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2016 年山西省百校联考中考数学模拟试卷（二）
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1．山西省某地某天的最低温度为﹣7℃，且昼夜温差为 12℃，则最高温度为（ ）
A．5℃ B．7℃ C．﹣12℃ D．﹣5℃
2．如图为一个正方体的表面展开图，则该正方体的六个表面中，与“善”字相对的面上的字是（ ）
A．敬 B．业 C．诚 D．信
3．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2=x5 B．x3﹣x3=x0 C．x3÷x2=x D．（x3）2=x5
4．山西剪纸是一门古老的民间艺术，下面四幅剪纸艺术作品中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
5．如图，一个直角三角尺的直角顶点和一个锐角顶点分别落在直线 l1 和 l2 上，且 l1∥l2，∠1=30°
，当∠2=10°时，∠3 的度数是（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
6．我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一
根长为 1 尺的木杆，第 1 次截取其长度的一半，第 2 次截取其第 1 次剩下长度的一半，第 3 次截取
其第 2 次剩下长度的一半，如此反复，则第 99 次截取后，此木杆剩下的长度为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
7．现有五张完全相同的卡片，某同学在其中四张的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节第 2 页（共 32 页）
这四个中国传统节日，在第五张的正面写上了国庆节，然后把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一
张卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式组 的整数解的个数是（ ）
A．无数个 B．6 C．5 D．4
9．某银行规定：客户定期存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行会自动将到期的存款
本息按相同存期一并转存，不受次数限制，续存期利率按前期到期日的利率计算．某人在 2014 年 10
月 24 日在此银行存入一年定期存款若干元．存款年利率为 3%．2015 年 10 月 24 日．该客户没有前
往该银行办理转存手续，且该银行一年定期存款年利率于当日调整为 1.5%．若该客户在 2016 年 10
月 24 日到银行取出该笔存款，可得到利息 909 元，则该客户在 2014 年 10 月 24 日存入的本金为（
）
A．16000 元 B．18000 元 C．20000 元 D．22000 元
10．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙A 切 y 轴于点 B，且点 A 在反比例函数 y= （x＞0）的
图象上，连接 OA 交⊙A 于点 C，且点 C 为 OA 中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 ﹣ B．4 C．2 D．2
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11．计算（ ）﹣1×|﹣3|﹣（﹣4）的结果是 ．
12．计算： + = ．
13．如图，在 4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为 1，该点阵图中已有两个阵第 3 页（共 32 页）
点分别标为 A、B，请在此点阵图中找一个阵点 C，使得以点 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形，
则符合条件的点 C 有 个．
14．如图，正方形 ABCD 内有一点 O 使得△OBC 是等边三角形，连接 OA 并延长，交以 O 为圆心 OB 长
为半径的⊙O 于点 E，连接 BD 并延长交⊙O 于点 F，连接 EF，则∠EFB 的度数为 度．
15．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，若 S△ADE=1，则四边形 DBCE 的面积 S
△DBCE= ．
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（1）计算： ；
（2）因式分解：（a+2）（a﹣2）+4（a+1）+4．
17．实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一
些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在▱ABCD 中，AB=4，BC=6
，∠ABC=60°，请完成下列任务：
（1）在图 1 中作一个菱形，使得点 A、B 为所作菱形的 2 个顶点，另外 2 个顶点在▱ABCD 的边上；
在图 2 中作一个菱形，使点 B、D 为所作菱形的 2 个顶点，另外 2 个顶点在▱ABCD 的边上；（尺规作
图，保留作图痕迹，不写作法）
