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山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试
数学试题(理科)
2017．12
说明：本试卷满分150分。分为第I卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，第I卷为第1页至第3页，第Ⅱ卷为第4页至第6页．试题答集请用2B铅笔或0.5mm签字笔填涂到答题卡规定位置上，书写在试题上的答案无效，考试时间120分钟．
第I卷(共60分)
一、选择题(本大题共12小题。每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．)
1．设集合，则集合
A． B． C． D．
2．设向量，则实数x的值是
A．0 B． C．2 D．±2
3．己知实数满足约束条件的最大值为
A． B． C．3 D．4
4．设是两个不同的平面，直线．则“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
5．已知等差数列的前项和为，若，则公差d的值为：
A．1 B．2 C．4 D．8
6．已知不共线的两个向量
A． B．2 C. D．4
7．中国古代数学名著《九章算术》中有这样一个问题：今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗，羊主曰：“我羊食半马．”马主曰：“我马食半牛．”今欲衰偿之，问各出几何?此问题的译文是：今有牛、马、羊吃了别人的禾苗，禾苗主人要求赔偿5斗粟．羊主人说：“我羊所吃的禾苗只有马的一半.”马主人说：“我马所吃的禾苗只有牛的一半.”打算按此比例偿还，他们各应偿还多少?已知牛、马、羊的主人应偿还升，b升，c升，1斗为10升；则下列判断正确的是
A．依次成公比为2的等比数列，且
B．依次成公比为2的等比数列，且
C．依次成公比为的等比数列，且
D．够次成公比为的等比数列，且
8．函数的图象可能是
9．如图是函数上的图象，为了得到这个函数的图象，只需将y=sinx的图象
A．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
B．向左平移至个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
C．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的，纵坐标不变
D．向左平移个长度单位，再把所得各点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标不变
10．三棱锥面ABC，，则该三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
11．为了竖一块广告牌，要制造三角形支架，如图，要求，BC的长度大于1米，且AC比AB长0.5米，为了稳固广告牌，要求AC越短越好，则AC最短为
A. 米 B.2米
C. 米 D. 米
12已知定义在R的函数是偶函数，且满足上的解析式为，过点作斜率为k的直线l，若直线l与函数的图象至少有4个公共点，则实数k的取值范围是
A． B． C． D．
第II卷(非选择题，共90分)
二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分.)
13．若点在函数的图象上，则=__________．
14．一简单组合体的三视图如图，则该组合体的体积为________．
15．已知函数，且，则的最小值为_____________.
16．己知数列，
数列的前n项和记为，则_________.
三、解答题(共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.)
(一)必考题：60分．
17．(本小题满分12分)已知函数．
(I)求函数的最小正周期和单调递减区间；
(II)在中，A，B，C的对边分别为，求的值．
18.(本小题满分12分)已知数列的前项和为.
(I)求证：数列为等差数列；
(II)令，求数列的前n项和．
19．(本小题满分12分)某省电视台为了解该省卫视一档成语类节目的收视情况，抽查东西两部各5个城市，得到观看该节目的人数(单位：千人)如下茎叶图所示其中一个数字被污损．
(I)求东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数的概率；
(II)节目的播出极大激发了观众对成语知识的学习与积累的热情。现从观看节目的观众中随机统计了4位观众的周均学习成语知识的时间y(单位：小时)与年龄x(单位：岁)，并制作了对照表(如下表所示)；
由表中数据分析，x，y呈线性相关关系，试求线性回归方程，并预测年龄为60岁观众周均学习成语知识的时间．
参考数据：线性回归方程中的最小二乘估计分别是．
20．(本小题满分12分)如图，三棱柱中，M，N分别为的中点．
(I)证明：直线MN//平面CAB1；
(II)若四边形ABB1A1是菱形，且，，
求平面和平面所成的角(锐角)的余弦值．
21．(本小题满分12分)已知函数
(I)求函数的最大值；
(Ⅱ)令既有极大值，又有极小值，求实数a的范围；
(III)求证：当以．
(二)选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．
