保定市2015-2016学年八年级下期末数学试卷含答案解析.doc

第 1 页（共 19 页） 2015-2016 学年河北省保定市八年级（下）期末数学试卷 　 一、选择题 1．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2 2． 等于（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2 3．如图，在等边△ABC 中，点 D、E 分别为 AB、AC 的中点，则∠ADE 的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 4．下面哪个点在函数 y=2x+3 的图象上（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，0） D．（2，1） 5．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y=3x2﹣4x+1 B．y= C．y=5x﹣7 D．y= 6．一组数据 3，7，9，3，4 的众数与中位数分别是（　　） A．3，9 B．3，3 C．3，4 D．4，7 7．当 1＜a＜2 时，代数式 +|a﹣1|的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a 8．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对应边分别为 a，b，c，若∠A+∠C=90°，则（　　） A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．a=c 9．平行四边形的对角线一定具有的性质是（　　） A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 10．如图，四边形 ABCD 的对角线为 AC、BD，且 AC=BD，则下列条件能判定四边形 ABCD 为矩形的是（　　） A．BA=BC B．AC、BD 互相平分 C．AC⊥BD D．AB∥CD 11．如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，∠ADC=120°，则菱形 ABCD 的面积是（　　）第 2 页（共 19 页） A．18 B．36 C． D． 12．下列命题正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 13．一组数据 6、4、a、3、2 的平均数是 4，则这组数据的方差为（　　） A．0 B．2 C． D．10 14．如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于 F，则∠CFE 为（　　） A．145° B．120° C．115° D．105° 15．已知一次函数 y=kx+b 的函数值 y 随 x 的增大而增大，且其图象与 y 轴的负半轴相交， 则对 k 和 b 的符号判断正确的是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 16．小亮家与姥姥家相距 24km，小亮 8：00 从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈 8：30 从 家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程 s（km） 与北京时间 t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到下列结论，其中错误的是（　　） A．小亮骑自行车的平均速度是 10km/h B．妈妈比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家 C．妈妈在距家 12km 处追上小亮 D．9：00 妈妈追上小亮 　 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 17．将函数 y=﹣3x﹣2 的图象沿 y 轴方向向上平移 6 个单位长度后，所得图象对应的函数 解析式是　　．第 3 页（共 19 页） 18．已知一次函数的图象经过两点 A（1，1），B（3，﹣1），则这个函数的解析式 是　　． 19．如图，直线 y=kx+b 交坐标轴于 A、B 两点，则不等式 kx+b＜0 的解集是　　． 20．如图，函数 y=﹣ x﹣ 和 y=2x+3 的图象交于点 P，则根据图象可得，二元一次方程组 的解是　　． 　 三、解答题 21．计算： （1）5 + ； （2） ÷ × ． 22．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（cm）与燃烧时间 x（h）之间 为一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求出蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间． 23．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，D 为 AB 边上一 点． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）若 AD=6，BD=8，求 ED 的长．第 4 页（共 19 页） 24．