（ 2 ） 请 在 图 形 下 方 横 线 处 直 接 写 出 你 按 （ 1 ） 中 要 求 作 出 的 菱 形 的 面 积 ．第 4 页（共 32 页）
18．某校积极倡导学生展示自我，发展综合素质，在新学期举办的校园文化艺术节中，学生可以在
舞蹈、器乐、声乐、小品、播音主持五个类别中挑选一项报名参加比赛，八年级学生小明从本年级
学生各个类别的报名登记表中随机抽取了一部分学生的报名情况进行整理，并制作了如下不完整的
条形统计图和扇形统计图，请解答下列问题：
（1）小明随机抽取了 名学生的报名情况进行整理，扇形统计图中，表示 E 类别部分的扇形的圆
心角度数为 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小华认为如果知道八年级报名参加比赛的总人数，则根据小明制作的统计图就可以估算出八年
级报名参加声乐比赛的人数．小明认为如果知道初中三个年级报名参加比赛的总人数，则根据自己
制作的统计图也可以估算出整个初中年级报名参见声乐比赛的人数．你认为他俩的看法对吗？并说
明你的理由．
19．发现与探究：如图，△ABC 和△DCE 中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=45°，点 B、C、E 三点共
线，且 BC：CE=2：1，连接 AE、BD．
（1）在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形（用“≌”表示），并加以证
明；
（2）求 tan∠BDC 的值．
20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=k1x+b 与反比例函数 y= 的图象交于点 A（﹣3，第 5 页（共 32 页）
2）和点 B（1，m），连接 BO 并延长与反比例函数 y= 的图象交于点 C．
（1）求一次函数 y=k1x+b 和反比例函数 y= 的表达式；
（2）是否在双曲线 y= 上存在一点 D，使得以点 A、B、D、C 为顶点的四边形成为平行四边形？若
存在，请直接写出点 D 的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．
21．农业现代化是我国“十三五”的重要规划之一，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新
型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年，合作社 600 亩玉米喜获丰收．合作社打算雇佣玉米
收割机收割玉米，现有 A、B 两种型号收割机可供选择，且每台 B 种型号收割机每天的收个亩数是 A
种型号的 1.5 倍，如果单独使用一台收割机将 600 亩玉米全部收割完，A 种型号收割机比 B 种型号
收割机多用 10 天．
（1）求 A、B 两种型号收割机每台每天收个玉米的亩数；
（2）已知 A 种型号收割机收费是 45 元/亩，B 种型号收割机收费是 50 元/亩，经过研究，合作社计
划同时雇佣 A、B 两种型号收割机各一台合作完成 600 亩玉米的收割任务，则合作社需要支付的玉米
收割总费用为多少元？
数学活动：拼图中的数学
22．问题背景：数学活动课上老师出示问题，如图 1，有边长为 a 的正方形纸片一张，三边长分别
为 a、b、c 的全等直角三角形纸片两张，且 b ．请你用这三张纸片拼出一个图案，并将这个图
案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出 a、b 的值第 6 页（共 32 页）
等等）．
解决问题：
下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．
（1）“爱心”小组提出的问题是：如图 2，将△DFC 绕点 F 逆时针旋转，使点 D 恰好落在 AD 边上的
点 D′处，猜想此时四边形 AEFD′是什么特殊四边形，并加以证明；
（2）“希望”小组提出的问题是：如图 3，点 M 为 BE 中点，将△DCF 向左平移至 DF 恰好过点 M 时
停止，且补充条件 a=6，b=2，求△DCF 平移的距离．
自主创新：
（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图 4 的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图
，并在横线处写出你提出的问题．（不必解答）
你提出的问题： ．
23．综合探究：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=﹣ 与 x 轴交于点 A（﹣6，
0）和点 B（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 为线段 AO 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂
线 l 与抛物线交于点 E，连接 AE、EC．
（1）求抛物线的表达式及点 C 的坐标；
（2）连接 AC 交直线 l 于点 D，则在点 P 运动过程中，当点 D 为 EP 中点时，S△ADP：S△CDE= ；
（3）如图 2，当 EC∥x 轴时，点 P 停止运动，此时，在抛物线上是否存在点 G，使得以点 A、E、G
为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 G 的坐标，若不存在，说明理由．第 7 页（共 32 页）
