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上海市各区县2017届高三上学期期末考试数学试题分类汇编
立体几何
一、填空、选择题
1、（宝山区2017届高三上学期期末） 已知一个底面置于水平面上的圆锥，其左视图是边长为6的正三角形，则该圆锥的侧面积为
2、（崇明县2017届高三第一次模拟）已知圆锥的母线，母线与旋转轴的夹角，则圆锥的表面积为
3、（虹口区2017届高三一模）一个底面半径为的圆柱被与其底面所成角是的平面所截，截面是一个椭圆，则该椭圆的焦距等于 ．
4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）关于直线及平面，下列命题中正确的是 （ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）若空间三条直线a、b、c满足，则直线a与c 【 】
A．一定平行； B．一定相交；
C．一定是异面直线； D．平行、相交、是异面直线都有可能．
6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如右图，已知正方体，，为棱的中点，则三棱锥的体积为___ _____________．
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7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）已知一个球的表面积为，则它的体积为____________．
8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）如图，在直三棱柱中，，， 若与平面所成的角为，则三棱锥的体积 为 .
9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）若圆锥的侧面积为，且母线与底面所成角为，则该圆锥的体积为 ．
10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）如图，在棱长为1的正方体中，点在截面上，则线段的最小值等于
11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）在长方体中，若，则异面直线与所成角的大小为____________．
12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）过半径为2的球O表面上一点A作球O的截面，若OA与该截面所成的角是，则该截面的面积是__________．
13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）如图，已知正三棱柱的底面边长为，高为，
一质点自点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达点
的最短路线的长为__________．
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14、（奉贤区2017届高三上学期期末）如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图均为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直角边长都为1，那么这个几何体的表面积____________.
15、（金山区2017届高三上学期期末）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）
A. B.
C. D.
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二、解答题
1、（宝山区2017届高三上学期期末）如图，已知正三棱柱的底面积为，侧面积为36；
（1）求正三棱柱的体积；
（2）求异面直线与所成的角的大小；
2、（崇明县2017届高三第一次模拟）在正三棱柱中，，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）四棱锥的体积．
3、（虹口区2017届高三一模）在正三棱锥中，已知底面等边三角形的边长为6，侧棱长为4．
（1）求证：；
（2）求此三棱锥的全面积和体积．
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4、（黄浦区2017届高三上学期期终调研）在三棱锥中，底面是边长为6的正三角形，^ 底面，且与底面所成的角为．
（1）求三棱锥的体积；
（2）若是的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）.
5、（静安区2017届向三上学期期质量检测）已知正四棱柱，,分别是棱的中点．
(1) 求异面直线所成角的大小；
(2) 求四面体的体积．
6、（闵行区2017届高三上学期质量调研）如图，在中，，斜边，是的中点．现将以直角边为轴旋转一周得到一个圆锥，点为圆锥底面圆周上的一点，且， 求：
（1）圆锥的侧面积；
（2）直线与平面所成的角的大小．（用反三角函数表示）
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7、（浦东新区2017届高三上学期教学质量检测）在长方体中（如图）, ，点是棱的中点.
（1）求异面直线与所成角的大小；
（2）《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑.试问四面体是否为鳖臑？并说明理由.
8、（普陀区2017届高三上学期质量调研）现有一堆规格相同的正六棱柱型金属螺帽毛坯，经测定其密度为，总重量为.其中一个螺帽的三视图如下图所示（单位:毫米）.
（1）这堆螺帽至少有多少个；
（2）对上述螺帽作防腐处理，每平方米需要耗材0.11千克，
共需要多少千克防腐材料（结果精确到）
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9、（青浦区2017届高三上学期期末质量调研）如图所示，三棱柱的侧面是圆柱的轴截面，是圆柱底面圆周上不与、重合的一个点．
（1）若圆柱的轴截面是正方形，当点是弧的中点时，求异面直线与的所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）当点是弧的中点时，求四棱锥与圆柱的体积比．
10、（松江区2017届高三上学期期末质量监控）如图，在正四棱锥中，，是棱的中点．
（1）求证：；
（2）求直线与所成角的余弦值．
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11、（徐汇区2017届高三上学期学习能力诊断）如图，已知平面，，，
，是的中点．
（1）求与平面所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；
（2）求绕直线旋转一周所构成的旋转体的体积（结果保留）．
12、（杨浦区2017届高三上学期期末等级考质量调研）如图所示，、是互相垂直的异面直线，是它们的公垂线段。点、在上，且位于点的两侧，在上，．
（1）求证：异面直线与垂直；
