广州市南沙区2016年中考数学一模试卷含答案解析.doc

第 1 页（共 29 页） 2016 年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷 　 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的） 1．在﹣2，1，5，0 这四个数中，最大的数是（　　） A．﹣2 B．1 C．5 D．0 2．下列计算正确的是（　　） A．（a+b）2=a2+b2 B．（ab）2=ab2 C．（a3）2=a5 D．a•a2=a3 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 4．如图，已知 A（1，3），将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到 OA′，则OA′的长度是（　　） A． B．3 C．2 D．1 5．如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（　　 ） A． B． C． D． 6．如图所示，三角形纸片中，有一个角为 60°，剪去这个角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度 数为（　　）第 2 页（共 29 页） A．120° B．180° C．240° D．300° 7．已知点 P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则 a 的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C． D． 8．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（　　） A． = B． = C． = D． = 9．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，若∠ACB=110°，则∠ P 的度数是（　　） A．55° B．30° C．35° D．40° 10．在平面直角坐标系中，第一个正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（2，0），点 D 的坐 标为（0，4）．延长 CB 交 x 轴于点 A1，作第二个正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作第三 个正方形 A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第 2016 个正方形的面积为（　　）第 3 页（共 29 页） A．20×（ ）4030 B．20×（ ）4032 C．20×（ ）2016 D．20×（ ）2015 　 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．） 11．地球上的海洋面积约为 361000000km2，则科学记数法可表示为　　km2． 12．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAC=30°，则∠B=　　度． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，tan∠BCD= ，AC=12，则 BC=　　． 14．如图，已知圆锥的底面半径 OA=3cm，高 SO=4cm，则该圆锥的侧面积为　　cm2． 15．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入 其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到 32+（﹣2）﹣1=6． 现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数 2，则 m=　　． 16．如图，点 P（3a，a）是反比例函 y= （k＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 10π ，则反比例函数的解析式为　　．第 4 页（共 29 页） 　 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．分解因式：2x2﹣8． 18．如图，AC 是▱ABCD 的对角线，CE⊥AD，垂足为点 E． （1）用尺规作图作 AF⊥BC，垂足为 F（保留作图痕迹）； （2）求证：△ABF≌△CDE． 19．设 A= ，B= （1）求 A 与 B 的差； （2）若 A 与 B 的值相等，求 x 的值． 20．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点 C，交⊙O 于点 D，点 E 在⊙O 上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB 的度数； （2）若 OC=3，OA=6，求 tan∠DEB 的值． 21．某学校举办一项小制作评比活动，对初一年级 6 个班的作品件数进行统计，绘制成如图所示的 统计图．