宜宾市2016-2017学年八年级上期末数学预测试卷含答案解析.doc

第 1 页（共 26 页） 2016-2017 学年四川省宜宾市八年级（上） 期末数学预测试卷 　 一、选择题（每小题只有一个选项是正确的．每小题 3 分，共 24 分） 1．如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（　　） A．0 B．±1 C．0 和 1 D．0 或±1 2．在实数 、﹣3、0、 、3.1415、π、 、 、2.123122312233…（不 循环）中，无理数的个数为（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 3．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．直角三角形的两锐角互余 B．对顶角相等 C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．若 x=1，则 x2=1 4．下列运算不正确的是（　　） A．x2•x3=x5 B．（x2）3=x6 C．x3+x3=2x6 D．（﹣2x）3=﹣8x3 5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，C 为斜边，a，b 为直角边，a+b=14，c=10，则 Rt△ ABC 面积为（　　） A．24 B．36 C．48 D．60 6．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，交 AB 于 E，下述结论错误的是（　　） A．BD 平分∠ABC B．△BCD 的周长等于 AB+BC C．AD=BD=BC D．点 D 是线段 AC 的中点 7．下图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A 表示只知道父 亲生日，B 表示只知道母亲生日，C 表示知道父母两人的生日，D 表示都不知道．第 2 页（共 26 页） 若该班有 40 名学生，则知道母亲生日的人数有（　　） A．25 B．10 C．22 D．12 8．如图所示，在△ABC 中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB 于 R，PS⊥AC 于 S，则三 个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS 中（　　） A．全部正确 B．仅①和③正确 C．仅①正确 D．仅①和②正确 　 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9． 的算术平方根是　　． 10．若 9m=6，3n=2，则 32m﹣n=　　． 11．把定理“等角对等边”写“如果…，那么…”的形式是　　． 12．若△ABC 的三条边 a，b，c 满足关系式：a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0，则△ABC 的 形状是　　． 13．如图将 4 个长、宽分别均为 a、b 的长方形，摆成了一个大的正方形．利用 面积的不同表示方法可以验证的乘法公式是　　． 14．如图，已知 CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部 分的面积=　　．第 3 页（共 26 页） 15．如图，∠ABC=∠DCB，请补充一个条件：　　，使△ABC≌△DCB． 16．如图，AD 是△ABC 的中线，E，F 分别是 AD 和 AD 延长线上的点，且 DE=DF ， 连结 BF，CE．下列说法：①△ABD 和△ACD 面积相等； ②∠BAD=∠CAD； ③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE．其中正确的有　　．（把你认为正确的 序号都填上） 　 三、解答题：（本大题共 8 个题，共 72 分） 17．（1）计算： ﹣ +4 （2）计算：（ab2﹣a2b）2÷（﹣2ab）2 （3）分解因式：﹣4a3+16ab2 （4）分解因式：（x﹣1）2+2（1﹣x）y+y2． 18．化简求值：已知 x，y 满足：x2+y2﹣4x+6y+13=0 求代数式[4（xy﹣1）2﹣（ xy+2）（2﹣xy）]÷（﹣ xy）的值． 19．如图，△ABC 中，∠C=90°． （1）在 BC 边上作一点 P，使得点 P 到点 C 的距离与点 P 到边 AB 的距离相等（第 4 页（共 26 页） 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若 AC=4，BC=3，求 CP 的长． 20．