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考 核，三人各项得分如表： 笔试 面试 体能 甲 84 78 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序． （2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于 80 分，80 分，70 分，并按 50%， 30%，20%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用． 25．随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市市民生活用水 按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中 x 表示人均月生活用 水的吨数，y 表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题： （1）该市人均月生活用水不超过 6 吨时，求 y 与 x 的函数解析式； （2）该市人均月生活用水超过 6 吨时，求 y 与 x 的函数关系式； （3）若某个家庭有 5 人，六月份的生活用水费共 75 元，则该家庭这个月人均用了多少吨生 活用水？ 26．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向 点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D、E 运动的时 间是 t 秒（0＜t≤25）．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF． （1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由； （3）当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．第 5 页（共 19 页） 　第 6 页（共 19 页） 2015-2016 学年河北省保定市八年级（下）期末数学试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．函数 y= 中，自变量 x 的取值范围是（　　） A．x＞2 B．x＜2 C．x≥﹣2 D．x≤﹣2 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据被开方数大于等于 0 列不等式求解即可． 【解答】解：由题意得，x+2≥0， 解得 x≥﹣2． 故选 C． 　 2． 等于（　　） A．﹣4 B．4 C．2 D．﹣2 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】先将根号下面的式子化简，再根据算术平方根的概念求值即可． 【解答】解：原式= =4， 故选 B． 　 3．如图，在等边△ABC 中，点 D、E 分别为 AB、AC 的中点，则∠ADE 的度数是（　　） A．30° B．60° C．120° D．150° 【考点】三角形中位线定理；等边三角形的性质． 【分析】根据三角形中位线定理得到 DE∥BC，根据平行线的性质解答即可． 【解答】解：∵D、E 分别是 AB、AC 的中点， ∴DE∥BC， ∴∠ADE=∠B=60°， 故选：B 　 4．下面哪个点在函数 y=2x+3 的图象上（　　） A．（﹣2，﹣1） B．（﹣2，1） C．（﹣2，0） D．（2，1） 【考点】一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】将 x=2 代入一次函数解析式中求出 y 值即可得出结论． 【解答】解：当 x=﹣2 时，y=2×（﹣2）+3=﹣1． 故选 A． 　第 7 页（共 19 页） 5．下列函数中，是正比例函数的是（　　） A．y=3x2﹣4x+1 B．y= C．y=5x﹣7 D．y= 【考点】正比例函数的定义． 【分析】依据正比例函数、反比例函数、二次函数、一次函数的定义解答即可． 【解答】解：A、y=3x2﹣4x+1 是二次函数，故 A 错误； B、y= 是反比例函数，故 B 错误； C、y=5x﹣7 是一次函数，故 C 错误； D、y= 是正比例函数，故 D 正确；． 故选：D． 　 6．一组数据 3，7，9，3，4 的众数与中位数分别是（　　） A．3，9 B．3，3 C．3，4 D．4，7 【考点】众数；中位数． 【分析】根据众数和中位数的定义求解可得． 【解答】解：将数据重新排列为 3，3，4，7，9， ∴众数为 3，中位数为 4， 故选：C． 　 7．当 1＜a＜2 时，代数式 +|a﹣1|的值是（　　） A．1 B．﹣1 C．2a﹣3 D．3﹣2a 【考点】二次根式的性质与化简． 【分析】结合二次根式的性质进行求解即可． 【解答】解：∵1＜a＜2， ∴ =|a﹣2|=﹣（a﹣2）， |a﹣1|=a﹣1， ∴ +|a﹣1|=﹣（a﹣2）+（a﹣1）=2﹣1=1． 故选 A． 　 8．在△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对应边分别为 a，b，c，若∠A+∠C=90°，则（　　） A．a2+b2=c2 B．a2+c2=b2 C．b2+c2=a2 D．a=c 【考点】勾股定理． 