已知从左到右各矩形的高度比为 2：3：4：6：4：1，其中三班的件数是 8．第 5 页（共 29 页） 请你回答： （1）本次活动共有　　件作品参赛； （2）经评比，四班和六班分别有 10 件和 2 件作品获奖，那么你认为这两个班中哪个班获奖率较高？ 为什么？ （3）小制作评比结束后，组委会评出了 4 件优秀作品 A、B、C、D．现决定从这 4 件作品中随机选 出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品 B、D 的概率． 22．已知购买 1 个足球和 1 个篮球共需 130 元，购买 2 个足球和 3 个篮球共需 340 元． （1）求每个足球和每个篮球的售价； （2）如果某校计划购买这两种球共 54 个，总费用不超过 4000 元，问最多可买多少个篮球？ 23．已知反比例函数 y= （a 为常数）的图象经过点 B（﹣4，2）． （1）求 a 的值； （2）如图，过点 B 作直线 AB 与函数 y= 的图象交于点 A，与 x 轴交于点 C，且 AB=3BC，过点 A 作直线 AF⊥AB，交 x 轴于点 F，求线段 AF 的长． 24．已知，在△ABC 中，AB=AC．过 A 点的直线 a 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋 转角 θ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合），△BMN 的边 MN 始终在直线 a 上（点 M 在点 N 的上方），且 BM=BN，连接 CN． （1）当∠BAC=∠MBN=90°时， ①如图 a，当 θ=45°时，∠ANC 的度数为　　； ②如图 b，当 θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由；第 6 页（共 29 页） （2）如图 c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明． 25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C（0，3），A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）．点 P 是抛物线上一个动点，且在直线 BC 的 上方． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP′C，那么是否存在点 P，使四边形 POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大，并求出此时点 P 的坐标和四边形 ABPC 的最大面积． 　第 7 页（共 29 页） 2016 年广东省广州市南沙区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，满分 30 分．在每小题给出的四个选项中只有一项是 符合题目要求的） 1．在﹣2，1，5，0 这四个数中，最大的数是（　　） A．﹣2 B．1 C．5 D．0 【考点】有理数大小比较． 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于 0； ②负数都小于 0；③正数大于一切负数进 行比较即可． 【解答】解：在﹣2，1，5，0 这四个数中， 大小顺序为：﹣2＜0＜1＜5， 所以最大的数是 5． 故选 C． 【点评】本题主要考查了有理数的大小的比较，解题的关键利用熟练掌握有理数的大小比较法则， 属于基础题． 　 2．下列计算正确的是（　　） A．（a+b）2=a2+b2 B．（ab）2=ab2 C．（a3）2=a5 D．a•a2=a3 【考点】完全平方公式；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方． 【专题】计算题． 【分析】A、原式利用完全平方公式展开得到结果，即可作出判断； B、原式利用积的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； C、原式利用幂的乘方运算法则计算得到结果，即可作出判断； D、原式利用同底数幂的乘法法则计算得到结果，即可作出判断． 【解答】解：A、原式=a2+2ab+b2，本选项错误； B、原式=a2b2，本选项错误； C、原式=a6，本选项错误； D、原式=a3，本选项正确．第 8 页（共 29 页） 故选 D． 【点评】此题考查了完全平方公式，合并同类项，去括号与添括号，以及同底数幂的除法，熟练掌 握公式及法则是解本题的关键． 　 3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A． B． C． D． 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】依据轴对称图形的定义和中心对称图形的定义回答即可． 【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故 A 错误； B、是中心对称图形，不是轴对称图形，故 B 错误； C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C 错误； D、既是轴对称图形，也是中心对称图形，故 D 正确． 