22．[选修4-4，坐标系与参数方程](10分)
在极坐标系中，点M的坐标为，曲线C的方程为；以极点为坐标原点，极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线l经过点M．
(I)求直线l和曲线C的直角坐标方程：
(II)若P为曲线C上任意一点，直线l和曲线C相交于A，B两点，求△PAB面积的最大值．
23．[选修4—5：不等式选讲](10分)
已知函数
(I)当时，求的解集；
(II)若不等式的解集包含，求的取值范围．
山东省实验中学2015级高三第三次诊断性考试
数学试题参考答案(理科) 2017．12
一、 选择题
1-5 DDCBC 6-10 BDAAB 11-12 DC
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17. 解： …………………………2分
(1)周期为 …………………………3分
因为 …………………………4分
所以
所以函数的单减区间为 …………………………6分
（2）因为，所以…………………………7分
所以，(1)………………………9分
又因为，所以 (2) …………………………10分
由（1），（2）可得 …………………………12分
18. 解：⑴由得……………………………………3分
又，所以数列是首项为，公差为的等差数列…………………………4分
⑵由⑴可知所以…………………………………5分
当时，
又也符合上式，所以……………………………………………6分
所以 ……………………………………………………7分
所以
所以
…………………………12分
19. 解：（1）设被污损的数字为a，则a有10种情况．
令88+89+90+91+92＞83+83+97+90+a+99，则a＜8， ……………………2分
东部各城市观看该节目观众平均人数超过西部各城市观看该节目观众平均人数，有8种情况，
其概率为； ……………………4分
（2）由题意可知=35， =3.5， ……………6分
所以 ……………8分
所以． ……………10分
当时， =5.25小时．
预测60岁观众的学习成语的时间为5.15小时。 ……………12分
20. 证明：（Ⅰ）设与交于点，连接，
因为四边形是平行四边形，所以是是的中点，
是的中点，所以.
又因为是的中点，所以.
所以，所以四边形是平行四边形，
所以.
又因为平面，平面，
所以直线平面. ………………………………………………… 5分
（Ⅱ）因为平行四边形是菱形，所以.
又因为，所以.又且是的中点，所以.又因为，所以≌，所以，故，从而两两垂直.
以为坐标原点，所在直线分别为轴建立如图空间直角坐标系， ………………………… 7分
则，，
，
.… ……………………… 8分
因为两两垂直，所以平面，
所以是平面的一个法向量；
………………………… 9分
设是平面的一个法向量，则，即，
令,得，所以 ………………………… 11分
所以
所以平面和平面所成的角（锐角）的余弦值为 ………… 12分
21. (Ⅰ) 解:(1) 函数定义域为， ……… 1分
∴当时,;当时,;
∴函数在区间上为增函数;在区间为减函数 ……… 2分
所以………… 3分
(Ⅱ)，
既有极大值，又有极小值等价于方程在区间上有两个不相等的正根………… 4分
即：解得.
所以所求实数a的取值范围是.………… 7分
(Ⅲ) 由（1）知当时，.………… 8分
………… 10分
………… 11分
所以.…………12分
22．解：（1）∵在极坐标系中，点M的坐标为，
∴x=3cos=0，y=3sin=3，
∴点M的直角坐标为（0，3）， .…………1分
∴直线方程为y=﹣x+3， .…………3分
由，得ρ2=2ρsinθ+2ρcosθ，
∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣2x﹣2y=0，
即（x﹣1）2+（y﹣1）2=2 .…………5分
（2）圆心（1，1）到直线y=﹣x+3的距离，.…………6分
∴圆上的点到直线L的距离最大值为， .…………7分
而弦. …………9分
∴△PAB面积的最大值为．.…………10分
23．【解答】
解：（Ⅰ）当a=1时，不等式即 f（x）=|x﹣1|≥|x+1|+1，
即|x﹣1|﹣|x+1|≥1．
由于|x﹣1|﹣|x+1|表示数轴上的x对应点到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离，
由﹣0.5到1对应点的距离减去它到﹣1对应点的距离正好等于1，
故不等式的解集为 …………5分
（Ⅱ）不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），
即 3x≤x﹣a≤﹣3x，求得 x≤﹣，且x≤．
当a≥0时，可得它的解集为{x|x≤﹣}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，
可得﹣≥﹣1，求得a≤2，故有0≤a≤2．
当a＜0时，可得它的解集为{x|x≤}；再根据它的解集包含{x|x≤﹣1}，
可得≥﹣1，求得a≥﹣4，故有﹣4≤a＜0．
综上可得，要求的a的取值范围为[0，2]∪[﹣4，0）=[﹣4，2]．
…………10分
法二：不等式f（x）+3x≤0，即|x﹣a|+3x≤0，即|x﹣a|≤﹣3x（x≤0），
即 3x≤x﹣a≤﹣3x即在上恒成立
所以有即
…………10分
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