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专题 3 　力与物体的曲线运动 知识专题 网络构建 考题二　平抛 ( 类平抛 ) 运动的规律 考题三　圆周运动问题的分析 栏目索引 考题一　运动的合成与分解 考题四　抛体运动与圆周运动的综合 考题一　运动的合成与分解 1. 物体做曲线运动的条件 当物体所受合外力的方向跟它的速度方向不共线时，物体做曲线运动 . 合运动与分运动具有等时性、独立性和等效性 . 方法指导 ⇓ 2. 分析运动合成与分解的一般思路 ⇓ ⇓ ⇓ 解析 例 1 　 质量为 2 kg 的质点在 x － y 平面上运动， x 方向的速度 — 时间图象和 y 方向 的位移 — 时间图象分别 如图 1 甲 、乙所示，则质点 ( 　　 ) A . 初速度为 4 m/s B . 所受合外力为 4 N C. 做 匀变速直线运动 D . 初速度的方向与合外力的方向 垂直 典例剖析 图 1 √ 解析　 x 轴方向初速度为 v x ＝ 4 m/s ， y 轴方向初速度 v y ＝ 3 m/s ，质点的初速度 v 0 ＝ ＝ 5 m/s . 故 A 错误 . x 轴方向的加速度 a ＝ 2 m/s 2 ，质点的合力 F 合 ＝ ma ＝ 4 N. 故 B 正确 . x 轴方向的合力恒定不变， y 轴做匀速直线运动，合力为零，则质点受到的合力恒定不变 . 合力沿 x 轴方向，而初速度方向既不在 x 轴方向，也不在 y 轴方向，质点初速度的方向与合外力方向不垂直，做匀变速曲线运动 . 故 C 、 D 错误 . 1.(2016· 全国乙卷 ·18) 一质点做匀速直线运动，现对其施加一恒力，且原来 作用在质点上的力不发生改变，则 ( 　　 ) A. 质点速度的方向总是与该恒力的方向相同 B. 质点速度的方向不可能总是与该恒力的方向垂直 C. 质点加速度的方向总是与该恒力的方向相同 D. 质点单位时间内速率的变化量总是 不变 解析 √ [ 变式 训练 ] 1 2 √ 1 2 解析　 质点一开始做匀速直线运动，处于平衡状态，施加恒力后，则该质点所受的合外力为该恒力 . ① 若该恒力方向与质点原运动方向不共线，则质点做曲线运动，质点速度方向与恒力方向不同，故 A 错； ② 若 F 的方向某一时刻与质点运动方向垂直，之后质点做曲线运动，力与速度方向不再垂直，例如平抛运动，故 B 正确； ③ 由牛顿第二定律可知，质点加速度的方向总是与其所受合外力方向相同， C 正确； ④ 根据加速度的定义，相等时间内速度变化量相同，而速率变化量不一定 相同，故 D 错 . 2. 如图 2 所 示，甲乙两船在同一条河流中同时开始渡河， M 、 N 分别是甲乙 两船的出发点，两船头与河岸均成 α 角，甲船船头恰好对准 N 点的正对岸 P 点， 经过一段时间乙船恰好到达 P 点，如果划船速度大小相等，且两船相遇，不影响各自的航行，下列判断正确的是 ( 　　 ) A. 甲船也能到达正对岸 B. 甲船渡河时间一定短 C. 两船相遇在 NP 直线上的某点 ( 非 P 点 ) D. 渡河过程中两船不会 相遇 √ 1 2 解析 返回 图 2 1 2 返回 解析　 甲船航行方向与河岸成 α 角，水流速度水平向右，故合速度一定不会垂直河岸，即甲船不能垂直到达对岸， A 错误； 1. 求解平抛运动的基本思路和方法 —— 运动的分解 将平抛运动分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的 自由落体运动 —— “ 化曲为直 ” ，是处理平抛运动的基本思路和方法 . 2. 求解平抛 ( 类平抛 ) 运动的注意点 (1) 突出落点问题时，一般建立坐标系，由两个方向遵循的规律列出位移方程，由此确定其落点 . (2) 突出末速度的大小和方向问题时，一般要建立水平分速度和竖直分速度之间的关系，由此确定其末速度 . 