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2016-2017 学年江西省上饶市余干县九年级（上）竞赛数学试卷
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
1．有两个一元二次方程 M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中 a×c≠0，a≠c；以下列四
个结论中错误的是（ ）
A．如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根
B．如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同
C．如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根
D．如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1
2．等腰三角形边长分别为 a，b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+n﹣1=0 的两
根，则 n 的值为
（ ）
A．9 B．10 C．9 或 10 D．8 或 10
3．如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边
BC﹣CD﹣DA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿
着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动．设 P 点运动时间为 x（s），△BPQ 的面积为 y
（cm2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ）
A． B． C．
D．
4．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，
且 OA=OC．则下列结论：
①abc＜0；② ＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣ ．
其中正确结论的个数是（ ）第 2 页（共 24 页）
A．4 B．3 C．2 D．1
5．某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
6．如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝
形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
7．如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP≤2，则弦 AB
所对的圆周角的度数是（ ）
A．60° B．120° C．60°或 120° D．30°或 150°
8．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线 l：y=kx+4
与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，∠OAB=30°，点 P 在 x 轴上，⊙P 与 l 相切，当 P 在线段 OA
上运动时，使得⊙P 成为整圆的点 P 个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
第 3 页（共 24 页）
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
9．关于 x 的一元二次方程 ax2﹣3x﹣1=0 的两个不相等的实数根都在﹣1 和 0 之间（不包括
﹣1 和 0），则 a 的取值范围是 ．
10．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2﹣2x+2 上运动．过点 A 作 AC⊥x 轴
于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为 ．
11．如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=60°，扇形半径为 r，点 C 在 上，CD⊥OA，垂足为
D，当△OCD 的面积最大时， 的长为 ．
12．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如
图所示的三处各留 1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，则能
建成的饲养室面积最大为 m2．
13．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点 P 在以 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结