如图，在等腰三角形 ABC 中，两底角的平分线 BE、CD 相交于点 O，求证： OB=0C，OD=OE． 21．如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠ A+∠C=180°． 22．已知 x≠1，计算（1+x）（1﹣x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3， （1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4． （1）观察以上各式并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=　　．（n 为正整数） （2）根据你的猜想计算： ①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=　　． ②2+22+23+…+2n=　　（n 为正整数）． ③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=　　． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a﹣b）（a+b）=　　． ②（a﹣b）（a2+ab+b2）=　　．第 5 页（共 26 页） ③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=　　． 23．阅读对人成长的影响是很大的、希望中学共有 1500 名学生，为了了解学生 课外阅读的情况，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）随机调查了部分学生， 并将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请你根据统计图表提供的 信息解答下列问题： 种类 频数 频率 科普 0.15 艺术 78 文学 其它 81 0.59 （1）这次随机调查了　　名学生； （2）把统计表和条形统计图补充完整； （3）随机调查一名学生，恰好是最喜欢文学类图书的概率是多少？ 24．如图①，OP 是∠AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为 对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题： （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠ BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F．请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变， 请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由．第 6 页（共 26 页） 　第 7 页（共 26 页） 2016-2017 学年四川省宜宾市八年级（上） 期末数学预 测试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（每小题只有一个选项是正确的．每小题 3 分，共 24 分） 1．如果一个数的平方根与立方根相同，那么这个数是（　　） A．0 B．±1 C．0 和 1 D．0 或±1 【考点】立方根；平方根． 【分析】由于一个数的平方根与立方根相同，根据平方根的定义这个数只能是非 负数，然后根据立方根和平方根相等即可确定这个数． 【解答】解：∵一个数的平方根与立方根相同， ∴这个数为 0． 故选：A． 　 2．在实数 、﹣3、0、 、3.1415、π、 、 、2.123122312233…（不 循环）中，无理数的个数为（　　） A．2 个 B．3 个 C．4 个 D．5 个 【考点】无理数． 【分析】根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含 有 π 的数，找出无理数的个数． 【解答】解： =﹣1， =12， 所给数据中无理数有： ，π， ，2.123122312233…（不循环）共 4 个． 故选 C． 　 3．下列命题中，逆命题是真命题的是（　　） A．直角三角形的两锐角互余 B．对顶角相等第 8 页（共 26 页） C．若两直线垂直，则两直线有交点 D．若 x=1，则 x2=1 【考点】命题与定理． 【分析】交换原命题的题设与结论得到四个命题的逆命题，然后分别利用直角三 角形的判定、对顶角的定义、两直线垂直的定义和平方根的定义对四个逆命题的 真假进行判断． 