范围是．‎