（2）若四面体的体积，求异面直线、之间的距离．
13、（长宁、嘉定区2017届高三上学期期末质量调研）如图：已知平面，，与平面所成的角为，且．
（1）求三棱锥的体积；
（2）设为的中点，求异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．
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14、（奉贤区2017届高三上学期期末）已知圆锥母线长为5，底面圆半径长为4，点是母线的中点，是底面圆的直径，点是弧的中点．
（1）求三棱锥的体积；
（2）求异面直线与所成的角．
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参考答案：
一、填空、选择题
1、解析：由题意，得：底面直径和母线长均为6，
S侧＝＝18
2、 3、 4、C 5、D
6、 7、
8、【解析】如图，
在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∵∠ABC=90°，
A1B1⊥平面BB1C1C，连接B1C，则∠A1CB1为A1C与平面B1BCC1所成的角为，
∵A1B1=AB=1，∴，
又BC=1，∴．
∴．
故答案为：．
9、 10、C 11、 12、
13、【解析】将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱展开，再拼接一次，其侧面展开图如图所示，
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在展开图中，最短距离是六个矩形对角线的连线的长度，也即为三棱柱的侧面上所求距离的最小值．
由已知求得矩形的长等于6×2=12，宽等于5，由勾股定理d==13
故答案为：13．
14、 15、A
二、解答题
1、
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2、解：（1），
是异面直线与所成角............................2分
在中，，
,........................5分
异面直线与所成角大小为................7分
（2） .......................................10分
.........................................13分
所以...................................14分
3、解：（1）取的中点，连、．
是等边三角形，．又，．
平面，．…………5分
（2）记是等边三角形的中心．则．
是边长为6的等边三角形，．，…………8分
，
…………12分
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4、解：（1）因为平面，所以为与平面所成的角，
由与平面所成的角为，可得， ……………………………2分
因为平面，所以，又，可知，
故． ……………………………6分
（2）设为棱的中点，连，由分别是
棱的中点，可得∥，所以与的夹
角为异面直线与所成的角． ………………8分
因为平面，所以，，
又，，
，
所以， ……………………………12分
故异面直线与所成的角为． ……………………………14分
5、解：（1）连接，……………………………….1分
则为异面直线所成角 …………….1分
在中，可求得，
…………………….4分
（2） ……………………………….5分
6、．[解] （1） …………………………2分
…………………………6分
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（2）取的中点，连接、， ………………8分
则，所以，
所以是直线与平面所成的角， …………10分
在中，， …………12分
所以
所以直线与平面所成的角的大小为（）…………14分
7、解：
（1）作交于，因为，所以，故为正三角形，异面直线与所成角为60°……………………………6分
（2）是棱上的中点，则均为等腰直角三角形，
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而显然均为直角三角形，故四面体四个面均为直角三角形，．．．．．．． 14分
8、【解】设正六棱柱的底边边长为，高为，圆孔的半径为，并设螺帽的表面积为，根据三视图可知，，，，则（1）设螺帽的体积为,则，其中
高，螺帽的体积，个
（2）
（千克）
答：这堆零件至少有252个，防腐共需要材料千克。
9、解： （1）连接，则，
直线与的所成角等于直线与的所成角 ，
设圆柱的底面半径为，即，，
在△中，
直线与所成角等于；
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（2）设圆柱的底面半径为 ，母线长度为，
当点是弧的中点时，，且平面，
,
，
∴．
10、 解: （1）证明：∵四边形ABCD为正方形，且
∴都是等边三角形 ………………2分
∵是棱的中点，
∴，又
∴平面 ………………5分
又平面 ∴ ………………6分
（2）连接AC，交BD于点O，连OE．
四边形ABCD为正方形，∴O是AC的中点………………8分
又是的中点
∴OE为△ACP的中位线，∴
∴∠BOE即为BE与PA所成的角 ……………………10分
在Rt△BOE中，， ……12分
∴ ……………………14分
11、解：（1）平面，，又，
平面，
所以就是与平面所成的角.………4分
在中，，………………………………………6分
所以，
即与平面所成的角的大小为.………………………8分
（2）绕直线旋转一周所构成的旋转体，是以为底面半径、为高的圆锥中
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挖去一个以为底面半径、为高的小圆锥. ………10分
所以体积. ……………14分.
12、解：（1）因为，，
所以 （2分）
因为，所以 （4分）
又因为，根据平面几何知识，知
所以（6分）
因为，所以（8分）
（2）MN就是异面直线、之间的距离（10分）
设
所以（12分）
所以，即异面直线、之间的距离为3 （14分）
13、（1）因为平面，所以就是与平面所成的角，即，且为三棱锥的高． …………………………（2分）
由，得，又由，得． …………（3分）
所以，． ……………………（5分）
（2）取中点，连结，，则∥，所以就是异面直线与所成的角（或其补角）， ……………………………………（1分）
在△中，，，， …………………………（3分）
所以，， ……………………（6分）
即．
所以异面直线与所成角的大小为． ……………………（7分）
14、（1）点是弧的中点，， 2分
面 4分
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三棱锥的体积 7分
（2）如图，建立空间直角坐标系，
，，， 9分
10分
13分
所以异面直线所出的角是 14分
也可以用平移法:
连，过作交于点，连．
又，．又．
，等于异面直线与所成的角或其补角．
可知,，
异面直线与所成的角
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