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2016 年天津市河北区中考数学一模试卷
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．计算 3﹣（﹣6）的结果等于（ ）
A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9
2．2cos60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
3 ． 下 列 图 形 中 ， 中 心 对 称 图 形 有 （ ）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
4．地球绕太阳公转的速度约是 110000 千米/时，110000 用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×106 B．11×104 C．1.1×105 D．1.1×104
5．如图所示为某几何体的示意图，该几何体的左视图应为（ ）
A． B． C． D．
6．判断 的值会介于下列哪两个整数之间（ ）
A．17，18 B．18，19 C．19，20 D．21，22
7．计算 的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．1
8．如图，过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 l∥BE，则∠1 的度数为（ ）第 2 页（共 28 页）
A．30° B．36° C．38° D．45°
9．若关于 x、y 的二元一次方程组 的解满足 x+y＞1，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜﹣2 D．k＜﹣3
10．如图，矩形 ABCD 中，M 为 CD 中点，分别以 B、M 为圆心，以 BC 长、MC 长为半径画弧，两弧相
交于点 P，若∠PBC=70°，则∠MPC 的度数为（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
11．一次函数 y1=kx+b（k≠0）与反比例函数 y2= ，在同一直角坐标系中的图象如图所示，
若 y1＜y2，则 x 的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0 或 x＞1 B．x＞1 C．x＜﹣2 或 0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1
12．如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（1，3），与 x 轴的一
个交点为 B，直线 y2=mx+n（m≠0）经过 A、B 两点，下列结论：
①当 x＜1 时，有 y1＜y2；
②a+b+c=m+n；
③b2﹣4ac=﹣12a；
④若 m﹣n=﹣5，则 B 点坐标为（4，0）第 3 页（共 28 页）
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请将答案在试卷后面的答题纸的相应位置．
13．计算：2x3•（﹣3x）2 的结果等于 ．
14．在一次函数 y=kx+2 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第 象限．
15．在一个不透明的盒子里，装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀
后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 50 次，其中 10 次摸到黑
球，则估计盒子中大约有白球 个．
16．命题“对顶角相等”的“条件”是 ．
17．如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，若 ED：DC=2：3，△DEF
的面积为 8，则平行四边形 ABCD 的面积为 ．
18．如图，将△ABP 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、B、P 均落在格点上．
（1）△ABP 的面积等于 ；
（2）若线段 AB 水平移动到 A′B′，且使 PA′+PB′最短，请你在如图所示的网格中，用直尺画出
A′B′，并简要说明画图的方法（不要求证明） ．第 4 页（共 28 页）
三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．请将答案在
试卷后面的答题纸的相应位置．
19．解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．
20．某教师就中学生对课外数阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了中学生每学期