考题二　平抛 ( 类平抛 ) 运动的规律 方法指导 (3 ) 如图 3 所 示，分解某一过程的位移和某一位置瞬时速度，则可以获得两个直角三角形，一般该类运动问题都可以在这两个直角三角形中解决 . 图 3 例 2 　 如图 4 所 示，将甲、乙两球从虚线 PQ 右侧某位置分别以速度 v 1 、 v 2 沿水平方向抛出，其部分轨迹如图 1 、 2 所示，两球落在斜面上同一点，且速度方向相同，不计空气阻力，下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 甲、乙两球抛出点在同一竖直线上 B. 甲、乙两球抛出点在斜面上 C. 甲球抛出点更靠近 PQ 线 D. 一定有 v 1 > v 2 解析 典例剖析 √ 图 4 解析　 二者落在斜面上时速度的方向相同，所以速度的方向与水平方向之间的夹角 θ 是相等的， tan θ ＝ 根据： v y ＝ gt x ＝ v 0 t 解析 可知二者的位移偏转角也相等，所以两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，故结合题目的图象可知 1 的抛出点高于 2 的抛出点，故 A 错误 ； 结合 A 的分析可知，两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，两个小球的抛出点可能在斜面上，也可能不在斜面上，故 B 错误； 两个小球的抛出点与落点的连线在同一直线上，而题目的图中 1 在上，所以甲的抛出点离 PQ 要远一些，故 C 错误； 由于甲的抛出点高一些，因此甲运动的时间长些，故竖直方向的速度 v ＝ gt 大些，而根据落点的速度方向相同，因此速度 v 1 要大一些，故 D 正确 . 3. 如图 5 所 示，在水平地面上 A 、 B 两点同时迎面抛出两个物体，初速度分别为 v 1 、 v 2 ，与水平方向所成角 α 1 ＝ 30° 、 α 2 ＝ 60° ，两物体恰好落到对方抛出点 . 两物体在空中运动的时间分别为 t 1 、 t 2 ， 不计 空气阻力 . 则 ( 　　 ) A. v 1 ＝ v 2 B. t 1 ＝ t 2 C. 两物体在空中可能相遇 D. 两物体位于同一竖直线时，一定在 AB 中点的 右侧 解析 3 4 √ [ 变式 训练 ] √ 图 5 3 4 在竖直方向上的速度一个大，一个小，又是同时抛出，所以两者不可能同时 到达同一高度，即两者不可能相遇， C 错误； 两者位于同一竖直线时，由于运动时间相同，而 A 球的水平初速度较大，所以 A 球走过的水平位移大于 B 球的，所以一定在 AB 中点的右侧， D 正确 . 4. 横截面为直角三角形的两个相同斜面紧靠在一起，固定在水平面上， 如图 6 所示 . 它们的竖直边长都是底边长的一半 ， 现有三个小球从左边斜面的 顶点以不同的初速度向右平抛 ， 最后落在 斜面 上，其落点分别是 a 、 b 、 c . 若不计 空气阻力 ，则下列判断正确的是 ( 　　 ) A. 三小球比较，落在 c 点的小球飞行 过程 速度 变化最大 B. 三小球比较，落在 c 点的小球飞行过程速度变化最快 C. 三小球比较，落在 a 点的小球飞行时间最短 D. 无论小球抛出时初速度多大，落在斜面上的瞬时速度都不可能与斜面 垂直 √ 解析 返回 3 4 图 6 返回 3 4 三个小球均做平抛运动，加速度都是 g ，则速度变化快慢一样，故 B 错误 . 小球 打到两斜面交点时，速度方向与水平方向夹角为 45° ，与斜面夹角小于 90° ，打到右侧斜面的其他位置处，夹角更小，故 D 正确 . 考题 三　圆周运动问题的分析 知识精讲 1. 圆周运动的描述 2. 