【解答】解：A、逆命题为有两角互余的三角形为直角三角形，此逆命题为真命 题，所以 A 选项正确； B、逆命题为相等的角为对顶角，此逆命题为假命题，所以 B 选项错误； C、逆命题为两直线有交点，则两直线垂直，此逆命题为假命题，所以 C 选项错 误； D、逆命题为若 x2=1，则 x=1，此逆命题为假命题，所以 D 选项错误． 故选 A． 　 4．下列运算不正确的是（　　） A．x2•x3=x5 B．（x2）3=x6 C．x3+x3=2x6 D．（﹣2x）3=﹣8x3 【考点】幂的乘方与积的乘方；合并同类项；同底数幂的乘法． 【分析】本题考查的知识点有同底数幂乘法法则，幂的乘方法则，合并同类项， 及积的乘方法则． 【解答】解：A、x2•x3=x5，正确； B、（x2）3=x6，正确； C、应为 x3+x3=2x3，故本选项错误； D、（﹣2x）3=﹣8x3，正确． 故选：C． 　 5．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，C 为斜边，a，b 为直角边，a+b=14，c=10，则 Rt△ ABC 面积为（　　） A．24 B．36 C．48 D．60 【考点】勾股定理．第 9 页（共 26 页） 【分析】利用勾股定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a+b 与 c 的值 代入求出 ab 的值，即可确定出直角三角形的面积． 【解答】解：∵Rt△ABC 中，∠C=90°，a+b=14，c=10， ∴由勾股定理得：a2+b2=c2，即（a+b）2﹣2ab=c2=100， ∴196﹣2ab=100，即 ab=48， 则 Rt△ABC 的面积为 ab=24． 故选：A． 　 6．如图，在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，AB 的垂直平分线 DE 交 AC 于 D，交 AB 于 E，下述结论错误的是（　　） A．BD 平分∠ABC B．△BCD 的周长等于 AB+BC C．AD=BD=BC D．点 D 是线段 AC 的中点 【考点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质． 【分析】由在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角与三角形内角和定理 ，即可求得∠ABC 与∠C 的度数，又由 AB 的垂直平分线是 DE，根据线段垂直平 分线的性质，即可求得 AD=BD，继而求得∠ABD 的度数，则可知 BD 平分∠ABC； 可得△BCD 的周长等于 AB+BC，又可求得∠BDC 的度数，求得 AD=BD=BC，则可 求得答案；注意排除法在解选择题中的应用． 【解答】解：∵在△ABC 中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C= =72°， ∵AB 的垂直平分线是 DE， ∴AD=BD， ∴∠ABD=∠A=36°， ∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=72°﹣36°=36°=∠ABD，第 10 页（共 26 页） ∴BD 平分∠ABC，故 A 正确； ∴△BCD 的周长为：BC+CD+BD=BC+CD+AD=BC+AC=BC+AB，故 B 正确； ∵∠DBC=36°，∠C=72°， ∴∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°， ∴∠BDC=∠C， ∴BD=BC， ∴AD=BD=BC，故 C 正确； ∵BD＞CD， ∴AD＞CD， ∴点 D 不是线段 AC 的中点，故 D 错误． 故选 D． 　 7．下图所示的扇形图是对某班学生知道父母生日情况的调查，A 表示只知道父 亲生日，B 表示只知道母亲生日，C 表示知道父母两人的生日，D 表示都不知道． 若该班有 40 名学生，则知道母亲生日的人数有（　　） A．25 B．10 C．22 D．12 【考点】扇形统计图． 【分析】求出知道母亲生日的人数所占的百分比即 B、C 所占的百分比，乘以总 人数 40，即可求出答案． 【解答】解：知道母亲生日的人数有：40×55%=22 人， 故选 C． 　 8．如图所示，在△ABC 中，AQ=PQ，PR=PS，PR⊥AB 于 R，PS⊥AC 于 S，则三 个结论：①AS=AR；②QP∥AR；③△BPR≌△QPS 中（　　）第 11 页（共 26 页） A．全部正确 B．仅①和③正确 C．仅①正确 D．仅①和②正确 【考点】全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质． 【分析】易证 RT△APR≌RT△APS，可得 AS=AR，∠BAP=∠1，再根据 AQ=PQ， 可得∠1=∠2，即可求得 QP∥AB，即可解题． 