阅读课外书籍数量的统计图（不完整）．设 x 表示阅读书籍的数量（x 为正整数，单位：本），其
中 A：1≤x≤2；B：3≤x≤4；C：5≤x≤6；D：x≥7．请你根据两幅图提供的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图，并判断中位数在哪一组；
（3）计算扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数．
21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若 BC=6，sin∠P= ，求 AB 的值．第 5 页（共 28 页）
22．如图所示，两个建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 51m，某同学住在建筑物 AB 内 10 楼 M 室，他观
测建筑物 CD 楼的顶部 D 处的仰角为 30°，测得底部 C 处的俯角为 45°，求建筑物 CD 的高度．（
取 1.73，结果保留整数）
23．某市为美化城市，有关部门决定利用现有的 4200 盆甲种花卉和 3090 盆乙种花卉，搭配成 A、B
两种园艺造型共 60 个，摆放于主干街道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况如下表所示，结
合上述信息，解答下列问题：
造型花卉 甲 乙
A 80 40
B 50 70
（1）符合题意的搭配方案有几种？
（2）如果搭配一个 A 种造型的成本为 600 元，搭配一个 B 种造型的成本为 800 元，试说明选用那种
方案成本最低？最低成本为多少元？
24．已知：如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，5），C（ ，0），AOCD 为矩形，AE 垂直于
对角线 OD 于 E，点 F 是点 E 关于 y 轴的对称点，连 AF、OF．
（1）求 AF 和 OF 的长；
（2）如图②，将△OAF 绕点 O 顺时针旋转一个角 α（0°＜α＜180°），记旋转中的△OAF 为△
OA′F′，在旋转过程中，设 A′F′所在的直线与线段 AD 交于点 P，与线段 OD 交于点 Q，是否存在第 6 页（共 28 页）
这样的 P、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
25．如图，已知二次函数 y=ax2+ 的图象与 y 轴交于点 A（0，4），与 x 轴交于点 B、C，点 C
坐标为（8，0），连 AB、AC，点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合）过点 N 作 NM∥AC，交 AB
于点 M．
（1）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）当以点 A、M、N 为顶点的三角形与以点 A、B、O 为顶点的三角形相似时，求点 N 的坐标；
（3）当△AMN 面积等于 3 时，直接写出此时点 N 的坐标．
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2016 年天津市河北区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 3 分，共 36 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是
符合题目要求的．
1．计算 3﹣（﹣6）的结果等于（ ）
A．﹣9 B．﹣3 C．3 D．9
【考点】有理数的减法．
【专题】计算题；推理填空题．
【分析】根据有理数的减法法则，求出计算 3﹣（﹣6）的结果等于多少即可．
【解答】解：3﹣（﹣6）
=3+6
=9
故计算 3﹣（﹣6）的结果等于 9．
故选：D．
【点评】此题主要考查了有理数的减法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①在进行减法运
算时，首先弄清减数的符号；②将有理数转化为加法时，要同时改变两个符号：一是运算符号（减
号变加号）；二是减数的性质符号（减数变相反数）．
2．2cos60°的值等于（ ）
A．1 B． C． D．2
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】根据 60°角的余弦值等于 进行计算即可得解．
【解答】解：2cos60°=2× =1．
故选 A．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记 30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．
3 ． 下 列 图 形 中 ， 中 心 对 称 图 形 有 （ ）第 8 页（共 28 页）
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
【考点】中心对称图形．
【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