故选：D． 【点评】本题主要考查的是轴对称图形和中心对称图形，掌握轴对称图形和中心对称图形的特点是 解题的关键． 　 4．如图，已知 A（1，3），将线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到 OA′，则OA′的长度是（　　） A． B．3 C．2 D．1 【考点】旋转的性质；坐标与图形性质． 【专题】计算题． 【分析】先利用勾股定理计算出 OA 的长，然后根据旋转的性质即可得到 OA′的长度． 【解答】解：∵A 点坐标为（1，3）， ∴OA= = ，第 9 页（共 29 页） ∵线段 OA 绕原点 O 顺时针旋转 90°后得到 OA′， ∴OA′=OA= ． 故选 A． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 　 5．如图，一个透明的玻璃正方体表面嵌有一根黑色的铁丝．这根铁丝在正方体俯视图中的形状是（　　 ） A． B． C． D． 【考点】简单组合体的三视图． 【分析】根据从上面看得到的图形是俯视图，可得答案． 【解答】解；从上面看得到的图形是 A 表示的图形， 故选：A． 【点评】本题考查了间的按组合体的三视图，从上面看得到的图形是俯视图． 　 6．如图所示，三角形纸片中，有一个角为 60°，剪去这个角后，得到一个四边形，则∠1+∠2 的度 数为（　　） A．120° B．180° C．240° D．300° 【考点】多边形内角与外角；三角形内角和定理． 【分析】三角形纸片中，剪去其中一个 60°的角后变成四边形，则根据多边形的内角和等于 360° 即可求得∠1+∠2 的度数． 【解答】解：∵∠A=60°，第 10 页（共 29 页） ∴∠B+∠C=180°﹣50°=120°． ∵四边形的内角和等于 360°， ∴∠1∠+2=360°﹣120°=240°． 故选 C． 【点评】本题考查的是多边形的内角与外角，熟知多边形的内角和公式是解答此题的关键． 　 7．已知点 P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内，则 a 的取值范围在数轴上可表示为（　　） A． B． C ． D． 【考点】在数轴上表示不等式的解集；点的坐标． 【分析】根据第二象限内点的特征，列出不等式组，求得 a 的取值范围，然后在数轴上分别表示出 a 的取值范围． 【解答】解：∵点 P（a﹣1，a+2）在平面直角坐标系的第二象限内， 则有 解得﹣2＜a＜1． 故选 C． 【点评】在数轴上表示不等式的解集时，大于向右，小于向左，有等于号的画实心原点，没有等于 号的画空心圆圈．第二象限的点横坐标为＜0，纵坐标＞0． 　 8．如图，在△ABC 中，已知∠ADE=∠B，则下列等式成立的是（　　）第 11 页（共 29 页） A． = B． = C． = D． = 【考点】相似三角形的判定与性质． 【分析】首先证明△AED∽△ACB，再根据相似三角形的性质：对应边成比例可得答案． 【解答】解：∵∠A=∠A，∠ADE=∠B， ∴△AED∽△ACB， ∴ ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，关键是掌握判断三角形相似的方法和相似三角 形的性质． 　 9．如图，PA、PB 是⊙O 的切线，A、B 是切点，点 C 是劣弧 AB 上的一个动点，若∠ACB=110°，则∠ P 的度数是（　　） A．55° B．30° C．35° D．40° 【考点】切线的性质． 【分析】首先在优弧 AB 上取点 D，连接 BD，AD，OB，OA，由圆的内接四边形的性质与圆周角定理， 可求得∠AOB 的度数，然后由 PA、PB 是⊙O 的切线，求得∠OAP 与∠OBP 的度数，继而求得答案． 【解答】解：在优弧 AB 上取点 D，连接 BD，AD，OB，OA， ∵∠ACB=110°， ∴∠D=180°﹣∠ACB=70°， ∴∠AOB=2∠D=140°，第 12 页（共 29 页） ∵PA、PB 是⊙O 的切线， ∴OA⊥PA，OB⊥PB， ∴∠OAP=∠OBP=90°， ∴∠P=360°﹣∠OAP﹣∠AOB﹣∠OBP=40°． 故选 D． 【点评】此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．注意准确作出辅助线是 解此题的关键． 　 10．在平面直角坐标系中，第一个正方形 ABCD 的位置如图所示，点 A 的坐标为（2，0），点 D 的坐 标为（0，4）．延长 CB 交 x 轴于点 A1，作第二个正方形 A1B1C1C；延长 C1B1 交 x 轴于点 A2，作第三 个正方形 A2B2C2C1，…，按这样的规律进行下去，第 2016 个正方形的面积为（　　） A．20×（ ）4030 B．20×（ ）4032 C．20×（ ）2016 D．20×（ ）2015 【考点】正方形的性质；坐标与图形性质． 【专题】规律型． 【分析】先求出正方形 ABCD 的边长和面积，再求出第一个正方形 A1B1C1C 的面积，得出规律，根据 规律即可求出第 2016 个正方形的面积． 