PA，PB．若 PB=4，则 PA 的长为 ．
14．如图，一块直角三角板 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是
58°，则∠ACD 的度数为 ．
15．如图，两个同心圆，大圆半径为 5cm，小圆的半径为 3cm，若大圆的弦 AB 与小圆相交，
则弦 AB 的取值范围是 ．第 4 页（共 24 页）
16．关于 x 的方程 mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当 m=0 时，方程只有一个实数解；
②当 m≠0 时，方程有两个不等的实数解；③无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中
正确的是 （填序号）．
三、（本大题共小题，共 56 分）
17．⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图 1，图 2 中画出
一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图 1，AC=BC；
（2）如图 2，直线 l 与⊙O 相切于点 P，且 l∥BC．
18．已知如图，以 Rt△ABC 的 AC 边为直径作⊙O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长交 BC
的延长线于点 D，点 F 为 BC 的中点，连接 EF．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 3，∠EAC=60°，求 AD 的长．
19．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + ）．
令 + + =t，则
原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2
=
问题：
（1）计算
（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣
﹣…﹣ ﹣ ）×（ + + +…+ ）；第 5 页（共 24 页）
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
20．抛物线 y=ax2+bx+c，若 a，b，c 满足 b=a+c，则称抛物线 y=ax2+bx+c 为“恒定”抛物
线．
（1）求证：“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c 必过 x 轴上的一个定点 A；
（2）已知“恒定”抛物线 y= x2﹣ 的顶点为 P，与 x 轴另一个交点为 B，是否存在以 Q
为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线，使得以 PA，CQ 为边的四边形是平行四
边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
21．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m．按照图中所
示的直角坐标系，抛物线可以用 y=﹣ x2+bx+c 表示，且抛物线的点 C 到墙面 OB 的水平距
离为 3m 时，到地面 OA 的距离为 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向行车道，那
么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度
不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
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2016-2017 学年江西省上饶市余干县九年级（上）竞赛数
学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
1．有两个一元二次方程 M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中 a×c≠0，a≠c；以下列四
个结论中错误的是（ ）
A．如果方程 M 有两个不相等的实数根，那么方程 N 也有两个不相等的实数根
B．如果方程 M 有两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同
C．如果 5 是方程 M 的一个根，那么 是方程 N 的一个根
D．如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么这个根必是 x=1
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断 B；利用一元二次方程的解的定
义判断 C 与 D