【分析】结合三角形内角和定理得到∠B=90°，所以由勾股定理可以直接得到答案． 【解答】解：∵在△ABC 中，∠A+∠C=90°， ∴∠B=90°， ∴a2+c2=b2． 故选：B． 　 9．平行四边形的对角线一定具有的性质是（　　）第 8 页（共 19 页） A．相等 B．互相平分 C．互相垂直 D．互相垂直且相等 【考点】平行四边形的性质． 【分析】根据平行四边形的对角线互相平分可得答案． 【解答】解：平行四边形的对角线互相平分， 故选：B． 　 10．如图，四边形 ABCD 的对角线为 AC、BD，且 AC=BD，则下列条件能判定四边形 ABCD 为矩形的是（　　） A．BA=BC B．AC、BD 互相平分 C．AC⊥BD D．AB∥CD 【考点】矩形的判定． 【分析】根据矩形的判定方法解答． 【解答】解：能判定四边形 ABCD 是矩形的条件为 AC、BD 互相平分． 理由如下：∵AC、BD 互相平分， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∵AC=BD， ∴▱ABCD 是矩形． 其它三个条件再加上 AC=BD 均不能判定四边形 ABCD 是矩形． 故选 B． 　 11．如图，在菱形 ABCD 中，AB=6，∠ADC=120°，则菱形 ABCD 的面积是（　　） A．18 B．36 C． D． 【考点】菱形的性质． 【分析】根据菱形的邻角互补求出∠A=60°，过点 B 作 BE⊥AD 于 E，可得∠ABE=30°，根 据 30°角所对的直角边等于斜边的一半求出 AE=3，再利用勾股定理求出 BE 的长度，然后利 用菱形的面积公式列式计算即可得解． 【解答】解：∵在菱形 ABCD 中，∠ADC=120°， ∴∠A=60°， 过点 B 作 BE⊥AD 于 E， 则∠ABE=90°﹣60°=30°， ∵AB=6， ∴AE= AB= ×6=3， 在 Rt△ABE 中，BE= = =3 ，第 9 页（共 19 页） 所以，菱形 ABCD 的面积=AD•BE=6×3 =18 ． 故选 C． 　 12．下列命题正确的是（　　） A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 C．对角线互相垂直的四边形是菱形 D．对角线互相平分的四边形是平行四边形 【考点】命题与定理． 【分析】根据矩形的判定方法对 A 进行判断；根据正方形的判定方法对 B 进行判定；根据 菱形的判定方法对 C 进行判定，根据平行四边形的判定方法对 D 进行判定． 【解答】解：A、两条对角线相等的平行四边形是矩形，所以 A 选项为假命题； B、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，所以 B 选项为假命题； C、两条对角线垂直的平行四边形是菱形，所以 C 选项为假命题； D、对角线互相平分的四边形是平行四边形，所以 D 选项为真命题． 故选 D． 　 13．一组数据 6、4、a、3、2 的平均数是 4，则这组数据的方差为（　　） A．0 B．2 C． D．10 【考点】方差；算术平均数． 【分析】先由平均数计算出 a 的值，再计算方差．一般地设 n 个数据，x1，x2，…xn 的平均 数为 ， = （x1+x2+…+xn），则方差 S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]． 【解答】解：∵a=5×4﹣4﹣3﹣2﹣6=5， ∴S2= [（6﹣4）2+（4﹣4）2+（5﹣4）2+（3﹣4）2+（2﹣4）2]=2． 故选：B． 　 14．如图，在正方形 ABCD 外侧，作等边三角形 ADE，AC，BE 相交于 F，则∠CFE 为（　　） A．145° B．120° C．115° D．105° 【考点】正方形的性质；等边三角形的性质． 【分析】根据正方形的性质及全等三角形的性质求出∠ABE=15°，∠BAC=45°，再求∠BFC 的度数，进而求出∠CFE 的度数．第 10 页（共 19 页） 【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=AD， 又∵△ADE 是等边三角形， ∴AE=AD=DE，∠DAE=60°， ∴AB=AE， ∴∠ABE=∠AEB，∠BAE=90°+60°=150°， ∴∠ABE=÷2=15°， 又∵∠BAC=45°， ∴∠BFC=45°+15°=60°， ∴∠CFE=180°﹣60°=120°， 故选 B 　 15．已知一次函数 y=kx+b 的函数值 y 随 x 的增大而增大，且其图象与 y 轴的负半轴相交， 则对 k 和 b 的符号判断正确的是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【考点】一次函数图象与系数的关系． 【分析】一次函数 y=kx+b 中 y 随 x 的增大而增大，且与 y 轴负半轴相交，即可确定 k，b 的符号． 【解答】解：∵一次函数 y=kx+b 中 y 随 x 的增大而增大， ∴k＞0， ∵一次函数 y=kx+b 与 y 轴负半轴相交， ∴b＜0． 故选：B． 　 16．小亮家与姥姥家相距 24km，小亮 8：00 从家出发，骑自行车去姥姥家．妈妈 8：30 从 家出发，乘车沿相同路线去姥姥家．在同一直角坐标系中，小亮和妈妈的行进路程 s（km） 与北京时间 t（时）的函数图象如图所示．根据图象得到下列结论，其中错误的是（　　） A．小亮骑自行车的平均速度是 10km/h B．妈妈比小亮提前 0.5 小时到达姥姥家 C．