第 8 页（共 32 页）
2016 年山西省百校联考中考数学模拟试卷（二）
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的，请选出并在答题卡上将该项涂黑．
1．山西省某地某天的最低温度为﹣7℃，且昼夜温差为 12℃，则最高温度为（ ）
A．5℃ B．7℃ C．﹣12℃ D．﹣5℃
【考点】有理数的减法．
【分析】根据有理数的减法，即可解答．
【解答】解：∵最高温度﹣最低温度=温差，
∴最高温度为：温差+最低气温=12+（﹣7）=5（℃），
故选：A．
【点评】本题考查了有理数的减法，解决本题的关键是熟记有理数的减法．
2．如图为一个正方体的表面展开图，则该正方体的六个表面中，与“善”字相对的面上的字是（ ）
A．敬 B．业 C．诚 D．信
【考点】专题：正方体相对两个面上的文字．
【分析】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答．
【解答】解：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，
“敬”与“信”是相对面，
“业”与“友”是相对面，
“诚”与“善”是相对面．
故选 C．
【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形，从相对面入手，分
析及解答问题．第 9 页（共 32 页）
3．下列运算正确的是（ ）
A．x3+x2=x5 B．x3﹣x3=x0 C．x3÷x2=x D．（x3）2=x5
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．
【分析】依据同底数幂的除法法则，合并同类项法则，积的乘方法则进行判断即可．
【解答】解；A、x3 与 x2 不是同类项不能合并，故 A 错误；
B、x3﹣x3=0，故 B 错误；
C、x3÷x2=x，正确．
D、（x3）2=x6，故 D 错误．
故选：C．
【点评】本题主要考查的是同底数幂的除法、合并同类项、积的乘方法则的应用，熟练掌握相关法
则是解题的关键．
4．山西剪纸是一门古老的民间艺术，下面四幅剪纸艺术作品中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
【考点】中心对称图形．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转 180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这
个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【解答】解：A、不是中心对称图形，故此选项错误；
B、不是中心对称图形，故此选项错误；
C、不是中心对称图形，故此选项错误；
D、是中心对称图形，故此选项正确；
故选：D．
【点评】此题主要考查了中心对称图形的定义，关键是掌握中心对称图形要寻找对称中心，旋转 180
度后两部分重合．
5．如图，一个直角三角尺的直角顶点和一个锐角顶点分别落在直线 l1 和 l2 上，且 l1∥l2，∠1=30°第 10 页（共 32 页）
，当∠2=10°时，∠3 的度数是（ ）
A．45° B．40° C．35° D．30°
【考点】平行线的性质；三角形的外角性质．
【分析】根据三角形外角性质求出∠4，根据平行线的性质得出∠3=∠4，即可得出答案．
【解答】解：
∵∠1=30°，∠2=10°，
∴∠4=∠1+∠2=40°，
∵l1∥l2，
∴∠3=∠4=40°，
故选 B．
【点评】本题考查了平行线的性质，三角形外角性质的应用，能根据平行线的性质得出∠3=∠4 是
解此题的关键．
6．我国古代典籍《庄子•天下篇》中曾说过一句话：“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，现有一
根长为 1 尺的木杆，第 1 次截取其长度的一半，第 2 次截取其第 1 次剩下长度的一半，第 3 次截取
其第 2 次剩下长度的一半，如此反复，则第 99 次截取后，此木杆剩下的长度为（ ）
A． 尺 B． 尺 C． 尺 D． 尺
【考点】有理数的乘方．
【专题】计算题；实数．
【分析】根据题意，利用乘方的意义确定出剩下的长度即可．
【解答】解：第 1 次截取其长度的一半，剩下长度为 ×1= 尺，
第 2 次截取其第 1 次剩下长度的一半，剩下的长度为 ×1= 尺，第 11 页（共 32 页）
第 3 次截取其第 2 次剩下长度的一半，剩下的长度为 ×1= 尺，
如此反复，
第 99 次截取后，木杆剩下的长度为 ×1= （尺），
则此木杆剩下的长度为 尺．
故选 B
【点评】此题考查了有理数的乘方，熟练掌握乘方的意义是解本题的关键．
7．现有五张完全相同的卡片，某同学在其中四张的正面分别写上了春节、清明节、端午节、重阳节
这四个中国传统节日，在第五张的正面写上了国庆节，然后把卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一
张卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是（ ）
A． B． C． D．
【考点】概率公式．
【分析】由现有五张完全相同的卡片，某同学在其中四张的正面分别写上了春节、清明节、端午节、
重阳节这四个中国传统节日，在第五张的正面写上了国庆节，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵现有五张完全相同的卡片，某同学在其中四张的正面分别写上了春节、清明节、端