【解答】解：A、如果方程 M 有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程 N 也有
两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程 M 的两根符号相同，那么方程 N 的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0， ＞
0，所以 a 与 c 符号相同， ＞0，所以方程 N 的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果 5 是方程 M 的一个根，那么 25a+5b+c=0，两边同时除以 25，得 c+ b+a=0，所
以 是方程 N 的一个根，结论正确，不符合题意；
D、如果方程 M 和方程 N 有一个相同的根，那么 ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由
a≠c，得 x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D
2．等腰三角形边长分别为 a，b，2，且 a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+n﹣1=0 的两
根，则 n 的值为
（ ）
A．9 B．10 C．9 或 10 D．8 或 10
【考点】根的判别式；一元二次方程的解；等腰直角三角形．
【分析】由三角形是等腰三角形，得到①a=2，或 b=2，②a=b①当 a=2，或 b=2 时，得到
方程的根 x=2，把 x=2 代入 x2﹣6x+n﹣1=0 即可得到结果；②当 a=b 时，方程 x2﹣6x+n﹣1=0
有两个相等的实数根，由△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0 可的结果．
【解答】解：∵三角形是等腰三角形，
∴①a=2，或 b=2，②a=b 两种情况，
①当 a=2，或 b=2 时，
∵a，b 是关于 x 的一元二次方程 x2﹣6x+n﹣1=0 的两根，第 7 页（共 24 页）
∴x=2，
把 x=2 代入 x2﹣6x+n﹣1=0 得，22﹣6×2+n﹣1=0，
解得：n=9，
当 n=9，方程的两根是 2 和 4，而 2，4，2 不能组成三角形，
故 n=9 不合题意，
②当 a=b 时，方程 x2﹣6x+n﹣1=0 有两个相等的实数根，
∴△=（﹣6）2﹣4（n﹣1）=0
解得：n=10，
故选 B．
3．如图，正方形 ABCD 的边长为 3cm，动点 P 从 B 点出发以 3cm/s 的速度沿着边
BC﹣CD﹣DA 运动，到达 A 点停止运动；另一动点 Q 同时从 B 点出发，以 1cm/s 的速度沿
着边 BA 向 A 点运动，到达 A 点停止运动．设 P 点运动时间为 x（s），△BPQ 的面积为 y
（cm2），则 y 关于 x 的函数图象是（ ）
A． B． C．
D．
【考点】动点问题的函数图象．
【分析】首先根据正方形的边长与动点P、Q 的速度可知动点 Q 始终在 AB 边上，而动点 P
可以在 BC 边、CD 边、AD 边上，再分三种情况进行讨论：①0≤x≤1；②1＜x≤2；③2
＜x≤3；分别求出 y 关于 x 的函数解析式，然后根据函数的图象与性质即可求解．
【解答】解：由题意可得 BQ=x．
①0≤x≤1 时，P 点在 BC 边上，BP=3x，
则△BPQ 的面积= BP•BQ，
解 y= •3x•x= x2；故 A 选项错误；
②1＜x≤2 时，P 点在 CD 边上，
则△BPQ 的面积= BQ•BC，第 8 页（共 24 页）
解 y= •x•3= x；故 B 选项错误；
③2＜x≤3 时，P 点在 AD 边上，AP=9﹣3x，
则△BPQ 的面积= AP•BQ，
解 y= •（9﹣3x）•x= x﹣ x2；故 D 选项错误．
故选：C．
4．如图，二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，与 y 轴交于点 C，
且 OA=OC．则下列结论：
①abc＜0；② ＞0；③ac﹣b+1=0；④OA•OB=﹣ ．
其中正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线开口方向得 a＜0，由抛物线的对称轴位置可得 b＞0，由抛物线与 y 轴的
交点位置可得 c＞0，则可对①进行判断；根据抛物线与 x 轴的交点个数得到 b2﹣4ac＞0，
加上 a＜0，则可对②进行判断；利用 OA=OC 可得到 A（﹣c，0），再把 A（﹣c，0）代入
y=ax2+bx+c 得 ac2﹣bc+c=0，两边除以 c 则可对③进行判断；设 A（x1，0），B（x2，0），
则 OA=﹣x1，OB=x2，根据抛物线与 x 轴的交点问题得到 x1 和 x2 是方程 ax2+bx+c=0（a≠
0）的两根，利用根与系数的关系得到 x1•x2= ，于是 OA•OB=﹣ ，则可对④进行判
断．
【解答】解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线的对称轴在 y 轴的右侧，