妈妈在距家 12km 处追上小亮 D．9：00 妈妈追上小亮 【考点】一次函数的应用． 【分析】根据函数图象可以判断各个选项是否正确，本题得以解决． 【解答】解：由图象可知， 小亮骑自行车的平均速度是：24÷（10﹣8）=12km/h，故选项 A 错误； 妈妈比小亮提前到姥姥家的时间是：10﹣9.5=0.5 小时，故选项 B 正确；第 11 页（共 19 页） 妈妈追上小明时所走的路程是：12×（9﹣8）=12km，故选项 C 正确； 由图象可知，9：00 妈妈追上小亮，故选项 D 正确； 故选 A． 　 二、填空题（共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） 17．将函数 y=﹣3x﹣2 的图象沿 y 轴方向向上平移 6 个单位长度后，所得图象对应的函数 解析式是　y=﹣3x+4　． 【考点】一次函数图象与几何变换． 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将函数 y=﹣3x﹣2 的图象向上平移 6 个单位所得函 数的解析式为 y=﹣3x﹣2+6，即 y=﹣3x+4． 故答案为：y=﹣3x+4 　 18．已知一次函数的图象经过两点 A（1，1），B（3，﹣1），则这个函数的解析式是　 y=﹣x+2　． 【考点】待定系数法求一次函数解析式． 【分析】设一次函数解析式为y=kx+b，将 A 与 B 坐标代入求出 k 与 b 的值，即可确定出一 次函数解析式． 【解答】解：设一次函数解析式为：y=kx+b， 根据题意，将点 A（1，1），B（3，﹣1）代入，得： ， 解得： ， 故这个一次函数解析式为：y=﹣x+2． 故答案是：y=﹣x+2． 　 19．如图，直线 y=kx+b 交坐标轴于 A、B 两点，则不等式 kx+b＜0 的解集是　x＜﹣3　． 【考点】一次函数与一元一次不等式． 【分析】看在 x 轴下方的函数图象所对应的自变量的取值即可． 【解答】解：由图象可以看出，x 轴下方的函数图象所对应自变量的取值为 x＜﹣3， 故不等式 kx+b＜0 的解集是 x＜﹣3． 故答案为 x＜﹣3． 　第 12 页（共 19 页） 20．如图，函数 y=﹣ x﹣ 和 y=2x+3 的图象交于点 P，则根据图象可得，二元一次方程组 的解是　 　． 【考点】一次函数与二元一次方程（组）． 【分析】观察函数图象找出两函数图象交点坐标，由此即可得出方程组的解． 【解答】解：观察函数图象可知：交点 P 的坐标为（﹣1，1）， ∴二元一次方程组 的解是 ． 故答案为： ． 　 三、解答题 21．计算： （1）5 + ； （2） ÷ × ． 【考点】二次根式的混合运算． 【分析】（1）直接合并同类二次根式即可； （2）利用二次根式的乘除法则运算． 【解答】解：（1）原式=6 ； （2）原式= =1． 　 22．在一次蜡烛燃烧实验中，蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（cm）与燃烧时间 x（h）之间 为一次函数关系．根据图象提供的信息，解答下列问题： （1）求出蜡烛燃烧时 y 与 x 之间的函数关系式； （2）求蜡烛从点燃到燃尽所用的时间．第 13 页（共 19 页） 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据图象知，该函数是一次函数，且该函数图象经过点（0，24），（2，12）．所 以利用待定系数法进行解答即可； （2）由（1）中的函数解析式，令 y=0，求得 x 的值即可． 【解答】解：（1）由于蜡烛燃烧时剩余部分的高度 y（cm）与燃烧时间 x（h）之间为一次 函数关系． 故设 y 与 x 之间的函数关系式为 y=kx+b（k≠0）． 由图示知，该函数图象经过点（0，24），（2，12），则 ， 解得 ． 故函数表达式是 y=﹣6x+24． （2）当 y=0 时， ﹣6x+24=0 解得 x=4， 即蜡烛从点燃到燃尽所用的时间是 4 小时． 　 23．如图，△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°，D 为 AB 边上一 点． （1）求证：△ACE≌△BCD； （2）若 AD=6，BD=8，求 ED 的长． 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形． 【分析】（1）根据等腰直角三角形性质求出 AC=BC，EC=DC，∠B=∠CAB=45°，求出∠ ACE=∠BCD=90°﹣∠ACD，根据全等三角形的判定推出即可． （2）根据全等推出∠CAE=∠B，AE=BD=8，求出∠EAD=90°，根据勾股定理求出即可． 【解答】（1）证明：∵△ABC 和△ECD 都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=∠90°， ∴AC=BC，EC=DC，∠B=∠CAB=45°，∠ACE=∠BCD=90°﹣∠ACD， 在△ACE 和△BCD 中第 14 页（共 19 页） ∴△ACE≌△BCD（SAS）； （2）解：∵△ACE≌△BCD， ∴∠CAE=∠B，AE=BD=8， ∵∠CAB=∠B=45°， ∴∠EAD=45°+45°=90°， 在 Rt△EAD 中，由勾股定理得：ED= = =10． 　 24．