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山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试
数学试题(文科)
2017．12
说明：本试卷满分150分。分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．
第I卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合，则集合
A． B． C． D．
2．设向量，则实数x的值是
A．0 B． C．2 D．±2
3.对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本中的中位数、众数、极差分别是
A.46，45，56 B.46，45，53
C.47，45，56 D.45，47，53
4．设是两个不同的平面，直线．则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知满足约束条件的最大值为
A． B． C．3 D．4
6．已知等差数列的前项和为，若，则公差d的值为：
A．1 B．2 C．4 D．8
7．已知不共线的两个向量
A． B．2 C. D．4
8．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，b升，c升，1斗为10升；则下列判断正确的是
A．依次成公比为2的等比数列，且
B．依次成公比为2的等比数列，且
C．依次成公比为的等比数列，且
D．够次成公比为的等比数列，且
9．如图是函数
上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx的图象
A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
10．函数的图象可能是
11．三棱锥面ABC，，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
12已知定义在R的函数是偶函数，且满足上的解析式为，过点作斜率为k的直线l，若直线l与函数的图象至少有4个公共点，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13．若点在函数的图象上，则=__________．
14．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．
15．已知函数，且，则的最小值为_____________.
16．己知数列，
数列的前n项和记为，则_________.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)已知函数．
(I)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(II)在中，A，B，C的对边分别为，求的值．
18.(本小题满分12分)已知数列的前项和为.
(I)求证：数列为等差数列；
(II)令，求数列的前n项和．
19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示，其中一个数字被污损．
(I)求东部观众平均人数超过西部观众平均人数的概率.
(II)节目的播出极大激发了观众随机统计了4位观众的周均学习成语知识的的时间y (单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对照表(如下表所示)：
由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间．
参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是．
20．(本小题满分12分)
正方形ADEF与梯形ABCD所在平面互相垂直，，点M是EC中点.
（I）求证：BM∥平面ADEF；
（II）求三棱锥M－BDE的体积.
21．(本小题满分12分)
已知函数
(I)若函数处取得极值，求实数的值；并求此时上的最大值；
(Ⅱ)若函数不存在零点，求实数a的取值范围；
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4，坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线l经过点M．
(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：
(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知函数
(I)当时，求的解集；
(II)若不等式的解集包含，求的取值范围．
山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试
数学试题(文科) 2017．12
一、 选择题 DDABC CBDAA AC
二、填空题 13. 14. 15. 16.
三、解答题 17. 解： ……………2分
(1)周期为 …………………………3分
因为 …………………………4分
所以
所以函数的单减区间为 …………………………6分
（2）因为，所以…………………………7分
所以，(1)………………………9分
又因为，所以 (2) …………………………10分
由（1），（2）可得 …………………………12分
18. 解：⑴由得……………………………………3分
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列…………………………4分
⑵由⑴可知所以…………………………………5分
当时，
又也符合上式，所以……………………………………………6分
所以 ……………………………………………………7分
所以
所以
…………………………12分
19. 解：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．
令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8， ……………………2分
东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，
其概率为； ……………………4分
（2）由题意可知=35， =3.5， ……………6分
所以 ……………8分
所以． ……………10分
当时， =5.25小时．
预测60岁观众的学习成语的时间为5.25小时。 ……………12分
20.
21.解：（1）函数的定义域为R，，…………………1分
，.…………………2分
在上单调递减，在上单调递增，所以时取极小值.
所以所求实数的值为1. …………………3分
易知在上单调递增，在上单调递减；
且.
当时，在的最大值为…………………4分
（2），由于.
①当时，是增函数，…………………5分
且当时，.…………………6分
当时，，，取，
则，所以函数存在零点.………………8分
注：用极限方法说明函数存在零点也是可行的，可参考得分.
②当时，.
在上单调递减，在上单调递增，所以时取最小值.………………10分
函数不存在零点，等价于，
解得.
综上所述：所求的实数的取值范围是.………………12分
22．解：（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为，
∴x=3cos=0，y=3sin=3，
∴点M的直角坐标为（0，3）， .…………1分
∴直线方程为y=﹣x+3， .…………3分
由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 .…………5分
（2）圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，.…………6分
∴圆上的点到直线L的距离最大值为， .…………7分
而弦. …………9分
∴△PAB面积的最大值为．.…………10分
23．【解答】
解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即f（x）=|x﹣1|≥|x+1|+1，
即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．
由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，
由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，
故不等式的解集为 …………5分
（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），
即 3x≤x﹣a≤﹣3x，求得 x≤﹣，且x≤．
当a≥0时，可得它的解集为{x|x≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，
可得﹣≥﹣1，求得a≤2，故有0≤a≤2．
当a＜0时，可得它的解集为{x|x≤}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，
可得≥﹣1，求得a≥﹣4，故有﹣4≤a＜0．
综上可得，要求的a的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）= [﹣4，2]．
…………10分
法二：不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），
即 3x≤x﹣a≤﹣3x即在上恒成立
所以有即
…………10分
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