午节、重阳节这四个中国传统节日，在第五张的正面写上了国庆节，
∴从中随机抽取一张卡片，则所抽取卡片正面所写节日是中国传统节日的概率是： ．
故选 A．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
8．不等式组 的整数解的个数是（ ）
A．无数个 B．6 C．5 D．4
【考点】一元一次不等式组的整数解．
【分析】先对一元一次不等式组进行求解，再根据 x 取整数解将 x 的取值列举出来，从而可得整数
解的个数．
【解答】解：解不等式组 得：﹣3＜x＜2，第 12 页（共 32 页）
又由于 x 是整数，则 x 可取﹣2，﹣1，0，1．
所以不等式组整数解的个数是 4．
故选 D．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的整数解，求不等式组的解集要遵循以下原则：同大取较大，
同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了．
9．某银行规定：客户定期存款到期后，客户如不前往银行办理转存手续，银行会自动将到期的存款
本息按相同存期一并转存，不受次数限制，续存期利率按前期到期日的利率计算．某人在 2014 年 10
月 24 日在此银行存入一年定期存款若干元．存款年利率为 3%．2015 年 10 月 24 日．该客户没有前
往该银行办理转存手续，且该银行一年定期存款年利率于当日调整为 1.5%．若该客户在 2016 年 10
月 24 日到银行取出该笔存款，可得到利息 909 元，则该客户在 2014 年 10 月 24 日存入的本金为（
）
A．16000 元 B．18000 元 C．20000 元 D．22000 元
【考点】一元一次方程的应用．
【分析】该客户在 2014 年 10 月 24 日存入的本金为 x 元，根据利息=本金×利率×时间求出 2015
年 10 月 24 日获得的利息为 3%x 元，那么本息和为（x+3%x）元，再根据
该客户在 2016 年 10 月 24 日到银行取出该笔存款，可得到利息 909 元列出方程，求解即可．
【解答】解：该客户在 2014 年 10 月 24 日存入的本金为 x 元，则 2015 年 10 月 24 日获得的利息为
3%x 元，本息和为（x+3%x）元，
根据题意得，3%x+（x+3%x）×1.5%=909，
即 0.03x+1.03x×0.015=909，
0.04545x=909，
解得 x=20000．
答：该客户在 2014 年 10 月 24 日存入的本金为 20000 元．
故选 C．
【点评】本题考查了一元一次方程的应用，掌握利息=本金×利率×时间的公式以及理解计算 2015
到 2016 年的利息时本金为 2015 年 10 月 24 日的本息和是解题的关键．
10．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，⊙A 切 y 轴于点 B，且点 A 在反比例函数 y= （x＞0）的第 13 页（共 32 页）
图象上，连接 OA 交⊙A 于点 C，且点 C 为 OA 中点，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．4 ﹣ B．4 C．2 D．2
【考点】反比例函数系数 k 的几何意义；扇形面积的计算．
【分析】连接 AB，根据反比例函数系数 k 的几何意义得出 S△AOB=2 ，根据点 C 为 OA 中点，得出 AB=
OA，即可求得∠OAB=60°，根据面积求得 AB 的长，然后求得扇形的面积，即可求得阴影的面积．
【解答】解：连接 AB，BC，
∵点 A 在反比例函数 y= （x＞0）的图象上，
∴S△AOB= ×4 =2 ，
∴ OB•AB=2 ，
∵点 C 为 OA 中点，
∴BC= OA=AC，
∴△ABC 是等边三角形，
∴∠OAB=60°，
∴ =tan60°= ，
∴OB= AB，
∴ • AB•AB=2 ，
∴AB=2，
∴S 扇形= = = ，
∴S 阴影=S△AOB﹣S 扇形=2 ﹣ ，
故选 D．第 14 页（共 32 页）
【点评】本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，直角三角形斜边中线的性质，等边三角形的判
定和性质以及扇形的面积等，作出辅助线构建等边三角形是解题的关键．
二、填空题：本大题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分．
11．计算（ ）﹣1×|﹣3|﹣（﹣4）的结果是 10 ．
【考点】负整数指数幂．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用负整数指数幂法则，绝对值的代数意义，以及乘法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式=2×3+4=6+4=10，
故答案为：10
【点评】此题考查了负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
12．计算： + = x+1 ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题．
【分析】原式变形后，利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式= ﹣ = =x+1．
