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2016 年福建省厦门市集美区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选
项正确）
1．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B． C．π D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放广告
B．掷一枚均匀硬币，正面一定朝上
C．每周的星期日一定是晴天
D．我市夏季的平均气温比冬季的平均气温高
3．下列图形中，周长最长的是（ ）
A． B．
C． D．
4 ． 对 某 条 路 线 的 长 度 进 行 n 次 测 量 ， 得 到 n 个 结 果 x1 ， x2 ， … ， xn ， 在 应 用 公 式 s2=
计算方差时， 是这 n 次测量结果的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．最大值
5．△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为 a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的
是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6
6．一个运算程序输入 x 后，得到的结果是 4x3﹣2，则这个运算程序是（ ）
A．先乘 4，然后立方，再减去 2 B．先立方，然后减去 2，再乘 4
C．先立方，然后乘 4，再减去 2 D．先减去 2，然后立方，再乘 4第 2 页（共 24 页）
7．下列性质中，菱形具有但矩形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行
C．对角相等 D．对角线互相垂直
8．不等式组的其中一个解是 x=0，且 a＜b＜0，则这个不等式组可以是（ ）
A． B． C． D．
9．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，且 OP=5，PA=4，则 sin∠APO 等于（ ）
A． B． C． D．
10．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个，或制盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套
罐头盒．现有 36 张白铁皮，设用 x 张制盒身，y 张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中
符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．计算：5a﹣3a= ．
12．在一个不透明的口袋中装有 2 个红球和 4 个白球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出一个
球，则摸到红球的概率是 ．
13．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 ．
14．计算 0.78×102016﹣4.2×102015 的结果用科学记数法可表示为 ．
15．对于任意实数 x，点 P（x，x2﹣4x）一定不在第 象限．第 3 页（共 24 页）
16．如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 30°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，∠AOD=90°
．
（1）∠B 的度数是 ；
（2）若 AO= ，CD 与 OB 交于点 E，则 BE= ．
三、解答题（本大题有 11 小题，共 86 分）
17．计算： ．
18．如图，已知△ABC 的顶点 A、B、C 的坐标分别是 A（﹣1，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣4，0）．
画出△ABC，并画出△ABC 关于 y 轴对称的图形．
19．化简： ．
20．为了了解某校学生安全知识的掌握情况，随机抽查了部分学生进行 10 道题安全知识的问答测试
，得到如图的条形图，观察该图，可知抽查的学生中全部答对的有多少人？并估算出该校每位学生
平均答对几题？（结果精确到 0.1）
21．小红认为：当 b2﹣4ac≥0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
．请你举出反例说明小红的结论是错误的．第 4 页（共 24 页）
22．如图，在△ADC 中，点 B 是边 DC 上的一点，∠DAB=∠C， = ．若△ADC 的面积为 18cm，求△
ABC 的面积．
23．若 x，m 都为非负数，x﹣y﹣m=﹣1，2x+m=3．求 y 与 x 的函数关系式，并画出此函数的图象．
24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，点 E 是 AB 的中点，延长 EO 交⊙O 于 D 点，若 BC=DC
，AB=2 ，求 的长度．
25．某公司生产一种电子产品每天的固定成本为 2000 元，每生产一件产品需增加投入 50 元，已知
每天总收入 y（元）满足函数： ，其中 x 是该产品的日产量．当日产量为何值时，
公司所获得利润最大？最大利润为多少元？
26．已知：正方形 ABCD 的边长为 4cm，点 E 从点 A 出发沿 AD 方向以 1cm/秒的速度运动，与此同时，
点 F 也从点 D 出发沿 DC 方向相同的速度运动，记运动的时间为 t（0≤t≤4），AF 与 BE 交于 P 点．
（1）如图，在运动过程中，AF 与 BE 相等吗？请说明理由．
（2）在运动过程中，要使得△BPC 是等腰三角形，t 应为何值？请画出图形，并求出所有满足条件