【解答】解：如图， 在 RT△APR 和 RT△APS 中， ， ∴RT△APR≌RT△APS（HL）， ∴∠AR=AS，①正确； ∠BAP=∠1， ∵AQ=PQ， ∴∠1=∠2， ∴∠BAP=∠2， ∴QP∥AB，②正确， ∵△BRP 和△QSP 中，只有一个条件 PR=PS，再没有其余条件可以证明△BRP≌△ QSP，故③错误．　　　　 故选：D． 　 二、填空题（每小题 3 分，共 24 分） 9． 的算术平方根是　2　． 【考点】算术平方根．第 12 页（共 26 页） 【分析】首先根据算术平方根的定义求出 的值，然后再利用算术平方根的定 义即可求出结果． 【解答】解：∵ =4， ∴ 的算术平方根是 =2． 故答案为：2． 　 10．若 9m=6，3n=2，则 32m﹣n=　3　． 【考点】同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方． 【分析】根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，把要求的式子进行变形，再 代入计算即可． 【解答】解：∵9m=32m=6，3n=2， ∴32m﹣n=32m÷3n=6÷2=3； 故答案为：3． 　 11．把定理“等角对等边”写“如果…，那么…”的形式是　如果在同一个三角形中有 两个角相等，那么这两个角所对的边也相等　． 【考点】等腰三角形的性质． 【分析】分析原命题，找出其条件与结论，然后写成“如果…那么…”形式即可． 【解答】解：因为条件是：在同一个三角形中有两个角相等，结论为：这两个角 所对的边也相等． 所以改写后为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也 相等． 故答案为：如果在同一个三角形中有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等 ． 　 12．若△ABC 的三条边 a，b，c 满足关系式：a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0，则△ABC 的 形状是　等腰三角形或直角三角形　． 【考点】等腰三角形的判定；因式分解-分组分解法；勾股定理的逆定理． 【分析】将 a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0 因式分解，然后分析不难得到三角形的形状．第 13 页（共 26 页） 【解答】解：∵a4+b2c2﹣a2c2﹣b4=0 ∴（a2+b2）（a2﹣b2）﹣c2（a2﹣b2）=0 ∴（a2﹣b2）（a2+b2﹣c2）=0 ∴a2﹣b2=0 或 a2+b2﹣c2=0 ∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形． 　 13．如图将 4 个长、宽分别均为 a、b 的长方形，摆成了一个大的正方形．利用 面积的不同表示方法可以验证的乘法公式是　（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab　． 【考点】完全平方公式的几何背景． 【分析】通过观察可以得大正方形边长为a+b，小正方形边长为 a﹣b，利用大正 方形面积减去小正方形面积即为阴影部分面积，得出答案． 【解答】解：观察图形得： 大正方形边长为：a+b， 小正方形边长为：a﹣b， 根据大正方形面积﹣小正方形面积=阴影面积得： （a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab． 故答案为：（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab． 　 14．如图，已知 CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m．图中阴影部 分的面积=　96m2　． 【考点】勾股定理；勾股定理的逆定理．第 14 页（共 26 页） 【分析】先根据勾股定理求出 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理判断出△ACB 为直角三角形，再根据 S 阴影= AC×BC﹣ AD×CD 即可得出结论． 【解答】解：在 Rt△ADC 中， ∵CD=6m，AD=8m，∠ADC=90°，BC=24m，AB=26m， ∴AC2=AD2+CD2=82+62=100， ∴AC=10m，（取正值）． 在△ABC 中，∵AC2+BC2=102+242=676，AB2=262=676． ∴AC2+BC2=AB2， ∴△ACB 为直角三角形，∠ACB=90°． ∴S 阴影= AC×BC﹣ AD×CD= ×10×24﹣ ×8×6=96（m2）． 故答案是：96m2． 　 15．如图，∠ABC=∠DCB，请补充一个条件：　AB=DC 或者∠A=∠D　，使△ABC ≌△DCB． 