故答案为：x+1
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
13．如图，在 4×5 的点阵图中，每两个横向和纵向相邻阵点的距离均为 1，该点阵图中已有两个阵第 15 页（共 32 页）
点分别标为 A、B，请在此点阵图中找一个阵点 C，使得以点 A、B、C 为顶点的三角形是等腰三角形，
则符合条件的点 C 有 5 个．
【考点】等腰三角形的判定．
【分析】由已知条件，分别 AB 为腰找等腰三角形和 AB 为底找等腰三角形．
【解答】解：画出图形得：
故答案为：5
【点评】本题考查等腰三角形的判定；分类讨论的应用是正确解答本题的关键，要注意仔细找不要
遗漏．
14．如图，正方形 ABCD 内有一点 O 使得△OBC 是等边三角形，连接 OA 并延长，交以 O 为圆心 OB 长
为半径的⊙O 于点 E，连接 BD 并延长交⊙O 于点 F，连接 EF，则∠EFB 的度数为 37.5 度．
【考点】圆周角定理；等边三角形的判定；正方形的性质．
【分析】根据正方形的性质得到∠ABC=90°，由△OBC 是等边三角形，得到∠OBC=60°，根据等腰
三角形的性质得到∠AOB= （180°﹣30°）=75°，由圆周角定理即可得到结论．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是正方形，
∴∠ABC=90°，
∵△OBC 是等边三角形，第 16 页（共 32 页）
∴∠OBC=60°，
∴∠ABO=30°，
∵AB=BO，
∴∠AOB= （180°﹣30°）=75°，
∴ AOB=37.5°，
故答案为：37.5．
【点评】本题考查了圆周角定理，正方形的性质等边三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
15．如图，在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，连接 DE，若 S△ADE=1，则四边形 DBCE 的面积 S
△DBCE= 3 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理．
【分析】根据三角形中位线定理可得 DE∥BC，且 BE= BC；从而判定△ADE∽△ABC，因为相似三角
形的面积比是相似比的平方，则可得出 S△ADE：S△ABC 的比，则△ADE 的面积：四边形 DBCE 的面积可
求，已知△ADE 的面积，即可得解．
【解答】解：∵在△ABC 中，D、E 分别是 AB、AC 的中点，
∴DE∥BC，且 BE= BC，
∴△ADE∽△ABC，且相似比为 1：2，
∵相似三角形的面积比是相似比的平方，
∴S△ADE：S△ABC 的比=1：4，则△ADE 的面积：四边形 DBCE 的面积=1：3，
∵S△ADE=1，
∴四边形 DBCE 的面积=3．
故填 3．
【点评】本题主要考查中位线定理及相似三角形判定及及性质，要牢记并熟练掌握．
第 17 页（共 32 页）
三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（1）计算： ；
（2）因式分解：（a+2）（a﹣2）+4（a+1）+4．
【考点】实数的运算；因式分解-运用公式法；特殊角的三角函数值．
【专题】因式分解；实数．
【分析】（1）原式利用算术平方根，立方根定义，以及特殊角的三角函数值计算即可得到结果；
（2）原式整理后，利用完全平方公式分解即可．
【解答】解：（1）原式= ﹣ × ﹣2= ﹣ ﹣2=﹣2；
（2）原式=a2﹣4+4a+4+4=a2+4a+4=（a+2）2．
【点评】此题考查了实数的运算，以及因式分解﹣运用公式法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
17．实践与操作：我们在学习四边形的相关知识时，认识了平行四边形、矩形、菱形、正方形等一
些特殊的四边形，下面我们用尺规作图的方法来体会它们之间的联系．如图，在▱ABCD 中，AB=4，BC=6
，∠ABC=60°，请完成下列任务：
（1）在图 1 中作一个菱形，使得点 A、B 为所作菱形的 2 个顶点，另外 2 个顶点在▱ABCD 的边上；
在图 2 中作一个菱形，使点 B、D 为所作菱形的 2 个顶点，另外 2 个顶点在▱ABCD 的边上；（尺规作
图，保留作图痕迹，不写作法）
（ 2 ） 请 在 图 形 下 方 横 线 处 直 接 写 出 你 按 （ 1 ） 中 要 求 作 出 的 菱 形 的 面 积 ．
【考点】菱形的性质；平行四边形的性质；作图—复杂作图．
【分析】（1）如图 1，在 AD、BC 上分别截取 AF=BE=4，连结 EF，则四边形 ABEF 是菱形；
如图 2，连结 BD，作 BD 的垂直平分线，交 AD 于 E，BC 于 F，则四边形 BEDF 是菱形；
（2）如图 1，作▱ABCD 的高 AH，根据菱形的面积=底×高列式计算即可；
如图 2，设 BD 与 EF 交于点 O，作 DM⊥BC 于 M，则 CM=BH=2，DM=AH=2 ．分别求出 BD 与 EF，根据
菱形的面积=两对角线乘积的一半列式计算即可．
【解答】解：（1）如图所示：第 18 页（共 32 页）
（2）如图 1，作▱ABCD 的高 AH．
在直角△ABH 中，∵AB=4，∠ABC=60°，
∴AH=AB•sin60°=4× =2 ，BH=AB•cos60°=4× =2，
∴S 菱形 ABEF=BE•AH=4×2 =8 ；