∴b＞0，
∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵抛物线与 x 轴有 2 个交点，
∴△=b2﹣4ac＞0，
而 a＜0，
∴ ＜0，所以②错误；第 9 页（共 24 页）
∵C（0，c），OA=OC，
∴A（﹣c，0），
把 A（﹣c，0）代入 y=ax2+bx+c 得 ac2﹣bc+c=0，
∴ac﹣b+1=0，所以③正确；
设 A（x1，0），B（x2，0），
∵二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0）的图象与 x 轴交于 A，B 两点，
∴x1 和 x2 是方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的两根，
∴x1•x2= ，
∴OA•OB=﹣ ，所以④正确．
故选：B．
5．某同学在用描点法画二次函数 y=ax2+bx+c 的图象时，列出了下面的表格：
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 …
y … ﹣11 ﹣2 1 ﹣2 ﹣5 …
由于粗心，他算错了其中一个 y 值，则这个错误的数值是（ ）
A．﹣11 B．﹣2 C．1 D．﹣5
【考点】二次函数的图象．
【分析】根据关于对称轴对称的自变量对应的函数值相等，可得答案．
【解答】解：由函数图象关于对称轴对称，得
（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）在函数图象上，
把（﹣1，﹣2），（0，1），（1，﹣2）代入函数解析式，得
，
解得 ，
函数解析式为 y=﹣3x2+1
x=2 时 y=﹣11，
故选：D．
6．如图，有一块边长为 6cm 的正三角形纸板，在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝
形，再沿图中的虚线折起，做成一个无盖的直三棱柱纸盒，则该纸盒侧面积的最大值是（ ）第 10 页（共 24 页）
A． cm2 B． cm2 C． cm2 D． cm2
【考点】二次函数的应用；展开图折叠成几何体；等边三角形的性质．
【分析】如图，由等边三角形的性质可以得出∠A=∠B=∠C=60°，由三个筝形全等就可以
得出 AD=BE=BF=CG=CH=AK，根据折叠后是一个三棱柱就可以得出
DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 为矩形，且全
等．连结 AO 证明△AOD≌△AOK 就可以得出∠OAD=∠OAK=30°，设 OD=x，则 AO=2x，
由勾股定理就可以求出 AD= x，由矩形的面积公式就可以表示纸盒的侧面积，由二次函
数的性质就可以求出结论．
【解答】解：∵△ABC 为等边三角形，
∴∠A=∠B=∠C=60°，AB=BC=AC．
∵筝形 ADOK≌筝形 BEPF≌筝形 AGQH，
∴AD=BE=BF=CG=CH=AK．
∵折叠后是一个三棱柱，
∴DO=PE=PF=QG=QH=OK，四边形 ODEP、四边形 PFGQ、四边形 QHKO 都为矩形．
∴∠ADO=∠AKO=90°．
连结 AO，
在 Rt△AOD 和 Rt△AOK 中，
，
∴Rt△AOD≌Rt△AOK（HL）．
∴∠OAD=∠OAK=30°．
设 OD=x，则 AO=2x，由勾股定理就可以求出 AD= x，
∴DE=6﹣2 x，
∴纸盒侧面积=3x（6﹣2 x）=﹣6 x2+18x，
=﹣6 （x﹣ ）2+ ，
∴当 x= 时，纸盒侧面积最大为 ．
故选 C．
7．如图，⊙O 的半径是 2，AB 是⊙O 的弦，点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP≤2，则弦 AB
所对的圆周角的度数是（ ）第 11 页（共 24 页）
A．60° B．120° C．60°或 120° D．30°或 150°
【考点】圆周角定理；含 30 度角的直角三角形；垂径定理．
【分析】作 OD⊥AB，如图，利用垂线段最短得 OD=1，则根据含 30 度的直角三角形三边
的关系得∠OAB=30°，根据三角形内角和定理可计算出∠AOB=120°，则可根据圆周角定理
得到∠AEB= ∠AOB=60°，根据圆内接四边形的性质得∠F=120°，所以弦 AB 所对的圆周
角的度数为 60°或 120°．
【解答】解：作 OD⊥AB，如图，
∵点 P 是弦 AB 上的动点，且 1≤OP≤2，
∴OD=1，
∴∠OAB=30°，
∴∠AOB=120°，
∴∠AEB= ∠AOB=60°，
∵∠E+∠F=180°，
∴∠F=120°，
即弦 AB 所对的圆周角的度数为 60°或 120°．
故选 C．
8．我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为“整圆”．如图，直线 l：y=kx+4