【解答】解：∵点 A 的坐标为（2，0），点 D 的坐标为（0，4）， ∴OA=2，OD=4 ∵∠AOD=90°， ∴AB=AD= ，∠ODA+∠OAD=90°， ∵四边形 ABCD 是正方形，第 13 页（共 29 页） ∴∠BAD=∠ABC=90°，S 正方形 ABCD= =20， ∴∠ABA1=90°，∠OAD+∠BAA1=90°， ∴∠ODA=∠BAA1， ∴△ABA1∽△DOA， ∴ ，即 ， ∴BA1= ， ∴CA1= ， ∴正方形 A1B1C1C 的面积= =20× …，第 n 个正方形的面积为 ， ∴第 2016 个正方形的面积 ． 故选 A． 【点评】本题考查了正方形的性质以及坐标与图形性质；通过求出正方形 ABCD 和正方形 A1B1C1C 的 面积得出规律是解决问题的关键． 　 二、填空题（本大题共 6 小题，每小题 3 分，满分 18 分．） 11．地球上的海洋面积约为 361000000km2，则科学记数法可表示为　3.61×108　km2． 【考点】科学记数法—表示较大的数． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要 看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：将 361 000 000 用科学记数法表示为 3.61×108． 故答案为 3.61×108． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜ 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 　 12．如图，在菱形 ABCD 中，∠BAC=30°，则∠B=　120　度．第 14 页（共 29 页） 【考点】菱形的性质． 【分析】根据菱形的性质得 AC 平分∠BAD，AD∥BC，则∠BAC=∠DAC=30°，即∠BAD=60°，然后利 用两直线平行，同旁内角互补求∠B 的度数． 【解答】解：连接 AC， ∵四边形 ABCD 为菱形， ∴AC 平分∠BAD，AD∥BC， ∴∠BAC=∠DAC=30°， ∴∠BAD=60°， ∵AD∥BC， ∴∠ABC+∠BAD=180°， ∴∠ABC=120°． 故答案为 120 【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的 两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角． 　 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，tan∠BCD= ，AC=12，则 BC=　9　． 【考点】解直角三角形．第 15 页（共 29 页） 【专题】计算题；解直角三角形及其应用． 【分析】根据题意，利用同角的余角相等得到∠BCD=∠A，进而得到 tan∠BCD=tanA，利用锐角三角 函数定义求出 BC 的长即可． 【解答】解：∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB， ∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°， ∴∠BCD=∠A， ∴tan∠BCD=tanA= ， 在 Rt△ABC 中，AC=12， ∴tanA= = ， 则 BC=9， 故答案为：9 【点评】此题考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数定义是解本题的关键． 　 14．如图，已知圆锥的底面半径 OA=3cm，高 SO=4cm，则该圆锥的侧面积为　15π　cm2． 【考点】圆锥的计算． 【分析】利用勾股定理可求得圆锥的母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2． 【解答】解：底面半径 OA=3cm，高 SO=4cm，则勾股定理知，母线 AS=5cm，底面周长=6πcm，侧面 面积= ×6π×5=15πcm2． 故答案为：15π． 【点评】本题考查了圆锥的计算，利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解． 　 15．刘谦的魔术表演风靡全国，小明也学起了刘谦发明了一个魔术盒，当任意实数对（a，b）进入 其中时，会得到一个新的实数：a2+b﹣1，例如把（3，﹣2）放入其中，就会得到 32+（﹣2）﹣1=6． 现将实数对（m，﹣2m）放入其中，得到实数 2，则 m=　3 或﹣1　． 【考点】解一元二次方程-因式分解法．第 16 页（共 29 页） 【专题】压轴题；新定义． 【分析】根据题意，把实数对（m，﹣2m）代入 a2+b﹣1=2 中，得到一个一元二次方程，利用因式分 解法可求出 m 的值． 【解答】解：把实数对（m，﹣2m）代入 a2+b﹣1=2 中得 m2﹣2m﹣1=2 移项得 m2﹣2m﹣3=0 因式分解得（m﹣3）（m+1）=0 解得 m=3 或﹣1． 故答案为：3 或﹣1． 【点评】根据题意，把实数对（m，﹣2m）代入 a2+b﹣1=2 中，并进行因式分解，再利用积为 0 的特 点解出方程的根． 　 16．如图，点 P（3a，a）是反比例函 y= （k＞0）与⊙O 的一个交点，图中阴影部分的面积为 10π ，则反比例函数的解析式为　y= 　． 【考点】反比例函数图象的对称性． 