如图 2，设 BD 与 EF 交于点 O，作 DM⊥BC 于 M，则 CM=BH=2，DM=AH=2 ．
在直角△BDM 中，∵∠M=90°，
∴BD= = =2 ．
设 BF=x，CF=y，则 DF=x，
由题意得 ，
解得 ，
∴OF= = = ，
∴S 菱形 ABEF= BD•EF= ×2 × = ．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，作图﹣复杂作图，熟练掌握定理是解
题的关键．
第 19 页（共 32 页）
18．某校积极倡导学生展示自我，发展综合素质，在新学期举办的校园文化艺术节中，学生可以在
舞蹈、器乐、声乐、小品、播音主持五个类别中挑选一项报名参加比赛，八年级学生小明从本年级
学生各个类别的报名登记表中随机抽取了一部分学生的报名情况进行整理，并制作了如下不完整的
条形统计图和扇形统计图，请解答下列问题：
（1）小明随机抽取了 50 名学生的报名情况进行整理，扇形统计图中，表示 E 类别部分的扇形的
圆心角度数为 14.4 度；
（2）将条形统计图补充完整；
（3）小华认为如果知道八年级报名参加比赛的总人数，则根据小明制作的统计图就可以估算出八年
级报名参加声乐比赛的人数．小明认为如果知道初中三个年级报名参加比赛的总人数，则根据自己
制作的统计图也可以估算出整个初中年级报名参见声乐比赛的人数．你认为他俩的看法对吗？并说
明你的理由．
【考点】条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图．
【分析】（1）根据 A 类的人数和所占的百分比求出总人数，再用 360 乘以 E 类别部分所占的百分比
即可求出 E 类别部分的扇形的圆心角的度数；
（2）用总人数乘以 C 类别部分所占的百分比求出 C 类的人数，从而补全统计图；
（3）根据 50 名同学报名类别的样本是从八年级的报名中随机抽出来的，对于八年级来说，具有代
表性，而对于全校三个年级来说，不具有代表性，所以只能由此估算出八年级报名参加声乐比赛的
人数，而不能估算出整个初中年级报名参加声乐比赛的人数，从而得出小明与小华说的是否正确．
【解答】解：（1）小明随机抽取的学生数是： =50（名），
表示 E 类别部分的扇形的圆心角度数为 360× =14.4°；
故答案为：50，14.4；
（2）C 类的人数是：50×40%=20（人），
补图如下：第 20 页（共 32 页）
（3）小华的看法正确，小明的看法不正确，理由如下：
因为 50 名同学报名类别的样本是从八年级的报名中随机抽出来的，所以对于八年级来说，具有代
表性，而对于全校三个年级来说，不具有代表性，所以只能由此估算出八年级报名参加声乐比赛的
人数，而不能估算出整个初中年级报名参加声乐比赛的人数．
【点评】本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问
题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
19．发现与探究：如图，△ABC 和△DCE 中，AC=BC，DC=EC，∠ACB=∠DCE=45°，点 B、C、E 三点共
线，且 BC：CE=2：1，连接 AE、BD．
（1）在不添加辅助线和字母的情况下，请在图中找出一对全等三角形（用“≌”表示），并加以证
明；
（2）求 tan∠BDC 的值．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】（1）根据 SAS 证明△BCD 与△ACE 全等即可；
（2）作 AF⊥BE，利用三角函数进行解答即可．
【解答】解：（1）△BCD≌△ACE，
∵∠ACB=∠DCE，
∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，即∠BCD=∠ACE，
在△BCD 与△ACE 中 ，
∴△BCD≌△ACE（SAS）；第 21 页（共 32 页）
（2）作 AF⊥BE，如图：
∵BC：CE=2：1，
∴设 BC=2k，CE=k，
在 Rt△AFC 中，AC=BC=2k，∠ACF=45°，
∴FC=AC•cos45°=2k× ，EF=FC+CE= k+k=（ +1）k，
∵∠FAC=45°，
∴AF= k，
由（1）得△BCD≌△ACE，
∴∠BDC=∠AEC，
∴在 Rt△AFE 中，tan∠BDC=tan∠AEC= ．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角函数等知识点的综合运用，题目综合性比较强，
有一定的难度，关键是根据 SAS 证明△BCD 与△ACE 全等．
20．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，一次函数 y=k1x+b 与反比例函数 y= 的图象交于点 A（﹣3，
2）和点 B（1，m），连接 BO 并延长与反比例函数 y= 的图象交于点 C．
（1）求一次函数 y=k1x+b 和反比例函数 y= 的表达式；
（2）是否在双曲线 y= 上存在一点 D，使得以点 A、B、D、C 为顶点的四边形成为平行四边形？若
存在，请直接写出点 D 的坐标，并求出该平行四边形的面积；若不存在，请说明理由．第 22 页（共 32 页）
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）将 A 坐标代入反比例解析式求出 k2 的值，确定出反比例解析式，将 B 坐标代入反比
例解析式求 m 的值，确定出 B 坐标，将 A 与 B 坐标代入一次函数解析式求出 k1 与 b 的值，即可确定