【解答】解：第一个不是中心对称图形．故错误；
第二个是中心对称图形．故正确；
第三个是中心对称图形．故正确；
第四个不是中心对称图形．故错误．
故选：B．
【点评】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形
两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合．
4．地球绕太阳公转的速度约是 110000 千米/时，110000 用科学记数法表示为（ ）
A．0.11×106 B．11×104 C．1.1×105 D．1.1×104
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要
看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1
时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数．
【解答】解：将 110000 用科学记数法表示为：1.1×105．
故选：C．
【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜
10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值．
5．如图所示为某几何体的示意图，该几何体的左视图应为（ ）第 9 页（共 28 页）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据左视图是从左边看得到的图形，可得答案．
【解答】解：从左边看是一个矩形，中间有一条水平平的虚线，
故选：C．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，注意看不到的线用虚线表示．
6．判断 的值会介于下列哪两个整数之间（ ）
A．17，18 B．18，19 C．19，20 D．21，22
【考点】估算无理数的大小．
【分析】先求出 17、18、19、20 的平方，再求出 × = ，即可得出选项．
【解答】解： × = ，
∵182=324，192=361，172=289，202=400，
∴ × 在 18 和 19 之间，
故选 B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小的应用，能正确估算无理数的大小是解此题的关键．
7．计算 的值是（ ）
A．0 B．2 C．﹣1 D．1
【考点】分式的加减法．
【分析】分母不变，把分子相加减即可．
【解答】解：原式=
=
=1．
故选 D．
【点评】本题考查的是分式的加减法，熟知同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减是解答
此题的关键．
第 10 页（共 28 页）
8．如图，过正五边形 ABCDE 的顶点 A 作直线 l∥BE，则∠1 的度数为（ ）
A．30° B．36° C．38° D．45°
【考点】平行线的性质；等腰三角形的性质；多边形内角与外角．
【分析】首先根据多边形内角和计算公式计算出每一个内角的度数，再根据等腰三角形的性质计算
出∠AEB，然后根据平行线的性质可得答案．
【解答】解：∵ABCDE 是正五边形，
∴∠BAE=（5﹣2）×180°÷5=108°，
∴∠AEB=（180°﹣108°）÷2=36°，
∵l∥BE，
∴∠1=36°，
故选：B．
【点评】此题主要考查了正多边形的内角和定理，以及三角形内角和定理，平行线的性质，关键是
掌握多边形内角和定理：（n﹣2）．180° （n≥3）且 n 为整数．
9．若关于 x、y 的二元一次方程组 的解满足 x+y＞1，则实数 k 的取值范围是（ ）
A．k＜0 B．k＜﹣1 C．k＜﹣2 D．k＜﹣3
【考点】二元一次方程组的解；解一元一次不等式．
【分析】根据代入法，可得方程组的解，根据 x+y＞1，可得关于 k 的不等式，根据解不等式，可得
答案．
【解答】解：由 2x+y=k﹣2，得 y=k﹣2﹣2x③，
把③代入 3x+2y=﹣4，得
3x+2（k﹣2﹣2x）=﹣4．解得 x=2k．
把 x=2k 代入③，得
y=﹣2﹣3k．
由 x+y＞1，得第 11 页（共 28 页）
2k﹣2﹣3k＞1．
解得 k＜﹣3，
故选：D．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，利用代入消元法得出方程组的解是解题关键，又利用了不
等式的性质．
10．如图，矩形 ABCD 中，M 为 CD 中点，分别以 B、M 为圆心，以 BC 长、MC 长为半径画弧，两弧相
交于点 P，若∠PBC=70°，则∠MPC 的度数为（ ）
A．55° B．40° C．35° D．20°
【考点】矩形的性质．
【分析】根据 BP=BC，MP=MC，∠PBC=70°，得出∠BCP= （180°﹣∠PBC），再根据∠BCD=90°，
得出∠MCP=90°﹣∠BCP=35°，进行计算即可．
【解答】解：∵以 B、M 为圆心，分别以 BC 长、MC 长为半径的两弧相交于 P 点，