某公司需招聘一名员工，对应聘者甲、乙、丙从笔试、面试、体能三个方面进行量化考 核，三人各项得分如表： 笔试 面试 体能 甲 84 78 90 乙 85 80 75 丙 80 90 73 （1）根据三项得分的平均分，从高到低确定三名应聘者的排名顺序． （2）该公司规定：笔试，面试、体能得分分别不得低于 80 分，80 分，70 分，并按 50%， 30%，20%的比例计入总分．根据规定，请你说明谁将被录用． 【考点】加权平均数． 【分析】（1）利用平均数的公式即可直接求解，即可判断； （2）利用加权平均数公式求解，即可判断． 【解答】解：（1）甲乙丙三人的平均分分别是 =84， =80， =81． 所以三人的平均分从高到低是：甲、丙、乙； （2）因为甲的面试分不合格，所以甲首先被淘汰． 乙的加权平均分是： =81.5（分）， 丙的加权平均分是： =81.6（分） 因为丙的加权平均分最高，因此，丙将被录用． 　 25．随着地球上的水资源日益枯竭，各级政府越来越重视倡导节约用水．某市市民生活用水 按“阶梯水价”方式进行收费，人均月生活用水收费标准如图所示，图中 x 表示人均月生活用 水的吨数，y 表示收取的人均月生活用水费（元）．请根据图象信息，回答下列问题： （1）该市人均月生活用水不超过 6 吨时，求 y 与 x 的函数解析式； （2）该市人均月生活用水超过 6 吨时，求 y 与 x 的函数关系式； （3）若某个家庭有 5 人，六月份的生活用水费共 75 元，则该家庭这个月人均用了多少吨生 活用水？第 15 页（共 19 页） 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）根据函数图象设出该市人均月生活用水不超过 6 吨时，y 与 x 的函数解析式， 并求出相应的 y 与 x 的函数解析式； （2）根据函数图象设出该市人均月生活用水超过 6 吨时，y 与 x 的函数关系式，并求出相 应的函数解析式； （3）将 y=75 代入超过 6 吨的函数解析式即可求得相应的用水量，进而求得该家庭这个月 人均用了多少吨生活用水． 【解答】解：（1）该市人均月生活用水不超过 6 吨时，设 y 与 x 的函数解析式是 y=kx， 则 9=6k，得 k=1.5， 即该市人均月生活用水不超过 6 吨时，y 与 x 的函数解析式是 y=1.5x； （2）该市人均月生活用水超过 6 吨时，设 y 与 x 的函数关系式是 y=mx+n， 则 ， 解得， 即该市人均月生活用水超过 6 吨时，y 与 x 的函数关系式是 y=3x﹣9； （3）将 y=75 代入 y=3x﹣9，得 75=3x﹣9 解得，x=28 28÷5=5.6 即该家庭这个月人均用了 5.6 吨生活用水． 　 26．如图所示，在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AC=100cm，∠A=60°，点 D 从点 C 出发沿 CA 方向以 4cm/s 的速度向点 A 匀速运动，同时点 E 从点 A 出发沿 AB 方向以 2cm/s 的速度向 点 B 匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点 D、E 运动的时 间是 t 秒（0＜t≤25）．过点 D 作 DF⊥BC 于点 F，连接 DE，EF． （1）求证：四边形 AEFD 是平行四边形； （2）四边形 AEFD 能够成为菱形吗？如果能，求出相应的 t 值；如果不能，请说明理由； （3）当 t 为何值时，△DEF 为直角三角形？请说明理由．第 16 页（共 19 页） 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）根据时间和速度表示出 AE 和 CD 的长，利用 30°所对的直角边等于斜边的一 半求出 DF 的长为 4t，则 AE=DF，再证明，AE∥DF 即可解决问题． （2）根据（1）的结论可以证明四边形 AEFD 为平行四边形，如果四边形 AEFD 能够成为 菱形，则必有邻边相等，则 AE=AD，列方程求出即可； （3）当△DEF 为直角三角形时，有三种情况：①当∠EDF=90°时，如图 3，②当∠ DEF=90°时，如图 4， ③当∠DFE=90°不成立；分别找一等量关系列方程可以求出 t 的值． 【解答】证明：（1）由题意得：AE=2t，CD=4t， ∵DF⊥BC， ∴∠CFD=90°， ∵∠C=30°， ∴DF= CD= ×4t=2t， ∴AE=DF； ∵DF⊥BC， ∴∠CFD=∠B=90°， ∴DF∥AE， ∴四边形 AEFD 是平行四边形． （2）四边形 AEFD 能够成为菱形，理由是： 由（1）得：AE=DF， ∵∠DFC=∠B=90°， ∴AE∥DF， ∴四边形 AEFD 为平行四边形， 若▱AEFD 为菱形，则 AE=AD， ∵AC=100，CD=4t， ∴AD=100﹣4t， ∴2t=100﹣4t， t= ， ∴当 t= 时，四边形 AEFD 能够成为菱形； （3）分三种情况： ①当∠EDF=90°时，如图 3， 则四边形 DFBE 为矩形，第 17 页（共 19 页） ∴DF=BE=2t， ∵AB= AC=50，AE=2t， ∴2t=50﹣2t， t= ， ②当∠DEF=90°时，如图 4， ∵四边形 AEFD 为平行四边形， ∴EF∥AD， ∴∠ADE=∠DEF=90°， 在 Rt△ADE 中，∠A=60°，AE=2t， ∴AD=t， ∴AC=AD+CD， 则 100=t+4t， t=20， ③当∠DFE=90°不成立； 综上所述：当 t 为 或 20 时，△DEF 为直角三角形．第 18 页（共 19 页） 　第 19 页（共 19 页） 2016 年 11 月 20 日