【考点】全等三角形的判定． 【分析】要使△ABC≌△DCB，已知了∠ABC=∠DCB 以及公共边 BC，因此可以根 据 SAS、AAS 分别添加一组相等的对应边或一组相等的对应角． 【解答】解：∵∠ABC=∠DCB，BC=BC， ∴当 AB=DC（SAS）或∠A=∠D（ASA）或∠BCA=∠DBC（AAS）时， ∴△ABC≌△DCB． 故填 AB=DC 或∠A=∠D． 　 16．如图，AD 是△ABC 的中线，E，F 分别是 AD 和 AD 延长线上的点，且 DE=DF ， 连结 BF，CE．下列说法：①△ABD 和△ACD 面积相等； ②∠BAD=∠CAD；第 15 页（共 26 页） ③△BDF≌△CDE；④BF∥CE；⑤CE=AE．其中正确的有　①③④　．（把你认为 正确的序号都填上） 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据三角形中线的定义可得BD=CD，根据等底等高的三角形的面积相等 判断出①正确，然后利用“边角边”证明△BDF 和△CDE 全等，根据全等三角形对 应边相等可得 CE=BF，全等三角形对应角相等可得∠F=∠CED，再根据内错角相 等，两直线平行可得 BF∥CE． 【解答】解：∵BD=CD，点 A 到 BD、CD 的距离相等， ∴△ABD 和△ACD 面积相等，故①正确； ∵AD 为△ABC 的中线， ∴BD=CD，∠BAD 和∠CAD 不一定相等，故②错误； 在△BDF 和△CDE 中 ， ∴△BDF≌△CDE，故③正确； ∴∠F=∠DEC， ∴BF∥CE，故④正确； ∵△BDF≌△CDE， ∴CE=BF，故⑤错误， 故答案为：①③④． 　 三、解答题：（本大题共 8 个题，共 72 分） 17．（1）计算： ﹣ +4 （2）计算：（ab2﹣a2b）2÷（﹣2ab）2 （3）分解因式：﹣4a3+16ab2第 16 页（共 26 页） （4）分解因式：（x﹣1）2+2（1﹣x）y+y2． 【考点】整式的混合运算；实数的运算；因式分解-提公因式法． 【分析】（1）先算乘方，再算加减即可； （2）先算乘方，再算除法； （3）先提公因式，再根据平方差公式分解即可； （4）先变形，再根据完全平方公式分解即可． 【解答】解：（1）原式=3﹣（﹣2）+4× =3+2+2 =7； （2）原式=（a2b4﹣2a3b3+a4b2）÷4a2b2 = b2﹣ ab+ a2； （3）原式=﹣4a（a2﹣4b2） =﹣4a（a+2b）（a﹣2b）； （4）原式=（x﹣1）2﹣2（x﹣1）y+y2 =（x﹣1﹣y）2． 　 18．化简求值：已知 x，y 满足：x2+y2﹣4x+6y+13=0 求代数式[4（xy﹣1）2﹣（ xy+2）（2﹣xy）]÷（﹣ xy）的值． 【考点】配方法的应用；非负数的性质：偶次方；整式的混合运算—化简求值． 【分析】利用配方法把原式化为平方和的形式，根据非负数的性质求出 x、y， 把原式化简，代入计算即可． 【解答】解：∵x2+y2﹣4x+6y+13=0， ∴（x﹣2）2+（y+3）2=0， ∴x﹣2=0，y+3=0， 解得，x=2，y=﹣3，第 17 页（共 26 页） 则[4（xy﹣1）2﹣（xy+2）（2﹣xy）]÷（﹣ xy） =（4x2y2﹣8xy+4﹣4+x2y2）÷（﹣ xy） =（5x2y2﹣8xy）÷（﹣ xy） =﹣20xy+32 =﹣20×2×（﹣3）+32 =152． 　 19．如图，△ABC 中，∠C=90°． （1）在 BC 边上作一点 P，使得点 P 到点 C 的距离与点 P 到边 AB 的距离相等（ 尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）在（1）的条件下，若 AC=4，BC=3，求 CP 的长． 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定与性质；勾股定理． 【分析】（1）作∠BAC 的平分线交 BC 于 P 点，则点 P 到点 C 的距离与点 P 到边 AB 的距离相等； （2）作 PD⊥AB 于点，如图，根据角平分线性质得 PD=PC，则可证明 Rt△ADP≌ Rt△ACP 得到 AD=AC=4，再利用勾股定理计算出 AB=5，则 BD=1，设 PC=x，则 PD=x ，BP=3﹣x，在 Rt△BDP 中，利于勾股定理得（3﹣x）2=x2+12，然后解方程即可． 【解答】解：（1）如图，点 P 即为所求； （2）作 PD⊥AB 于点，如图， ∵AP 平分∠CAB，PD⊥AB 于 D，∠C=90°， ∴PD=PC． 在 Rt△ADP 和 Rt△ACP 中 ，第 18 页（共 26 页） ∴Rt△ADP≌Rt△ACP（HL）， ∴AD=AC=4， 在 Rt△ABC 中，AB= =5， ，∴BD=5﹣4=1， 设 PC=x，则 PD=x，BP=3﹣x， 在 Rt△BDP 中，∵PD2+BD2=PB2， ∴（3﹣x）2=x2+12，解得 x= ． 