【专题】计算题． 【分析】根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得，阴影部分的面积等于圆的面积的 ，即可 求得圆的半径，再根据 P 在反比例函数的图象上，以及在圆上，即可求得 k 的值． 【解答】解：设圆的半径是 r，根据圆的对称性以及反比例函数的对称性可得： πr2=10π 解得：r=2 ． ∵点 P（3a，a）是反比例函 y= （k＞0）与⊙O 的一个交点． ∴3a2=k． =r第 17 页（共 29 页） ∴a2= ×（2 ）2=4． ∴k=3×4=12， 则反比例函数的解析式是：y= ． 故答案是：y= ． 【点评】本题主要考查了反比例函数图象的对称性，正确根据对称性求得圆的半径是解题的关键． 　 三、解答题（本大题共 9 小题，满分 102 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．分解因式：2x2﹣8． 【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】因式分解． 【分析】先提取公因式﹣3，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 【解答】解：2x2﹣8=2（x2﹣4）=2（x+2）（x﹣2）． 【点评】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式， 然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 　 18．如图，AC 是▱ABCD 的对角线，CE⊥AD，垂足为点 E． （1）用尺规作图作 AF⊥BC，垂足为 F（保留作图痕迹）； （2）求证：△ABF≌△CDE． 【考点】作图—复杂作图；全等三角形的判定；平行四边形的性质． 【分析】（1）利用基本作图（过直线外一点作直线的垂线）作 AF⊥BC 于 F； （2）先利用平行四边形的性质得到∠B=∠D，AB=CD，然后根据“AAS”可判断△ABF≌△CDE． 【解答】（1）解：如图，AF 为所作；第 18 页（共 29 页） （2）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴∠B=∠D，AB=CD， ∵AF⊥BC，CE⊥AD， ∴∠AFB=∠CED=90°， 在△ABF 和△CDE 中 ∴△ABF≌△CDE． 【点评】本题考查了作图﹣复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合 了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图 形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了全等三角形的判断与平行四边形的 性质． 　 19．设 A= ，B= （1）求 A 与 B 的差； （2）若 A 与 B 的值相等，求 x 的值． 【考点】解分式方程；分式的加减法． 【分析】（1）首先通分，然后利用同分母的分式的加减法则求解； （2）根据 A 和 B 两个式子的值相等，即可列方程求解． 【解答】解：（1）A﹣B= =第 19 页（共 29 页） = = （2）∵A=B ∴ 去分母，得 2（x+1）=x 去括号，得 2x+2=x 移项、合并同类项，得 x=﹣2 经检验 x=2 是原方程的解． 【点评】本题考查了分式的加减以及分式方程的解法，解分式方程时一定要注意检验． 　 20．如图，AB 是⊙O 的一条弦，OD⊥AB，垂足为点 C，交⊙O 于点 D，点 E 在⊙O 上． （1）若∠AOD=52°，求∠DEB 的度数； （2）若 OC=3，OA=6，求 tan∠DEB 的值． 【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形． 【分析】（1）连接 OB，根据垂径定理得出 = ，故可得出∠BOD=∠AOD=52°，再由圆周角定理 即可得出结论； （2）根据 OD⊥AB，OC=3，OA=6 可得出∠OAC=30°，故∠AOC=60°，由此得出∠DEB 的度数，进而 可得出结论． 【解答】解：（1）连接 OB， ∵OD⊥AB， ∴ = ， ∴∠BOD=∠AOD=52°，第 20 页（共 29 页） ∴∠DEB= ∠BOD=26°； （2）∵OD⊥AB，OC=3，OA=6， ∴OC= OA，即∠OAC=30°， ∴∠AOC=60°， ∴∠DEB= ∠AOC=30°， ∴tan∠DEB= ． 【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆心角是解答此题的关键． 　 21．某学校举办一项小制作评比活动，对初一年级 6 个班的作品件数进行统计，绘制成如图所示的 统计图．已知从左到右各矩形的高度比为 2：3：4：6：4：1，其中三班的件数是 8． 请你回答： （1）本次活动共有　40　件作品参赛； （2）经评比，四班和六班分别有 10 件和 2 件作品获奖，那么你认为这两个班中哪个班获奖率较高？ 为什么？ （3）小制作评比结束后，组委会评出了 4 件优秀作品 A、B、C、D．