与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，∠OAB=30°，点 P 在 x 轴上，⊙P 与 l 相切，当 P 在线段 OA
上运动时，使得⊙P 成为整圆的点 P 个数是（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【考点】切线的性质；一次函数图象上点的坐标特征．第 12 页（共 24 页）
【分析】根据直线的解析式求得OB=4 ，进而求得 OA=12，根据切线的性质求得 PM⊥AB，
根据∠OAB=30°，求得 PM= PA，然后根据“整圆”的定义，即可求得使得⊙P 成为整圆的
点 P 的坐标，从而求得点 P 个数．
【解答】解：∵直线 l：y=kx+4 与 x 轴、y 轴分别交于 A、B，
∴B（0，4 ），
∴OB=4 ，
在 RT△AOB 中，∠OAB=30°，
∴OA= OB= × =12，
∵⊙P 与 l 相切，设切点为 M，连接 PM，则 PM⊥AB，
∴PM= PA，
设 P（x，0），
∴PA=12﹣x，
∴⊙P 的半径 PM= PA=6﹣ x，
∵x 为整数，PM 为整数，
∴x 可以取 0，2，4，6，8，10，6 个数，
∴使得⊙P 成为整圆的点 P 个数是 6．
故选：A．
二、填空题（本大题共 8 小题，每小题 4 分，满分 32 分）
9．关于 x 的一元二次方程 ax2﹣3x﹣1=0 的两个不相等的实数根都在﹣1 和 0 之间（不包括
﹣1 和 0），则 a 的取值范围是 ＜a＜﹣2 ．
【考点】抛物线与 x 轴的交点．
【分析】首先根据根的情况利用根的判别式解得a 的取值范围，然后根据根两个不相等的实
数根都在﹣1 和 0 之间（不包括﹣1 和 0），结合函数图象确定其函数值的取值范围得 a，易
得 a 的取值范围．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 ax2﹣3x﹣1=0 的两个不相等的实数根
∴△=（﹣3）2﹣4×a×（﹣1）＞0，
解得：a＞
设 f（x）=ax2﹣3x﹣1，如图，
∵实数根都在﹣1 和 0 之间，
∴﹣1 ，第 13 页（共 24 页）
∴a ，
且有 f（﹣1）＜0，f（0）＜0，
即 f（﹣1）=a×（﹣1）2﹣3×（﹣1）﹣1＜0，f（0）=﹣1＜0，
解得：a＜﹣2，
∴ ＜a＜﹣2，
故答案为： ＜a＜﹣2．
10．如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线 y=x2﹣2x+2 上运动．过点 A 作 AC⊥x 轴
于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，连结 BD，则对角线 BD 的最小值为 1 ．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征；垂线段最短；矩形的性质．
【分析】先利用配方法得到抛物线的顶点坐标为（1，1），再根据矩形的性质得 BD=AC，
由于 AC 的长等于点 A 的纵坐标，所以当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，
最小值为 1，从而得到 BD 的最小值．
【解答】解：∵y=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（1，1），
∵四边形 ABCD 为矩形，
∴BD=AC，
而 AC⊥x 轴，
∴AC 的长等于点 A 的纵坐标，
当点 A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为 1，
∴对角线 BD 的最小值为 1．
故答案为 1．
11．如图，在扇形 OAB 中，∠AOB=60°，扇形半径为 r，点 C 在 上，CD⊥OA，垂足为
D，当△OCD 的面积最大时， 的长为 ．第 14 页（共 24 页）
【考点】垂径定理；弧长的计算；解直角三角形．
【分析】由 OC=r，点 C 在 上，CD⊥OA，利用勾股定理可得 DC 的长，求出 OD=
时△OCD 的面积最大，∠COA=45°时，利用弧长公示得到答案．
【解答】解：∵OC=r，点 C 在 上，CD⊥OA，
∴DC= = ，
∴S△OCD= OD• ，
∴S△OCD2= OD2•（r2﹣OD2）=﹣ OD4+ r2OD2=﹣ （OD2﹣ ）2+
∴当 OD2= ，即 OD= r 时△OCD 的面积最大，
∴∠OCD=45°，
∴∠COA=45°，
∴ 的长为： = πr，
故答案为： ．
12．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如
图所示的三处各留 1m 宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为 27m，则能
建成的饲养室面积最大为 75 m2．
【考点】二次函数的应用．
【分析】设垂直于墙的材料长为x 米，则平行于墙的材料长为 27+3﹣3x=30﹣3x，表示出总
面积 S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75 即可求得面积的最值．