∴BP=BC，MP=MC，
∵∠PBC=70°，
∴∠BCP= （180°﹣∠PBC）= （180°﹣70°）=55°，
在长方形 ABCD 中，∠BCD=90°，
∴∠MCP=90°﹣∠BCP=90°﹣55°=35°，
∴∠MPC=∠MCP=35°．
故选：C．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，用到的知识点是矩形的四个角都是直角、等腰三角形两底
角相等、三角形的内角和定理，是基础题．
11．一次函数 y1=kx+b（k≠0）与反比例函数 y2= ，在同一直角坐标系中的图象如图所示，第 12 页（共 28 页）
若 y1＜y2，则 x 的取值范围是（ ）
A．﹣2＜x＜0 或 x＞1 B．x＞1 C．x＜﹣2 或 0＜x＜1 D．﹣2＜x＜1
【考点】反比例函数的性质．
【分析】直接根据函数图象可得出结论．
【解答】解：由函数图象可知，当 x＜﹣2 或 0＜x＜1 时，一次函数的图象在二次函数图象的下方．
故选 C．
【点评】本题考查的是反比例函数的性质，根据题意利用数形结合求出不等式的解集是解答此题的
关键．
12．如图是抛物线 y1=ax2+bx+c（a≠0）图象的一部分，抛物线的顶点坐标 A（1，3），与 x 轴的一
个交点为 B，直线 y2=mx+n（m≠0）经过 A、B 两点，下列结论：
①当 x＜1 时，有 y1＜y2；
②a+b+c=m+n；
③b2﹣4ac=﹣12a；
④若 m﹣n=﹣5，则 B 点坐标为（4，0）
其中正确的是（ ）
A．① B．①② C．①②③ D．①②③④
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】利用图象判定①；利用抛物线和直线都经过顶点 A 可判定②；利用顶点坐标判定③；利用
待定系数法求得直线解析式，进而求得 B 的坐标，宽判定④．第 13 页（共 28 页）
【解答】解：∵由图象可知，当 x＜1 时，有 y1＜y2，故①正确；
∵抛物线的顶点坐标 A（1，3），直线 y2=mx+n（m≠0）经过 A 点，
∴当 x=1 时，y1=y2，
∴a+b+c=m+n，故②正确；
∵抛物线的最大值为 =3，
∴4ac﹣b2=12a，
∴b2﹣4ac=﹣12a，故③正确；
∵抛物线经过 A（1，3），
∴代入 y2=mx+n 得，m+n=3，
解 得 ，
∴y2=﹣x+4，
令 y=0，则 x=4，
∴B（4，0），故④正确；
故选 D．
【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数 y=ax2+bx+c（a≠0），当 a＞0 时，
抛物线向上开口；当 a＜0 时，抛物线向下开口；一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位
置：当 a 与 b 同号时（即 ab＞0），对称轴在 y 轴左； 当 a 与 b 异号时（即 ab＜0），对称轴在 y
轴右；常数项 c 决定抛物线与 y 轴交点，抛物线与 y 轴交于（0，c）；抛物线与 x 轴交点个数由△
决定：△=b2﹣4ac＞0 时，抛物线与 x 轴有 2 个交点；△=b2﹣4ac=0 时，抛物线与 x 轴有 1 个交点；△
=b2﹣4ac＜0 时，抛物线与 x 轴没有交点．
二、填空题：本大题共 6 小题，每小题 3 分，共 18 分．请将答案在试卷后面的答题纸的相应位置．
13．计算：2x3•（﹣3x）2 的结果等于 18x5 ．
【考点】单项式乘单项式；幂的乘方与积的乘方．
【分析】先算积的乘方，然后依据单项式乘单向项法则进行计算即可．
【解答】解：原式=2x3•9x2=18x5．
故答案为：18x5．
【点评】本题主要考查的是单向式乘单向式、积的乘方，掌握相关运算法则是解题的关键．第 14 页（共 28 页）
14．在一次函数 y=kx+2 中，若 y 随 x 的增大而增大，则它的图象不经过第 四 象限．
【考点】一次函数图象与系数的关系．
【专题】探究型．
【分析】先根据函数的增减性判断出 k 的符号，再根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可．
【解答】解：∵在一次函数 y=kx+2 中，y 随 x 的增大而增大，
∴k＞0，
∵2＞0，
∴此函数的图象经过一、二、三象限，不经过第四象限．
故答案为：四．
【点评】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数 y=kx+b（k≠0）中，当 k＞0，b＞
0 时，函数的图象经过一、二、三象限．
15．在一个不透明的盒子里，装有 4 个黑球和若干个白球，它们除颜色外没有任何其他区别，摇匀
后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回盒子中，不断重复，共摸球 50 次，其中 10 次摸到黑
球，则估计盒子中大约有白球 16 个．
【考点】利用频率估计概率．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例