答：CP 的长为 ． 　 20．如图，在等腰三角形 ABC 中，两底角的平分线 BE、CD 相交于点 O，求证： OB=0C，OD=OE． 【考点】等腰三角形的性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】首先根据等边对等角可得∠ABC=∠ACB，然后根据角平分线的性质可得 ∠OBC= ∠ABC，∠OCB= ∠ACB，进而得到∠OBC=∠OCB，再根据等角对等边 可得 OB=0C；再根据 ASA 证明△OBD≌△OCE，由全等三角形的对应边相等即可 得到 OD=OE． 【解答】证明：∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB，第 19 页（共 26 页） ∵BD、CE 是角平分线，它们相交于点 O， ∴∠OBC=∠OBD= ∠ABC，∠OCB=∠OCE= ∠ACB， ∴∠OBC=∠OCB， ∴OB=0C； 在△OBD 与△OCE 中， ， ∴△OBD≌△OCE（ASA）， ∴OD=OE． 　 21．如图，四边形 ABCD 中，AB=20，BC=15，CD=7，AD=24，∠B=90°，求证：∠ A+∠C=180°． 【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理；多边形内角与外角． 【分析】连接AC．首先根据勾股定理求得 AC 的长，再根据勾股定理的逆定理求 得∠D=90°，进而求出∠A+∠C=180°． 【解答】证明：连接 AC． ∵AB=20，BC=15，∠B=90°， ∴由勾股定理，得 AC2=202+152=625． 又 CD=7，AD=24， ∴CD2+AD2=625， ∴AC2=CD2+AD2， ∴∠D=90°． ∴∠A+∠C=360°﹣180°=180°．第 20 页（共 26 页） 　 22．已知 x≠1，计算（1+x）（1﹣x）=1﹣x2，（1﹣x）（1+x+x2）=1﹣x3， （1﹣x）（1+x+x2+x3）=1﹣x4． （1）观察以上各式并猜想：（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=　1﹣xn+1　．（n 为正整 数） （2）根据你的猜想计算： ①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=　﹣63　． ②2+22+23+…+2n=　2n+1﹣2　（n 为正整数）． ③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=　x100﹣1　． （3）通过以上规律请你进行下面的探索： ①（a﹣b）（a+b）=　a2﹣b2　． ②（a﹣b）（a2+ab+b2）=　a3﹣b3　． ③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=　a4﹣b4　． 【考点】规律型：数字的变化类． 【分析】（1）根据题意易得（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1； （2）利用猜想的结论得到①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=1﹣64=﹣63； ② 先 变 形 2+22+23+24+…+2n=2 （ 1+2+22+23+24+…+2n﹣1 ） =﹣2 （ 1﹣2 ） （ 1+2+22+23+24+…+2n﹣1），然后利用上述结论写出结果； ③先变形得到（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x99）， 然后利用上述结论写出结果； （3）根据规律易得①（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2；②（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3 ；③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4． 【解答】解：（1）（1﹣x）（1+x+x2+…+xn）=1﹣xn+1； （2）①（1﹣2）（1+2+22+23+24+25）=1﹣26=1﹣64=﹣63； ② 2+22+23+24+…+2n=2 （ 1+2+22+23+24+…+2n﹣1 ） =﹣2 （ 1﹣2 ） （第 21 页（共 26 页） 1+2+22+23+24+…+2n﹣1）=﹣2（1﹣2n）=2n+1﹣2； ③（x﹣1）（x99+x98+x97+…+x2+x+1）=﹣（1﹣x）（1+x+x2+…+x99）=﹣（1﹣x100） =x100﹣1； （3）①（a﹣b）（a+b）=a2﹣b2； ②（a﹣b）（a2+ab+b2）=a3﹣b3； ③（a﹣b）（a3+a2b+ab2+b3）=a4﹣b4． 