现决定从这 4 件作品中随机选 出两件进行全校展示，请用树状图或列表法求出刚好展示作品 B、D 的概率． 【考点】列表法与树状图法；条形统计图．第 21 页（共 29 页） 【分析】（1）由题意得：本次活动共有参赛作品：8÷ ； （2）由（1）可求得四班和六班的作品，然后求得获奖率，即可求得答案； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与刚好展示作品 B、D 的情况， 再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）根据题意得：8÷ =40（件）； 答：本次活动共有 40 件作品参赛； 故答案为：40； （2）∵四班有作品：40× =12（件），六班有作品：40× =2（件）， ∴四班的获奖率为： = ，六班的获奖率为：1； ∵ ＜1， ∴六班的获奖率较高； （3）画树状图如下： ∵由树状图可知，所有等可能的结果为 12 种，其中刚好是（B，D）的有 2 种， ∴刚好展示作品 B、D 的概率为：P= = ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图的知识．用到的知识点为：概率=所求 情况数与总情况数之比． 　 22．已知购买 1 个足球和 1 个篮球共需 130 元，购买 2 个足球和 3 个篮球共需 340 元． （1）求每个足球和每个篮球的售价； （2）如果某校计划购买这两种球共 54 个，总费用不超过 4000 元，问最多可买多少个篮球？ 【考点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的应用． 【分析】（1）设每个篮球 x 元，每个足球 y 元，根据：①1 个足球费用+1 个篮球费用=130 元，②2第 22 页（共 29 页） 个足球费用+3 个篮球费用=340 元，列方程组求解可得； （2）设买 m 个篮球，则购买（54﹣m）个足球，根据：篮球总费用+足球的总费用≤4000，列不等式 求解可得． 【解答】解：（1）设每个篮球 x 元，每个足球 y 元， 由题意得， ， 解得： ， 答：每个篮球 80 元，每个足球 50 元； （2）设买 m 个篮球，则购买（54﹣m）个足球， 由题意得，80m+50（54﹣m）≤4000， 解得：m≤ ， ∵m 为整数， ∴m 最大取 43， 答：最多可以买 43 个篮球． 【点评】本题主要考查二元一次方程组与一元一次不等式的实际应用，根据题意找到相等关系与不 等关系是解方程组或不等式解题的关键． 　 23．已知反比例函数 y= （a 为常数）的图象经过点 B（﹣4，2）． （1）求 a 的值； （2）如图，过点 B 作直线 AB 与函数 y= 的图象交于点 A，与 x 轴交于点 C，且 AB=3BC，过点 A 作直线 AF⊥AB，交 x 轴于点 F，求线段 AF 的长． 【考点】反比例函数综合题． 【分析】（1）由反比例函数 y= （a 为常数）的图象经过点 B（﹣4，2），直接利用待定系数法 求解即可求得答案；第 23 页（共 29 页） （2）首先分别过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 D、E，易得△BCD∽△ACE，即可求得 A 的坐 标，由△ACE∽△FAE，即可求得答案． 【解答】解：（1）∵图象过点 B（﹣4，2），代入 y= ， ∴2= ， 解得：a=﹣12； （2）∵a=﹣12， ∴反比例函数解析式为 ， 分别过点 A、B 作 x 轴的垂线，垂足分别为点 D、E， ∵AB=3BC， ∴ ，BD=2， ∵AD∥BE， ∴△BCD∽△ACE， ∴ ， 即 ， ∴AE=8． ∴把 y=8 代入 ， 得 x=﹣1． ∴A（﹣1，8）， 设直线 AB 解析式为 y=kx+b， 把 A（﹣1，8），B（﹣4，2）代入解析式得， ， 解得： ， ∴直线 AB 解析式为 y=2x+10， 当 y=0 时，2x+10=0， 解得：x=﹣5， ∴C（﹣5，0），第 24 页（共 29 页） ∴ ， ∵AF⊥AB，AE⊥CF， ∴△ACE∽△FAE， ∴ ， ∴ = ， 解得：AF=8 ． 【点评】此题属于反比例函数综合题．考查了待定系数求函数解析式以及相似三角形的判定与性质． 注意准确作出辅助线是解此题的关键． 　 24．已知，在△ABC 中，AB=AC．过 A 点的直线 a 从与边 AC 重合的位置开始绕点 A 按顺时针方向旋 转角 θ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合），△BMN 的边 MN 始终在直线 a 上（点 M 在点 N 的上方），且 BM=BN，连接 CN． （1）当∠BAC=∠MBN=90°时， ①如图 a，当 θ=45°时，∠ANC 的度数为　45°　； ②如图 b，当 θ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由； （2）如图 c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必证明． 【考点】旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的性质；等腰直角三角形．