【解答】解：设垂直于墙的材料长为 x 米，
则平行于墙的材料长为 27+3﹣3x=30﹣3x，
则总面积 S=x（30﹣3x）=﹣3x2+30x=﹣3（x﹣5）2+75，
故饲养室的最大面积为 75 平方米，
故答案为：75．
第 15 页（共 24 页）
13．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，点 P 在以 C 为圆心，5 为半径的圆上，连结
PA，PB．若 PB=4，则 PA 的长为 3 或 ．
【考点】点与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．
【分析】连结 CP，PB 的延长线交⊙C 于 P′，如图，先计算出 CB2+PB2=CP2，则根据勾股
定理的逆定理得∠CBP=90°，再根据垂径定理得到 PB=P′B=4，接着证明四边形 ACBP 为矩
形，则 PA=BC=3，然后在 Rt△APP′中利用勾股定理计算出 P′A= ，从而得到满足条件的
PA 的长为 3 或 ．
【解答】解：连结 CP，PB 的延长线交⊙C 于 P′，如图，
∵CP=5，CB=3，PB=4，
∴CB2+PB2=CP2，
∴△CPB 为直角三角形，∠CBP=90°，
∴CB⊥PB，
∴PB=P′B=4，
∵∠C=90°，
∴PB∥AC，
而 PB=AC=4，
∴四边形 ACBP 为矩形，
∴PA=BC=3，
在 Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，
∴P′A= = ，
∴PA 的长为 3 或 ．
故答案为 3 或 ．
14．如图，一块直角三角板 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，点 D 对应的刻度是
58°，则∠ACD 的度数为 61° ．
【考点】圆周角定理．
【分析】首先连接 OD，由直角三角板 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，可得点
A，B，C，D 共圆，又由点 D 对应的刻度是 58°，利用圆周角定理求解即可求得∠BCD 的
度数，继而求得答案．第 16 页（共 24 页）
【解答】解：连接 OD，
∵直角三角板 ABC 的斜边 AB 与量角器的直径恰好重合，
∴点 A，B，C，D 共圆，
∵点 D 对应的刻度是 58°，
∴∠BOD=58°，
∴∠BCD= ∠BOD=29°，
∴∠ACD=90°﹣∠BCD=61°．
故答案为：61°．
15．如图，两个同心圆，大圆半径为 5cm，小圆的半径为 3cm，若大圆的弦 AB 与小圆相交，
则弦 AB 的取值范围是 8＜AB≤10 ．
【考点】直线与圆的位置关系；勾股定理；垂径定理．
【分析】解决此题首先要弄清楚AB 在什么时候最大，什么时候最小．当 AB 与小圆相切时
有一个公共点，此时可知 AB 最小；当 AB 经过同心圆的圆心时，弦 AB 最大且与小圆相交
有两个公共点，此时 AB 最大，由此可以确定所以 AB 的取值范围．
【解答】
解：如图，当 AB 与小圆相切时有一个公共点 D，
连接 OA，OD，可得 OD⊥AB，
∴D 为 AB 的中点，即 AD=BD，
在 Rt△ADO 中，OD=3，OA=5，
∴AD=4，
∴AB=2AD=8；
当 AB 经过同心圆的圆心时，弦 AB 最大且与小圆相交有两个公共点，
此时 AB=10，
所以 AB 的取值范围是 8＜AB≤10．
故答案为：8＜AB≤10
第 17 页（共 24 页）
16．关于 x 的方程 mx2+x﹣m+1=0，有以下三个结论：①当 m=0 时，方程只有一个实数解；
②当 m≠0 时，方程有两个不等的实数解；③无论 m 取何值，方程都有一个负数解，其中
正确的是 ①③ （填序号）．
【考点】根的判别式；一元一次方程的解．
【分析】分别讨论 m=0 和 m≠0 时方程 mx2+x﹣m+1=0 根的情况，进而填空．
【解答】解：当 m=0 时，x=﹣1，方程只有一个解，①正确；
当 m≠0 时，方程 mx2+x﹣m+1=0 是一元二次方程，△=1﹣4m（1﹣m）=1﹣4m+4m2=
（2m﹣1）2≥0，方程有两个实数解，②错误；
把 mx2+x﹣m+1=0 分解为（x+1）（mx﹣m+1）=0，
当 x=﹣1 时，m﹣1﹣m+1=0，即 x=﹣1 是方程 mx2+x﹣m+1=0 的根，③正确；
故答案为①③．
三、（本大题共小题，共 56 分）
17．⊙O 为△ABC 的外接圆，请仅用无刻度的直尺，根据下列条件分别在图 1，图 2 中画出
一条弦，使这条弦将△ABC 分成面积相等的两部分（保留作图痕迹，不写作法）．
（1）如图 1，AC=BC；
（2）如图 2，直线 l 与⊙O 相切于点 P，且 l∥BC．
【考点】作图—复杂作图；三角形的外接圆与外心；切线的性质．
【分析】（1）过点 C 作直径 CD，由于 AC=BC， = ，根据垂径定理的推理得 CD 垂直
平分 AB，所以 CD 将△ABC 分成面积相等的两部分；