故答案为 1﹣xn+1；﹣63；2n+1﹣2；x100﹣1；a2﹣b2，a3﹣b3，a4﹣b4． 　 23．阅读对人成长的影响是很大的、希望中学共有 1500 名学生，为了了解学生 课外阅读的情况，就“你最喜欢的图书类别”（只选一项）随机调查了部分学生， 并将调查结果统计后绘制成如下统计表和条形统计图．请你根据统计图表提供的 信息解答下列问题： 种类 频数 频率 科普 0.15 艺术 78 文学 其它 81 0.59 （1）这次随机调查了　300　名学生； （2）把统计表和条形统计图补充完整； （3）随机调查一名学生，恰好是最喜欢文学类图书的概率是多少？ 【考点】条形统计图；频数（率）分布表；概率公式． 【分析】（1）根据统计表中，科普的人数是 45 人，占 0.15；根据频数与频率的第 22 页（共 26 页） 关系，可知共随机调查了 45÷0.15=300（人）； （2）根据统计表中的数据：易知其它数值，据此可补全条形图； （3）由条形图可知：喜欢文学类图书有 96 人，占总人数的 32%；故随机调查一 名学生，估计恰好是最喜欢文学类图书的概率是 32%． 【解答】解：（1）这次随机调查的人数：45÷0.15=300（人）； 故答案为：300； （2）根据统计表中的数据： 艺术的有 78 人，占 1﹣0.15﹣0.59=0.26，即频率为 26%； 文学的有 300﹣78﹣45﹣81=96（人）， 据此可补全条形图： 种类 频数 频率 科普 45 0.15 艺术 78 0.26 文学 96 其它 81 0.59 （3）随机调查一名学生，估计恰好是最喜欢文学类图书的概率是 96÷300× 100%=32%． 　 24．如图①，OP 是∠AOB 的平分线，请你利用该图形画一对以 OP 所在直线为 对称轴的全等三角形．请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：第 23 页（共 26 页） （1）如图②，在△ABC 中，∠ACB 是直角，∠B=60°，AD、CE 分别是∠BAC、∠BCA 的平分线，AD、CE 相交于点 F．请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系； （2）如图③，在△ABC 中，如果∠ACB 不是直角，而（1）中的其它条件不变， 请问，你在（1）中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说 明理由． 【考点】全等三角形的判定与性质． 【分析】根据要求作图，此处我们可以分别做两边的垂线，这样就可以利用AAS 来判定其全等了． 先利用 SAS 来判定△AEF≌△AGF．得出∠AFE=∠AFG，FE=FG．再利用 ASA 来判 定△CFG≌△CFD 得到 FG=FD 所以 FE=FD． 【解答】解：在 OP 上任找一点 E，过 E 分别做 CE⊥OA 于 C，ED⊥OB 于 D，可 得△OEC≌△OED，如图①， （1）结论为 EF=FD． 如图②，在 AC 上截取 AG=AE，连接 FG． ∵AD 是∠BAC 的平分线， ∴∠1=∠2， 在△AEF 与△AGF 中 ， ∴△AEF≌△AGF（SAS）． ∴∠AFE=∠AFG，FE=FG． 由∠B=60°，AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线， ∵2∠2+2∠3+∠B=180°， ∴∠2+∠3=60°． 又∵∠AFE 为△AFC 的外角，第 24 页（共 26 页） ∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=∠2+∠3=60°． ∴∠CFG=60°． 即∠GFC=∠DFC， 在△CFG 与△CFD 中 ， ∴△CFG≌△CFD（ASA）． ∴FG=FD． ∴FE=FD． （2）EF=FD 仍然成立． 如图③， 过点 F 分别作 FG⊥AB 于点 G，FH⊥BC 于点 H． ∴∠FGE=∠FHD=90°， ∵∠B=60°，且 AD，CE 分别是∠BAC，∠BCA 的平分线， ∴∠2+∠3=60°，F 是△ABC 的内心 ∴∠GEF=∠BAC+∠3=60°+∠1， ∵F 是△ABC 的内心，即 F 在∠ABC 的角平分线上， ∴FG=FH（角平分线上的点到角的两边相等）． 又∵∠HDF=∠B+∠1（外角的性质）， ∴∠GEF=∠HDF． 在△EGF 与△DHF 中， ， ∴△EGF≌△DHF（AAS）， ∴FE=FD．第 25 页（共 26 页） 　第 26 页（共 26 页） 2017 年 2 月 6 日