关系入手，设未知数列出方程求解．
【解答】解：∵共试验 50 次，其中有 10 次摸到黑球，
∴白球所占的比例为 = ，
设盒子中共有白球 x 个，则 = ，
解得：x=16．
故答案为：16．
【点评】本题考查利用频率估计概率．大量反复试验下频率稳定值即概率．关键是根据白球的频率
得到相应的等量关系．
16．命题“对顶角相等”的“条件”是 两个角是对顶角 ．
【考点】命题与定理．第 15 页（共 28 页）
【分析】根据命题由题设与结论组成可得到对顶角相等”的“条件”是若两个角是对顶角，结论是
这两个角相等．
【解答】解：“对顶角相等”的“条件”是两个角是对顶角．
故答案为：两个角是对顶角．
【点评】本题考查了命题：判断事物的语句叫命题；正确的命题称为真命题；错误的命题称为假命
题；命题由题设与结论组成，两个互换题设与结论的命题称为互逆命题．
17．如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，若 ED：DC=2：3，△DEF
的面积为 8，则平行四边形 ABCD 的面积为 60 ．
【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．
【分析】根据平行四边形的性质得出 AB=DC，AD∥BC，AB∥CD，证出△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
求出△CEB 的面积为 50，△ABF 的面积为 18，即可求出答案．
【解答】解：∵四边形 ABCD 是平行四边形，
∴AB=DC，AD∥BC，AB∥CD，
∵ED：DC=2：3，
∴ED：CE=2：5，ED：AB=2：3，
∵AD∥BC，AB∥CD，
∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF，
∴ =（ ）2=（ ）2= ， =（ ）2=（ ）2=
∵△DEF 的面积为 8，
∴△CEB 的面积为 50，△ABF 的面积为 18，
∴四边形 DFBC 的面积为 50﹣8=42，
∴平行四边形 ABCD 的面积为 42+18=60，
故答案为：60．
【点评】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质和判定的应用，能求出△CEB 和△ABF 的第 16 页（共 28 页）
面积是解此题的关键．
18．如图，将△ABP 放在每个小正方形的边长为 1 的网格中，点 A、B、P 均落在格点上．
（1）△ABP 的面积等于 2 ；
（2）若线段 AB 水平移动到 A′B′，且使 PA′+PB′最短，请你在如图所示的网格中，用直尺画出
A′B′，并简要说明画图的方法（不要求证明） ．
【考点】作图-平移变换；轴对称-最短路线问题．
【分析】（1）直接根据三角形的面积公式即可得出结论；
（2）将点 A 向下平移 2 格得到点 Q，连接 PQ，与点 A 所在的水平线交于点 A′，同时将点 PQ 向上
平移 1 格，再向右平移 2 格得到点 M、N，连接 MN 与点 B 所在水平线交于点 B′，连接 A′B′即为
所求．
【解答】解：（1）S△ABC= ×2×2=2．
故答案为：2；
（2）如图所示，A′B′=AB= = ．
故答案为： ．
【点评】本题考查的是作图﹣平移变换，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键．第 17 页（共 28 页）
三、解答题：本大题共 7 小题，共 66 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程．请将答案在
试卷后面的答题纸的相应位置．
19．解不等式组 ，并写出不等式组的整数解．
【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解．
【专题】压轴题；探究型．
【分析】分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在 x 的取值范围内找出符合条件的 x 的整
数值即可．
【解答】解：由①得，x≥﹣ ；由②得，x＜4，
故此不等式组的解集为：﹣ ≤x＜4 整数解有：0，1，2，3．
【点评】本题考查的是解一元一次不等式组及一元一次不等式组的整数解，熟知“同大取大；同小
取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
20．某教师就中学生对课外数阅读状况进行了一次问卷调查，并根据调查结果绘制了中学生每学期
阅读课外书籍数量的统计图（不完整）．设 x 表示阅读书籍的数量（x 为正整数，单位：本），其
中 A：1≤x≤2；B：3≤x≤4；C：5≤x≤6；D：x≥7．请你根据两幅图提供的信息解答下列问题：
（1）本次共调查了多少名学生？
（2）补全条形统计图，并判断中位数在哪一组；
（3）计算扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数．
【考点】中位数；扇形统计图；条形统计图．