（2）连结 PO 并延长交 BC 于 E，过点 A、E 作弦 AD，由于直线 l 与⊙O 相切于点 P，根
据切线的性质得 OP⊥l，而 l∥BC，则 PE⊥BC，根据垂径定理得 BE=CE，所以弦 AE 将△
ABC 分成面积相等的两部分．
【解答】解：（1）如图 1，
直径 CD 为所求；
（2）如图 2，
弦 AD 为所求．
第 18 页（共 24 页）
18．已知如图，以 Rt△ABC 的 AC 边为直径作⊙O 交斜边 AB 于点 E，连接 EO 并延长交 BC
的延长线于点 D，点 F 为 BC 的中点，连接 EF．
（1）求证：EF 是⊙O 的切线；
（2）若⊙O 的半径为 3，∠EAC=60°，求 AD 的长．
【考点】切线的判定．
【分析】（1）连接 FO，由 F 为 BC 的中点，AO=CO，得到 OF∥AB，由于 AC 是⊙O 的直
径，得出 CE⊥AE，根据 OF∥AB，得出 OF⊥CE，于是得到 OF 所在直线垂直平分 CE，推
出 FC=FE，OE=OC，再由∠ACB=90°，即可得到结论．
（2）证出△AOE 是等边三角形，得到∠EOA=60°，再由直角三角形的性质即可得到结
果．
【解答】证明：（1）如图 1，连接 FO，
∵F 为 BC 的中点，AO=CO，
∴OF∥AB，
∵AC 是⊙O 的直径，
∴CE⊥AE，
∵OF∥AB，
∴OF⊥CE，
∴OF 所在直线垂直平分 CE，
∴FC=FE，OE=OC，
∴∠FEC=∠FCE，∠0EC=∠0CE，
∵∠ACB=90°，
即：∠0CE+∠FCE=90°，
∴∠0EC+∠FEC=90°，
即：∠FEO=90°，
∴FE 为⊙O 的切线；
（2）如图 2，∵⊙O 的半径为 3，
∴AO=CO=EO=3，
∵∠EAC=60°，OA=OE，
∴∠EOA=60°，
∴∠COD=∠EOA=60°，
∵在 Rt△OCD 中，∠COD=60°，OC=3，
∴CD= ，
∵在 Rt△ACD 中，∠ACD=90°，
CD= ，AC=6，
∴AD= ．第 19 页（共 24 页）
19．阅读下列材料，并用相关的思想方法解决问题．
计算：（1﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣ ）×（ + + ）．
令 + + =t，则
原式=（1﹣t）（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣ t+t2
=
问题：
（1）计算
（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣…﹣ ）×（ + + + +…+ + ）﹣（1﹣ ﹣ ﹣ ﹣
﹣…﹣ ﹣ ）×（ + + +…+ ）；
（2）解方程（x2+5x+1）（x2+5x+7）=7．
【考点】换元法解一元二次方程；有理数的混合运算．
【分析】（1）设 + +…+ =t，则原式=（1﹣t）×（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）×t，
进行计算即可；
（2）设 x2+5x+1=t，则原方程化为：t（t+6）=7，求出 t 的值，再解一元二次方程即可．
【解答】解：（1）设 + +…+ =t，
则原式=（1﹣t）×（t+ ）﹣（1﹣t﹣ ）×t
=t+ ﹣t2﹣ t﹣t+t2+ t
= ；
（2）设 x2+5x+1=t，第 20 页（共 24 页）
则原方程化为：t（t+6）=7，
t2+6t﹣7=0，
解得：t=﹣7 或 1，
当 t=1 时，x2+5x+1=1，
x2+5x=0，
x（x+5）=0，
x=0，x+5=0，
x1=0，x2=﹣5；
当 t=﹣7 时，x2+5x+1=﹣7，
x2+5x+8=0，
b2﹣4ac=52﹣4×1×8＜0，
此时方程无解；
即原方程的解为：x1=0，x2=﹣5．
20．抛物线 y=ax2+bx+c，若 a，b，c 满足 b=a+c，则称抛物线 y=ax2+bx+c 为“恒定”抛物
线．
（1）求证：“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c 必过 x 轴上的一个定点 A；
（2）已知“恒定”抛物线 y= x2﹣ 的顶点为 P，与 x 轴另一个交点为 B，是否存在以 Q
为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线，使得以 PA，CQ 为边的四边形是平行四
边形？若存在，求出抛物线解析式；若不存在，请说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）由“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c，得到 b=a+c，即 a﹣b+c=0，即可确定出抛物线恒
过定点（﹣1，0）；
（2）先求出抛物线 y= x2﹣ 的顶点坐标和 B 的坐标，由题意得出 PA∥CQ，PA=CQ；
存在两种情况：
①作 QM⊥AC 于 M，则 QM=OP= ，证明 Rt△QMC≌Rt△POA，MC=OA=1，得出点 Q