出一次函数解析式；
（2）根据中心对称求得 C 的坐标，然后根据平移的性质和 A、C、B 的坐标即可求得 D 的坐标，作 AM
⊥y 轴于 M，BN⊥y 轴于 N，设直线 AB 交 y 轴于 E，则 E（0，﹣4），根据 S△AOB=S△AOE+S△BOE 求得△AOB
的面积，进而即可求得平行四边形的面积．
【解答】解：（1）将 A（﹣3，2）代入反比例解析式得：k2=﹣6，
则反比例解析式为 y=﹣ ；
将 B（1，m）代入反比例解析式得：m=﹣6，即 B（1，﹣6），
将 A 与 B 坐标代入 y=k1x+b 中，得： ，
解得： ，
则一次函数解析式为 y=﹣2x﹣4；
（2）存在，
∵B、C 关于原点对称，B（1，﹣6），
∴C（﹣1，6），
∵四边形 ABDC 是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴设直线 CD 的解析式为 y=﹣2x+n，
代入 C（﹣1，6）得，6=2+n，
解得 n=4，第 23 页（共 32 页）
解 得 或 ，
∴D（3，﹣2）；
作 AM⊥y 轴于 M，BN⊥y 轴于 N，设直线 AB 交 y 轴于 E，则 E（0，﹣4），
∴OE=4，
∴S△AOB=S△AOE+S△BOE= OE•AM+ OE•BN
= ×4×3+ ×4×1=8，
∴S 平行四边形=4S=4×8=32．
【点评】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系
数法确定函数解析式，平行四边形的判定和性质，三角形的面积等，利用了数形结合的思想，熟练
掌握待定系数法是解本题的关键．
21．农业现代化是我国“十三五”的重要规划之一，某地农民积极响应政府号召，自发成立现代新
型农业合作社，适度扩大玉米种业规模，今年，合作社 600 亩玉米喜获丰收．合作社打算雇佣玉米
收割机收割玉米，现有 A、B 两种型号收割机可供选择，且每台 B 种型号收割机每天的收个亩数是 A
种型号的 1.5 倍，如果单独使用一台收割机将 600 亩玉米全部收割完，A 种型号收割机比 B 种型号
收割机多用 10 天．
（1）求 A、B 两种型号收割机每台每天收个玉米的亩数；
（2）已知 A 种型号收割机收费是 45 元/亩，B 种型号收割机收费是 50 元/亩，经过研究，合作社计
划同时雇佣 A、B 两种型号收割机各一台合作完成 600 亩玉米的收割任务，则合作社需要支付的玉米
收割总费用为多少元？第 24 页（共 32 页）
【考点】分式方程的应用．
【分析】（1）利用单独使用一台收割机将 600 亩玉米全部收割完，A 种型号收割机比 B 种型号收割
机多用 10 天，进而得出等式求出答案；
（2）首先利用（1）中所求，求出完成 600 亩玉米的收割任务所用的时间，进而求出总的费用．
【解答】解：（1）设每台 A 种型号收割机每天收割玉米 x 亩，则每台 B 种型号收割机每天收割玉米
1.5x 亩，
由题意可得： ﹣ =10，
解得：x=20，
经检验得：x=20 是原方程的解，
1.5x=1.5×20=30，
答：每台 A 种型号收割机每天收割玉米 20 亩，则每台 B 种型号收割机每天收割玉米 30 亩；
（2）设 A，B 两种型号收割机合作 m 天完成收割任务，则：
（20+30）m=600，
解得：m=12，
则合作社的玉米收割总费用=12×20×45+12×30×50
=28800（元）
答：合作社需要支付的玉米收割总费用为 28800 元．
【点评】此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，根据题意正确得出等量关系是
解题关键．
数学活动：拼图中的数学
22．问题背景：数学活动课上老师出示问题，如图 1，有边长为 a 的正方形纸片一张，三边长分别
为 a、b、c 的全等直角三角形纸片两张，且 b ．请你用这三张纸片拼出一个图案，并将这个图
案的某部分进行旋转或平移变换之后，提出一个问题（可以添加其他条件，例如可以给出 a、b 的值
等等）．第 25 页（共 32 页）
解决问题：
下面是两个学习小组拼出图案后提出的问题，请你解决他们提出的问题．
（1）“爱心”小组提出的问题是：如图 2，将△DFC 绕点 F 逆时针旋转，使点 D 恰好落在 AD 边上的
点 D′处，猜想此时四边形 AEFD′是什么特殊四边形，并加以证明；
（2）“希望”小组提出的问题是：如图 3，点 M 为 BE 中点，将△DCF 向左平移至 DF 恰好过点 M 时
停止，且补充条件 a=6，b=2，求△DCF 平移的距离．
自主创新：
（3）请你仿照上述小组的同学，在下面图 4 的空白处用实线画出你拼出的图案，用虚线画出变换图
，并在横线处写出你提出的问题．（不必解答）
你提出的问题： 当 a=6，b=2 时，点 M，N 分别为 AD，BC 中点，将△MNF 沿 CB 方向移动，使点 M
落在点 A 处时，在 AB 上，AF′交 ME 于 G，求△GEF 的面积． ．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）由正方形的性质得结论判断出四边形 GFCD 为矩形，然后用平行且相等判断出四边形
AEFD′是平行四边形；
（2）先判断出△BMF 为直角三角形，再根据勾股定理求出 BE，判断出△BMF′∽△BCE，用比例式计
算即可．
提出的问题：
用平移得特征得 EH=F′H= EF′= ，在用三角形的面积公式计算．
【解答】证明：（1）作 FG⊥AD，