【分析】（1）用 A 组的频数除以 A 组所占的百分比即可求得抽查的学生人数；第 18 页（共 28 页）
（2）用总人数减去 A、B、C 组的频数即可求得 D 组的频数，从而补全统计图；
（3）用该组的频数除以总人数乘以周角的度数即可求得圆心角的度数；
【解答】解：（1）38÷19%=200（人）．
（2）D 组的频数为：200﹣38﹣74﹣48=40，如图：
∵共 200 名学生，第 100 和第 101 的平均数为中位数，
∴中位数落在第二小组；
（3）扇形统计图中扇形 D 的圆心角的度数 360°× =72°．
【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到
必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映
部分占总体的百分比大小．
21．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，点 P 在⊙O 上，∠1=∠C．
（1）求证：CB∥PD；
（2）若 BC=6，sin∠P= ，求 AB 的值．
【考点】圆周角定理；垂径定理；解直角三角形．
【分析】（1）根据∠1=∠C 及圆周角定理可得出∠1=∠P，由此可得出结论；第 19 页（共 28 页）
（2）连接 AC，根据圆周角定理得出∠ACB=90°，再由垂径定理得出 = ，故可得出∠P=∠CAB，
根据锐角三角函数的定义即可得出结论．
【解答】（1）证明：∵∠1=∠C，∠C=∠P，
∴∠1=∠P，
∴CB∥PD．
（2）解：连接 AC，
∵AB 是⊙O 的直径，
∴∠ACB=90°．
∵CD⊥AB，
∴ = ，
∴∠P=∠CAB，
∴sin∠CAB= = ．
∵BC=6，
∴AB=15．
【点评】本题考查的是圆周角定理，根据题意作出辅助线，构造出圆周角是解答此题的关键．
22．如图所示，两个建筑物 AB 和 CD 的水平距离为 51m，某同学住在建筑物 AB 内 10 楼 M 室，他观
测建筑物 CD 楼的顶部 D 处的仰角为 30°，测得底部 C 处的俯角为 45°，求建筑物 CD 的高度．（
取 1.73，结果保留整数）第 20 页（共 28 页）
【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
【分析】过点 M 作 ME⊥CD 于 E，则四边形 BCEP 是矩形，得到 ME=BC=30，在 Rt△MDE 中，利用∠
DME=30°，求得 DE 的长；在 Rt△MEC 中，利用∠EMC=45°，求得 CE 的长，利用 CD=DE﹢CE 即可求
得结果．
【解答】解：过点 M 作 ME⊥CD 于 E，则四边形 BCEM 是矩形．
∴ME=BC=51．
在 Rt△MDE 中，
∵∠DME=30°，ME=30，
∴DE=ME×tan30°=51× =17 ．
在 Rt△MEC 中，∵∠EMC=45°，ME=51，
∴CE=ME×tan45°=51×1=30．
∴CD=DE﹢CE=51﹢17 =30﹢17.3≈80（m）．
答：建筑物 CD 的高约为 80m．
【点评】本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用
三角函数解直角三角形．第 21 页（共 28 页）
23．某市为美化城市，有关部门决定利用现有的 4200 盆甲种花卉和 3090 盆乙种花卉，搭配成 A、B
两种园艺造型共 60 个，摆放于主干街道的两侧，搭配每个造型所需花卉数量的情况如下表所示，结
合上述信息，解答下列问题：
造型花卉 甲 乙
A 80 40
B 50 70
（1）符合题意的搭配方案有几种？
（2）如果搭配一个 A 种造型的成本为 600 元，搭配一个 B 种造型的成本为 800 元，试说明选用那种
方案成本最低？最低成本为多少元？
【考点】一元一次不等式组的应用．
【分析】（1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60﹣x）个，根据“4200 盆甲种花
卉”“3090 盆乙种花卉”列不等式求解，取整数值即可．
（2）计算出每种方案的花费，然后即可判断出答案．
【解答】解：（1）设需要搭配 x 个 A 种造型，则需要搭配 B 种造型（60﹣x）个，
则有 ，
解得 37≤x≤40，
所以 x=37 或 38 或 39 或 40．
第一种方案：A 种造型 37 个，B 种造型 23 个；
第二种方案：A 种造型 38 个，B 种造型 22 个；
第三种方案：A 种造型 39 个，B 种造型 21 个．
第四种方案：A 种造型 40 个，B 种造型 20 个；
（2）分别计算四种方案的成本为：
①37×600+23×800=40600 元，
②38×600+22×800=40400 元，
③39×600+21×800=40200 元，
④40×600+20×800=40000 元．
通过比较可知第④种方案成本最低．第 22 页（共 28 页）
答：选择第四种方案成本最低，最低为 40000 元．
【点评】此题考查了一元一次不等式组的应用，是一道实际问题，有一定的开放性，（1）根据图表