的坐标，设抛物线的解析式为 y=a（x+2）2﹣ ，把点 A 坐标代入求出 a 的值即可；
②顶点 Q 在 y 轴上，此时点 C 与点 B 重合；证明△OQC≌△OPA，得出 OQ=OP= ，得
出点 Q 坐标，设抛物线的解析式为 y=ax2+ ，把点 C 坐标代入求出 a 的值即可．
【解答】（1）证明：由“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c，
得：b=a+c，
即 a﹣b+c=0，
∵抛物线 y=ax2+bx+c，
当 x=﹣1 时，y=0，
∴“恒定”抛物线 y=ax2+bx+c 必过 x 轴上的一个定点 A（﹣1，0）；
（2）解：存在；理由如下：
∵“恒定”抛物线 y= x2﹣ ，
当 y=0 时， x2﹣ =0，
解得：x=±1，
∵A（﹣1，0），
∴B（1，0）；
∵x=0 时，y=﹣ ，
∴顶点 P 的坐标为（0，﹣ ），
以 PA，CQ 为边的平行四边形，PA、CQ 是对边，第 21 页（共 24 页）
∴PA∥CQ，PA=CQ，
∴存在两种情况：
①如图 1 所示：作 QM⊥AC 于 M，
则 QM=OP= ，∠QMC=90°=∠POA，
在 Rt△QMC 和 Rt△POA 中，
，
∴Rt△QMC≌Rt△POA（HL），
∴MC=OA=1，
∴OM=2，
∵点 A 和点 C 是抛物线上的对称点，
∴AM=MC=1，
∴点 Q 的坐标为（﹣2，﹣ ），
设以 Q 为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线的解析式为 y=a（x+2）2﹣ ，
把点 A（﹣1，0）代入得：a= ，
∴抛物线的解析式为：y= （x+2）2﹣ ，
即 y═ x2+4 x+3 ；
②如图 2 所示：顶点 Q 在 y 轴上，此时点 C 与点 B 重合，
∴点 C 坐标为（1，0），
∵CQ∥PA，
∴∠OQC=∠OPA，
在△OQC 和△OPA 中，
，
∴△OQC≌△OPA（AAS），
∴OQ=OP= ，
∴点 Q 坐标为（0， ），
设以 Q 为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线的解析式为 y=ax2+ ，
把点 C（1，0）代入得：a=﹣ ，
∴抛物线的解析式为：y=﹣ x2+ ；
综上所述：存在以 Q 为顶点，与 x 轴另一个交点为 C 的“恒定”抛物线，使得以 PA，CQ 为
边的四边形是平行四边形，
抛物线的解析式为：y= x2+4 x+3 ，或 y=﹣ x2+ ．第 22 页（共 24 页）
21．如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是 12m，宽是 4m．按照图中所
示的直角坐标系，抛物线可以用 y=﹣ x2+bx+c 表示，且抛物线的点 C 到墙面 OB 的水平距
离为 3m 时，到地面 OA 的距离为 m．
（1）求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶 D 到地面 OA 的距离；
（2）一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为 6m，宽为 4m，如果隧道内设双向行车道，那
么这辆货车能否安全通过？
（3）在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度
不超过 8m，那么两排灯的水平距离最小是多少米？
【考点】二次函数的应用．
【分析】（1）先确定 B 点和 C 点坐标，然后利用待定系数法求出抛物线解析式，再利用配
方法确定顶点 D 的坐标，从而得到点 D 到地面 OA 的距离；
（2）由于抛物线的对称轴为直线 x=6，而隧道内设双向行车道，车宽为 4m，则货运汽车最
外侧与地面 OA 的交点为（2，0）或（10，0），然后计算自变量为 2 或 10 的函数值，再把
函数值与 6 进行大小比较即可判断；
（3）抛物线开口向下，函数值越大，对称点之间的距离越小，于是计算函数值为 8 所对应
的自变量的值即可得到两排灯的水平距离最小值．
【解答】解：（1）根据题意得 B（0，4），C（3， ），
把 B（0，4），C（3， ）代入 y=﹣ x2+bx+c 得 ，第 23 页（共 24 页）
解得 ．
所以抛物线解析式为 y=﹣ x2+2x+4，
则 y=﹣ （x﹣6）2+10，
所以 D（6，10），
所以拱顶 D 到地面 OA 的距离为 10m；
（2）由题意得货运汽车最外侧与地面 OA 的交点为（2，0）或（10，0），
当 x=2 或 x=10 时，y= ＞6，
所以这辆货车能安全通过；
（3）令 y=8，则﹣ （x﹣6）2+10=8，解得 x1=6+2 ，x2=6﹣2 ，
则 x1﹣x2=4 ，
所以两排灯的水平距离最小是 4 m．
第 24 页（共 24 页）
2016 年 12 月 22 日
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