第 25 页（共 29 页） 【专题】几何综合题；压轴题． 【分析】（1）①证明四边形 ABNC 是正方形，根据正方形的对角线平分一组对角线即可求解； ②根据等腰直角三角形的性质可得∠BNP=∠ACB，然后证明△BNP 和△ACP 相似，根据相似三角形对 应边成比例可得 = ，再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP 和△CNP 相似，然后根据相似 三角形对应角相等可得∠ANC=∠ABC，从而得解； （2）根据等腰三角形的两底角相等求出∠BNP=∠ACB，然后证明△BNP 和△ACP 相似，根据相似三角 形对应边成比例可得 = ，再根据两边对应成比例夹角相等可得△ABP 和△CNP 相似，然后根据 相似三角形对应角相等可得∠ANC=∠ABC，然后根据三角形的内角和定理列式整理即可得解． 【解答】解：（1）①∵∠BAC=90°，θ=45°， ∴AP⊥BC，BP=CP（等腰三角形三线合一）， ∴AP=BP（直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）， 又∵∠MBN=90°，BM=BN， ∴AP=PN（等腰三角形三线合一）， ∴AP=PN=BP=PC，且 AN⊥BC， ∴四边形 ABNC 是正方形， ∴∠ANC=45°； ②连接 CN，当 θ≠45°时，①中的结论不发生变化． 理由如下：∵∠BAC=∠MBN=90°，AB=AC，BM=BN， ∴∠ABC=∠ACB=∠BNP=45°， 又∵∠BPN=∠APC， ∴△BNP∽△ACP，第 26 页（共 29 页） ∴ = ， 又∵∠APB=∠CPN， ∴△ABP∽△CNP， ∴∠ANC=∠ABC=45°； （2）∠ANC=90°﹣ ∠BAC． 理由如下：∵∠BAC=∠MBN≠90°，AB=AC，BM=BN， ∴∠ABC=∠ACB=∠BNP= （180°﹣∠BAC）， 又∵∠BPN=∠APC， ∴△BNP∽△ACP， ∴ = ， 又∵∠APB=∠CPN， ∴△ABP∽△CNP， ∴∠ANC=∠ABC， 在△ABC 中，∠ABC= （180°﹣∠BAC）=90°﹣ ∠BAC． 【点评】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，以及等腰三角形三线合一的性质，（1）② 与（2）中，先根据两角对应相等，两三角形相似求出两边比值相等，再根据两边对应成比例，夹角 相等得到另两个相似三角形是解题的关键． 　 25．（14 分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y=﹣x2+bx+c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点， 与 y 轴交于 C（0，3），A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0）．点 P 是抛物线上一个动点，且 在直线 BC 的上方． （1）求这个二次函数的表达式． （2）连接 PO、PC，并把△POC 沿 CO 翻折，得到四边形 POP′C，那么是否存在点 P，使四边形 POP′C 为菱形？若存在，请求出此时点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大，并求出此时点 P 的坐标和四边形 ABPC 的最大面积．第 27 页（共 29 页） 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式； （2）根据菱形的对角线互相平分，可得 P 点的纵坐标，根据函数值与自变量的对应关系，可得答案 ； （3）根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得 m 的值，根据自变量与函数值的 对应关系，可得 P 点坐标． 【解答】解：（1）将 B、C 两点的坐标代入得 ， 解得 ． 所以二次函数的表达式为 y=﹣x2+2x+3； （2）如图， ， 存在点 P，使四边形 POP′C 为菱形． 设 P 点坐标为（x，﹣x2+2x+3）， PP′交 CO 于 E 若四边形 POPC 是菱形，则有 PC=PO． 连接 PP 则 PE⊥CO 于 E． ∴OE=CE= ， ∴y= ．第 28 页（共 29 页） ∴ 解得 x1= ，x2= （不合题意，舍去） ∴P 点的坐标为 ． （3）如图 1， ， 过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F，设 P（x，﹣x2+2x+3） 易得，直线 BC 的解析式为 y=﹣x+3． 则 Q 点的坐标为（x，﹣x+3）． PQ=﹣x2+3x． S 四边形 ABPC=S△ABC+S△BPQ+S△CPQ= AB•OC+ QP•BF+ QP•OF = ×4×3+ （﹣x2+3x）×3 =﹣ （x﹣ ）2+ ， 当 时，四边形 ABPC 的面积最大 此时 P 点的坐标为 ，四边形 ABPC 面积的最大值为 ． 【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用零星的性质得出 P 点的 纵坐标是解题关键；利用面积的和差得出二次函数是解题关键． 　第 29 页（共 29 页）