信息，利用所用花卉数量不超过甲、乙两种花卉的最高数量列不等式组解答；（2）为最优化问题，
根据（1）的结果直接计算即可．
24．已知：如图①，在平面直角坐标系 xOy 中，A（0，5），C（ ，0），AOCD 为矩形，AE 垂直于
对角线 OD 于 E，点 F 是点 E 关于 y 轴的对称点，连 AF、OF．
（1）求 AF 和 OF 的长；
（2）如图②，将△OAF 绕点 O 顺时针旋转一个角 α（0°＜α＜180°），记旋转中的△OAF 为△
OA′F′，在旋转过程中，设 A′F′所在的直线与线段 AD 交于点 P，与线段 OD 交于点 Q，是否存在
这样的 P、Q 两点，使△DPQ 为等腰三角形？若存在，求出此时点 P 坐标；若不存在，请说明理由．
【考点】几何变换综合题．
【分析】（1）运用勾股定理和面积相等法结合轴对称性质即可求解；
（2）画出图形，根据 PQ=PD，PD=DQ 结合平行线的性质，对顶角相等和角的等量代换，运用勾股定
理即可求解．
【解答】解：（1）如图①第 23 页（共 28 页）
∵OA=5，AD=OC= ，
由勾股定理可求．OD= ，
∵AE×OD=AO×AD，
∴AE=4，
∴OE= =3，
∵点 F 是点 E 关于 y 轴的对称点，
∴AF=AE=4，OF=OE=3；
（2）如图②
若 PD=PQ，
易得∠1=∠2=∠3，
∵∠1=∠A′，
∴∠3=∠A′，
∴OQ=OA′=5，
∴DQ= ，
过点 P 作 PH⊥DQ，第 24 页（共 28 页）
∴ ，
∵cos∠1= ，
∴DP= ，
∴AP= ，
∴此时点 P 的坐标为（ ，5）；
如图③
∵点 P 在线段 AD 上，
∴∠1＞∠PDQ，
∴QP，QD 不会相等；
如图③，
若 DP=DQ，
易得，∠1=∠2=∠3=∠4，
∵∠3=∠5+∠A′，∠A′=∠COD，
∴∠4=∠A′OQ，
∴A′Q=A′O=5，
∴F′Q=5﹣4=1，
∴OQ= ，
∴DP=DQ= ﹣ ，
∴AP=AD﹣DP= ﹣ ，第 25 页（共 28 页）
∴此时点 P 的坐标为：（ ﹣ ，5）．
【点评】此题主要考查几何变换的综合问题，熟悉轴对称和旋转的性质，会针对等腰进行分类讨论，
数练运用勾股定理和角的等量代换是解题的关键．
25．如图，已知二次函数 y=ax2+ 的图象与 y 轴交于点 A（0，4），与 x 轴交于点 B、C，点 C
坐标为（8，0），连 AB、AC，点 N 在线段 BC 上运动（不与点 B、C 重合）过点 N 作 NM∥AC，交 AB
于点 M．
（1）判断△ABC 的形状，并说明理由；
（2）当以点 A、M、N 为顶点的三角形与以点 A、B、O 为顶点的三角形相似时，求点 N 的坐标；
（3）当△AMN 面积等于 3 时，直接写出此时点 N 的坐标．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）根据待定系数法可得函数解析式，根据自变量与函数值的对应关系，可得 B 点坐标，
根据勾股定理及逆定理，可得答案；
（2）根据相似三角形的性质，可得 = = ，根据 BN 与 AN 的关系，可得 n，可得答案；
（3）根据相似三角形的判定与性质，等量代换，可得， = ，可得 MD，根据面积的和差，可
得 n 的值，可得答案．
【解答】解：（1）∵图象与 y 轴交于点 A（0，4），
∴m=4．把点 C 的坐标代入函数解析式，得 a=﹣ ．
二次函数解析式为 y=﹣ x2+ x+4．
当 y=0 时，﹣ x2+ x+4=0，解得 x=8，x=﹣2．
∴点 B 的坐标为（﹣2，0）．
∴AB2=BO2+AO2=20，AC2=AO2+OC2=80．
∵BC2=（BO+OC）2=100，第 26 页（共 28 页）
在△ABC 中，AB2+AC2=BC2．
∴△ABC 是直角三角形；
（2）设点 N 的坐标为（n，0），则 BN=n+2，
∵∠AOB=∠NMA=90°，
∴有两种情况．
①当 = = 时，易得∠BAO=∠ANM=∠BNM．
∴NB=NA，
∴BN2=NA2，
即（n+2）2=n2+42，解得 n=3，此时 N（3，0），
②当 = =2 时，d 点 N 与原点 O 重合，
∴此时 N（0，0）．
（3）设点 N 的坐标为（n，0），﹣2＜n＜8，则 BN=n+2，
过 M 点作 MD⊥x 轴于点 D， ，
∵MD∥OA，∴△BMD∽△BAO，
∴ = ．
∵MN∥AC， = ，
∴ = ．
∵OA=4，BC=10，BN=n+2，
∴MD= （n+2）．
∵S△AMN=S△ABN﹣S△BMN=﹣ （n﹣3）2+5=3，
解得 n=3 ，
∴N 点坐标为（3+ ，0）（3﹣ ，0）．
【点评】本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式，利用勾股定理的逆定理是解
题关键；利用相似三角形的性质得出 BN 与 AN 的关系是解题关键；利用相似三角形的判定与性质得第 27 页（共 28 页）
出 MD 的值是解题关键，又利用了面积的和差得出 N 的值．
第 28 页（共 28 页）
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