水平面内圆周运动的临界问题 (1) 水平面内做圆周运动的物体其向心力可能由弹力、摩擦力等力提供，常涉及绳的张紧与松弛、接触面分离等临界状态 . (2) 常见临界条件：绳的临界：张力 F T ＝ 0 ；接触面滑动的临界： F ＝ F f ；接触面分离的临界： F N ＝ 0 . 3. 竖直平面内圆周运动的绳、杆模型 模型 绳模型 杆模型 实例 球与绳连接、水流星、翻滚过山车等 球与杆连接、球过竖直的圆形管道、套在圆环上的物体等 图示 典例剖析 例 3 　 如图 7 所 示，质量为 m 的小球置于内部光滑的正方体盒子中，盒子的边长略大于球的直径 . 盒子在竖直平面内做半径为 R 、周期 为 的 匀速圆周运动，重力加速度大小为 g ，则 ( 　　 ) A. 盒子运动到最高点时，小球对盒子底部压力为 mg B. 盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为 2 mg C. 盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为 6 mg D. 盒子从最低点向最高点运动的过程中，球处于超重 状态 图 7 √ 解析 解析　 设盒子运动到最高点时，小球受到盒子顶部的压力，则： F ＋ mg ＝ mR ( ) 2 ，解得： F ＝ 0 根据牛顿第三定律，盒子运动到最高点时，小球对盒子底部压力为 0. 故 A 错误； 盒子运动到最低点时，小球受到盒子底部支持力与重力的合力提供向心力， 则： F N － mg ＝ mR ( ) 2 ，解得： F N ＝ 2 mg 根据牛顿第三定律，盒子运动到最低点时，小球对盒子底部压力为 2 mg . 故 B 正确， C 错误； 由 A 项的分析可知，在最高点小球只受到重力的作用，所以盒子从最低点向最高点运动的过程中，球接近最高点时处于失重状态 . 故 D 错误 . 5. 如图 8 所 示，在匀速转动的水平盘上，沿半径方向放着用细线相连的质量相等的两个物体 A 和 B ，它们分居圆心两侧，与圆心距离分别为 R A ＝ r ， R B ＝ 2 r ，与盘间的动摩擦因数 μ 相同，当圆盘转速加快到两物体刚好还未发生滑动时，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，下列说法正确的是 ( 　　 ) A. 此时绳子张力为 F T ＝ 3 μmg B. 此时圆盘的角速度为 ω ＝ C. 此时 A 所受摩擦力方向沿半径指向圆外 D. 此时烧断绳子， A 仍相对盘静止， B 将做离心 运动 解析 5 6 √ [ 变式 训练 ] 图 8 √ √ 解析　 两物块 A 和 B 随着圆盘转动时，合外力提供向心力，则 F ＝ mω 2 r ， B 的 半径比 A 的半径大，所以 B 所需向心力大，绳子拉力相等，所以当圆盘 转速加快到两物体刚好还未发生滑动时， B 的静摩擦力方向指向圆心， A 的 最大静摩擦力方向指向圆外，根据牛顿第二定律得： F T － μmg ＝ mω 2 r ， F T ＋ μmg ＝ mω 2 ·2 r ，解得： F T ＝ 3 μmg ， ω ＝ ， 故 A 、 B 、 C 正确 ； 此时烧断绳子， A 的最大静摩擦力不足以提供所需向心力，则 A 做离心运动， 故 D 错误 . 5 6 6.(2016· 浙江理综 ·20) 如图 9 所 示为赛车场的一个水平 “ 梨形 ” 赛道，两个弯道分别 为 半径 R ＝ 90 m 的大圆弧和 r ＝ 40 m 的小圆弧 ， 直道与弯道相切 . 大 、 小圆弧圆心 O 、 O ′ 距离 L ＝ 100 m. 赛车沿弯道路线行驶时，路面对轮胎的最大径向静摩擦力是赛车重力的 2.25 倍，假设赛车在直道上做匀变速直线运动，在弯道上做匀速圆周运动，要使赛车不打滑 ， 绕 赛道一圈时间最短 ( 发动机功率 足够大 ， 重力加速度 g ＝ 10 m/s 2 ， π ＝ 3.14) ，则赛车 ( 　　 ) A. 