∵四边形 ABCD 是正方形，第 26 页（共 32 页）
∴∠ADC=∠C=90°，AD∥BC，
∴四边形 GFCD 是矩形，
∴GD=FC=b，
∴FD=FD′，
∴D′G=DG=b，
∴AD′=AD﹣2DG=a﹣2b，
∵BE=FC=b，
∴EF=BC﹣2FC=a﹣2b，
∴AD′=EF，
∵AD′∥EF，
∴四边形 AEFD′是平行四边形，
（2）由平移知，∠C′D′F′=∠CDF=∠EBC，
∵∠C′D′F′+∠BF′M=90°，
∴∠MBF′+∠BF′M=90°，
∴∠BMF′=90°，
由勾股定理得，BE= =2 ，
∵点 M 为 BE 中点，
∴BM= ，
∵∠BMF′=∠BCE，∠MBF′=∠CBE，
∴△BMF′∽△BCE，
∴ ，
∴ ，
∴BF′= ，
∵BF=BC+CF=8，
∴F′F=BF﹣BF′= ，
∴△DCF 平移得距离为 ；
提出的问题：
如图，第 27 页（共 32 页）
∵MN=BC=b=6，NF=BF′=a=2，
∴FC=BE=F′N=1，
∴EF′=1，
∴EH=F′H= EF′= ，
∵GH∥AB，
∴
∴ ，
∴GH= ，
∴S△GEF′= ×EF′×GH= ．
【点评】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，相似三
角形的性质和判定，平移得性质，解本题的关键是判断△BMF 是直角三角形．
23．综合探究：如图 1，在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 y=﹣ 与 x 轴交于点 A（﹣6，
0）和点 B（点 A 在点 B 左侧），与 y 轴交于点 C，点 P 为线段 AO 上的一个动点，过点 P 作 x 轴的垂
线 l 与抛物线交于点 E，连接 AE、EC．
（1）求抛物线的表达式及点 C 的坐标；
（2）连接 AC 交直线 l 于点 D，则在点 P 运动过程中，当点 D 为 EP 中点时，S△ADP：S△CDE= 1：2 ；
（3）如图 2，当 EC∥x 轴时，点 P 停止运动，此时，在抛物线上是否存在点 G，使得以点 A、E、G
为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点 G 的坐标，若不存在，说明理由．第 28 页（共 32 页）
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）用待定系数法求出抛物线解析式，令 x=0 求出 y 轴交点坐标；
（2）先确定出直线 AC 解析式为 y= x+8，设出点 E 的坐标，表示出点 D（m，﹣ m2+﹣ x+4），
而点 D 在直线 AC 上，列出方程 m+8=﹣ m2+﹣ x+4，求出 m，从而得出结论；
（3）先求出点 P 的坐标，再分两种情况计算Ⅰ、当∠AEG=90°时，判断出△EMG∽△APE，得出比例
式求解即可，Ⅱ、当∠EAG=90°时，判断出△GNA∽△APE，得到比例式计算．
【解答】解：（1）∵点 A（﹣6，0）在抛物线 y=﹣ x2+bx+8 上，
∴0=﹣ （﹣6）2+b（﹣6）+8，
∴b=﹣ ，
∴y=﹣ x2﹣ x+8，
令 x=0，y=8，
∴C（0，8）
（2）设 E（m，﹣ m2﹣ m+8），
∴P（m，0），
∵点 D 为 EP 中点，
∴DP=DE，D（m，﹣ m2+﹣ x+4），
∵A（﹣6，0），C（0，8），
∴直线 AC 解析式为 y= x+8，
∵点 D 在直线 AC 上，
∴ m+8=﹣ m2+﹣ x+4，第 29 页（共 32 页）
∴m=﹣6（舍）或 m=﹣4，
∴P（﹣4，0）
∴AP=2，OP=4，
∴ ；
故答案为 1：2
（3）存在点 G 使得以点 A，E，G 为顶点的三角形为直角三角形，
连接 EG，AG，作 GM⊥l，GN⊥x 轴，
∵EC∥x 轴，
∴EP=CO=8，
把 y=8 代入 y=﹣ x2﹣ x+8，
∴8=﹣ x2﹣ x+8，
∴x=0（舍），或 x=﹣2，
∴P（﹣2，0），
∴AP=AO﹣PO=4，
Ⅰ、如图 1，
当∠AEG=90°时，
∴∠MEG+∠AEP=90°，
∵∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠MEG=∠EAP，
∵∠APE=∠EMG=90°，
∴△EMG∽△APE，第 30 页（共 32 页）
∴ ，
设点 G（m，﹣ m2﹣ m+8）（m＞0），
∴GN=MP=﹣ m2﹣ m+8，
∴EM=EP﹣MP=8﹣（﹣ m2﹣ m+8）=y= m2+ m，
MG=PN=PO+ON=2+m，
∵ ，
∴ ，
∴m=﹣2（舍）或 m= ，
∴G（ ， ）；
Ⅱ、如图 2，
当∠EAG=90°时，
∴∠NAG+∠EAP=90°，
∵∠AEP+∠EAP=90°，
∴∠NAG=∠AEP，
∵∠APE=∠GNA=90°，
∴△GNA∽△APE，
∴ ，
设点 G（n，﹣ n2﹣ n+8）（n＞0，﹣ n2﹣ n+8＜0），
∴GN= m2+ m+8，第 31 页（共 32 页）
∴AN=AO+ON=6+n，
∵ ，
∴ ，
∴n=﹣6（舍），或 n= ，
∴G（ ，﹣ ），
符合条件的 G 点的坐标为 G（ ， ）或 G（ ，﹣ ），
【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，相似三角形的性质和判定，
判断三角形相似是解本题的关键．
第 32 页（共 32 页）
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