2017年八下数学1.1等腰三角形同步练习（北师大版含答案）.doc

‎ ‎ ‎1.1等腰三角形 一、选择题 ‎1．如图1－22所示，在△ABC中，AB＝AC，点D在AC上，且BD＝BC＝AD，则∠A等于 ( )‎ A．30° B．40° C．45° D．36°‎ ‎2．在等腰梯形ABCD中，∠ABC＝2∠ACB，BD平分∠ABC，AD∥BC，如图1－23所示，则图中的等腰三角形有 ( )‎ ‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎3．如图1－24所示，在 □ ABCD中，已知AD＝‎8cm，AB＝‎6cm，DE平分∠ADC交BC边于点E，则BE等于 ( ) ‎ ‎ A．‎2 cm B．‎4 cm C．‎6 cm D．‎‎8 cm ‎4．下面几种三角形：‎ ‎ ①有两个角为60°的三角形；‎ ‎ ②三个外角都相等的三角形；‎ ‎ ③一条边上的高也是这条边上的中线的三角形；‎ ‎ ④有一个角为60°的等腰三角形．‎ ‎ 其中是等边三角形的有 ( )‎ ‎ A．4个 B．3个 C．2个 D． 1个 二、填空题 ‎5．用反证法证明命题“三角形中至少有一个角大于或等于60°”时，第一步应假设 .‎ ‎6．等腰三角形的顶角α＞90°，如果过其顶角的顶点作一条直线将这个等腰三角形分 成了两个等腰三角形，那么α的度数为 ．‎ 三、解答题 ‎7．如图1－25所示，四边形ABCD的对角线AC与BD相交于O点，∠1＝∠‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2，∠3＝∠4．求证：‎ ‎ (1)△ABC≌△ADC；‎ ‎ (2)BO＝DO．‎ ‎8．文文和彬彬在证明“有两个角相等的三角形是等腰三角形”这一命题时，画出图形， 如图1－26所示，写出已知、求证，她们对各自所作的辅助线描述如下：‎ ‎ 文文：过点A作BC的中垂线AD，垂足为D．‎ ‎ 彬彬：作△ABC的角平分线AD．‎ ‎ 数学老师看了两位同学的辅助线作法后，说：“彬彬的作法是正确的，而文文的作法 需要改正．”‎ ‎ (1)请你简要说明文文的辅助线作法错在哪里；‎ ‎ (2)根据彬彬的辅助线作法，完成证明过程．‎ ‎9．四边形ABCD是正方形．‎ ‎ (1)如图1－27(1)所示，点G是BC边上任意一点(不与B，C两点重合)，连接AG，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E．求证△ABF≌△DAE；‎ ‎ (2)在(1)中，线段EF与AF，BF的等量关系是 ；(不需证明，直接写出结论即可)‎ ‎ (3)如图1－27(2)所示，若点G是CD边上任意一点(不与C，D两点重合)，作BF⊥AG于点F，DE⊥AG于点E，那么图中的全等三角形是 ，线段EF与AF，BF的等量关系是 ．(不需证明，直接写出结论即可)‎ ‎10．如图1－28所示，D为△ABC的边AB的延长线上一点，过D作DF⊥AC，垂足为F，交BC于E，且BD＝BE，求证△ABC是等腰三角形．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎11．如图1－29所示，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，点E在AC上．CE ＝BC，过点E作AC的垂线，交CD的延长线于点F，求证AB＝FC．‎ 参考答案 ‎1．D[提示：本题综合考查三角形内角和定理、外角的性质及等腰三角形的性质．由AD＝BD，得∠A＝∠ABD，∠BDC＝2∠A，由BD＝BC，得∠C＝∠BDC＝2∠A．由AB＝AC，得∠ABC＝∠C＝2∠A，由三角形内角和定理，得∠A+2∠A+2∠A＝180°，即　　　　　∠A＝36°．] ‎ ‎2．D[提示：△ABD，△ACD，△AOD，△BOC都是等腰三角形．] ‎ ‎3．A[提示：由DE平分∠ADC，得∠ADE＝∠CDE，由AD∥BC，得∠ADE＝∠CED，∴∠CED＝∠CDE，∴EC＝DC＝‎6 cm，∴BE＝BC－EC＝8－6＝2(cm)．]‎ ‎4．B［提示：利用等边三角形的判定定理可知①②④为等边三角形，③为等腰三角形．]‎ ‎5．三角形中没有大于或等于60°的角(或三角形的所有内角都小于60°)‎ ‎6．108°[提示：画出图形，利用三角形内角和求解．]‎ ‎7．证明：(1)在△ABC和△ADC中，∵∠1＝∠2，AC＝AC，∠3＝∠4，∴△ABC≌△ADC． (2)由(1)知AB＝AD，又∵∠1＝∠2，AO＝AO，∴△ABO≌△‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ADO，∴OB＝OD．‎ ‎8．解：(1)过点A作BC的垂线，不一定过BC的中点，如果连接点A和BC中点D，则AD与BC不一定垂直． (2)证明：作△ABC的角平分线AD，则∠BAD＝∠CAD，又∵∠B＝∠C，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD，∴AB＝AC．‎ ‎9．(1)证明：在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，∴∠BAF+∠DAE＝90°．在Rt△ABF中，∠BAF+∠ABF＝90°，∴∠ABF＝∠DAE．在△ABF与△DAE中，∠ABF＝∠DAE，∠AFB＝∠DEA＝90°，AB＝DA，∴△ABF≌△DAE(AAS)．(2)EF＝AF－BF (3)△ABF≌△DAE EF＝BF－AF ‎10．证明：∵DF⊥AC，∴∠DFA＝∠EFC＝90°，∴∠A+∠D＝90°，∠C+∠1＝　　　90°，∴∠A+∠D＝∠C+∠1．又∵BD＝BE，∴∠2＝∠D(等边对等角)．又∵∠1＝∠2，∴∠1＝∠D，∴∠A+∠D＝∠C+∠D，∴∠A＝∠C，∴AB＝BC(等角对等边)，∴△ABC是等腰三角形．‎ ‎11．证明：FE⊥AC于点E，∠ACB＝90°，∴∠FEC＝∠ACB＝90°，∴∠F+∠ECF＝90°．又∵CD⊥AB于点D，∴∠A+∠ECF＝90°，∴∠A＝∠F．在△ABC和△FCE中，∠A＝∠F，∠ACB＝∠FEC，BC＝CE，∴△ABC≌△FCE，∴AB＝FC．‎ ‎ ‎