在绕过小圆弧弯道后加速 B. 在大圆弧弯道上的速率为 45 m/s C. 在直道上的加速度大小为 5.63 m/s 2 D. 通过小圆弧弯道的时间为 5.58 s √ 图 9 √ 解析 返回 5 6 解析　 在弯道上做匀速圆周运动时，根据径向静摩擦力提供向心力得， kmg ＝ ， 当弯道半径一定时，在弯道上的最大速率是一定的，且在大弯道上的最大速率大于小弯道上的最大速率，故要想时间最短，可在绕过小圆弧弯道后加速，选项 A 正确； 解析 5 6 返回 5 6 考题 四　抛体运动与圆周运动的综合 知识精讲 解决抛体与圆周运动的综合问题应注意： (1) 平抛运动与圆周运动的关联速度 . (2) 圆周运动中向心力与运动学公式的关联 . (3) 动能定理的灵活运用 . 典例剖析 例 4 　 (12 分 ) 如图 10 所 示， BC 为半径 等于 竖直 放置的光滑细圆管， O 为细圆管的圆心，在圆管的末端 C 连接倾斜角为 45° 、动摩擦因数 μ ＝ 0.6 的足够长粗糙斜面，一质量为 m ＝ 0.5 kg 的小球从 O 点正上方某处 A 点以 v 0 水平抛出，恰好能垂直 OB 从 B 点进入细圆管 ， 小球 从进入圆管开始受到始终竖直向上的 力 F ＝ 5 N 的作用，当小球运动 到圆管的 末端 C 时 作用力 F 立即消失，小球能 平滑地 冲 上粗糙 斜面 .( g ＝ 10 m/s 2 ) 求： 图 10 (1) 小球从 O 点的正上方某处 A 点水平抛出的初速度 v 0 为多少？ OA 的距离为多少 ？ (2) 小球在圆管中运动时对圆管的压力是多少？ (3) 小球在 CD 斜面上运动的最大位移是多少 ？ 答案 [ 思维规范流程 ] 步骤 1 ： 小球 从 A 到 B 点 做 平 抛运动 v B 为平抛 运动 与 圆周运动 的 关联 速度 ( 1) A 到 B ： x ＝ ＝ ① h ＝ ② 在 B 点： tan 45° ＝ ③ 得 ： v 0 ＝ 　 h ＝ ④ | OA | ＝ ＝ ⑤ r ·sin 45° v 0 t 2 m/s 0.2 m h ＋ r ·cos 45° 0.6 m 答案 步骤 2 ：小球 从 B 到 C 点做匀 速圆周运动 (2) 在 B 点： v B ＝ ＝ ⑥ F N ＝ ＝ ⑦ 由牛顿第三定律得： 小球对圆管的压力 F N ′ ＝ F N ＝ ⑧ 答案 步骤 3 ： 小球 由 C 点沿 斜面 上 滑到最高点 ( 3 ) ＝ ma ⑨ a ＝ m/s 2 ⑩ x ＝ ＝ m ⑪ mg sin 45° ＋ μmg cos 45° ⑨ 式 2 分，其余各式 1 分 . 7. 如图 11 所 示，质量为 1 kg 物块自高台上 A 点以 4 m /s 的速度水平抛出后，刚好在 B 点沿切线方向进入半径为 0.5 m 的光滑圆弧轨道运动 . 到达圆弧轨道最底端 C 点后沿粗糙的水平面运动 4.3 m 到达 D 点停下来，已知 OB 与水平面的夹角 θ ＝ 53° ， g ＝ 10 m/ s 2 (sin 53° ＝ 0.8 ， cos 53° ＝ 0.6). 求 ： (1) A 、 B 两点的高度差 ； 解析答案 [ 变式 训练 ] 图 11 解析　 小物块恰好从 B 端沿切线方向进入轨道，据几何关系有： A 到 B 的过程中机械能守恒，得： 联立得： h ＝ 0.45 m 答案　 0.45 m 解析答案 (2) 物块到达 C 点时，物块对轨道的压力； 解析　 小物块由 B 运动到 C ，据动能定理有： 解得 F N ′ ＝ 96 N 根据牛顿第三定律，小物块经过圆弧轨道上 C 点时对轨道的压力 F N 的大小为 96 N . 答案　 96 N 　 返回 解析答案 (3) 物块与水平面间的动摩擦因数 . 解析　 小物块从 C 运动到 D ，据功能关系有： 联立得： μ ＝ 0.5 答案　 0.5