的 t 值．
27．在平面直角坐际系 xOy 中，当 m，n 满足 mn=k（k 为常数，且 m＞0，n＞0）时，就称点（m，n）
为“等积点”．
（1）若 k=4，求函数 y=x﹣4 的图象上满足条件的，“等积点”坐标；第 5 页（共 24 页）
（2）若直线 y=﹣x+b（b＞0）与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，并且直线有且只有一个“等积点”
，过点 A 与 y 轴平行的直线和过点 B 与 x 轴平行的直线交于点 C，点 E 是直线 AC 上的“等积点”，
点 F 是直线 BC 上的“等积点”，若△OEF 的面积为 k2+ k﹣ ，求 EF 的值．
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2016 年福建省厦门市集美区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题有 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题都有四个选项，其中有且只有一个选
项正确）
1．下列各数中，无理数的是（ ）
A． B． C．π D．
【考点】无理数．
【分析】根据无理数是无限不循环小数，可得答案．
【解答】解：A、 是有理数，故 A 错误；
B、（ ）0 是有理数，故 B 错误；
C、π 是无理数，故 C 正确；
D、 =2 是有理数，故 D 错误；
故选：C．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，注意带根号的要开不尽方才是无理数，无限不循环小数为
无理数．如 π， ，0.8080080008…下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．打开电视机，正在播放广告
B．掷一枚均匀硬币，正面一定朝上
C．每周的星期日一定是晴天
D．我市夏季的平均气温比冬季的平均气温高
【考点】随机事件．
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念解答即可．
【解答】解：打开电视机，正在播放广告是随机事件，A 错误；
掷一枚均匀硬币，正面一定朝上是随机事件，B 错误；
每周的星期日一定是晴天是随机事件，C 错误；
我市夏季的平均气温比冬季的平均气温高是必然事件，D 正确，
故选：D．
【点评】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定第 7 页（共 24 页）
发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一
定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3．下列图形中，周长最长的是（ ）
A． B． C． D ．
【考点】生活中的平移现象．
【分析】直接利用平移的性质进而分析得出答案．
【解答】解：A、由图形可得其周长为：12cm，
B、由图形可得其周长大于 12cm，
C、由图形可得其周长为：12cm，
D、由图形可得其周长为：12cm，
故最长的是 B．
故选：B．
【点评】此题主要考查了生活中的平移现象，正确应用平移的性质是解题关键．
4 ． 对 某 条 路 线 的 长 度 进 行 n 次 测 量 ， 得 到 n 个 结 果 x1 ， x2 ， … ， xn ， 在 应 用 公 式 s2=
计算方差时， 是这 n 次测量结果的（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．最大值
【考点】方差．
【分析】方差计算公式：S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，n 表示样本容量， 为平
均数，根据此公式即可得到答案．
【解答】解：在应用公式 s2= 计算方差时， 是这 n
次测量结果的平均数，第 8 页（共 24 页）
故选 A．
【点评】此题主要考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组
数据的方差．计算公式为：S2= [（x1﹣ ）2+（x2﹣ ）2+…+（xn﹣ ）2]，其中 n 表示样本容量，
x1，x2，…xn 表示样本数据， 为平均数．
5．△ABC 中，∠A，∠B，∠C 的对边分别记为 a，b，c，由下列条件不能判定△ABC 为直角三角形的
是（ ）
A．∠A+∠B=∠C B．∠A：∠B：∠C=1：2：3
C．a2=c2﹣b2 D．a：b：c=3：4：6
【考点】勾股定理的逆定理；三角形内角和定理．
【分析】由三角形内角和定理及勾股定理的逆定理进行判断即可．
【解答】解：A、∠A+∠B=∠C，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；
B、∠A：∠B：∠C=1：2：3，又∠A+∠B+∠C=180°，则∠C=90°，是直角三角形；
C、由 a2=c2﹣b2，得 a2+b2=c2，符合勾股定理的逆定理，是直角三角形；
D、32+42≠62，不符合勾股定理的逆定理，不是直角三角形．
故选 D．
【点评】本题考查了直角三角形的判定，注意在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的
大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．
6．一个运算程序输入 x 后，得到的结果是 4x3﹣2，则这个运算程序是（ ）
A．先乘 4，然后立方，再减去 2 B．先立方，然后减去 2，再乘 4
C．先立方，然后乘 4，再减去 2 D．先减去 2，然后立方，再乘 4
【考点】代数式．
【分析】直接利用各选项得出关系进而判断得出答案．
【解答】解：A、先乘 4，然后立方，再减去 2，得到（4x）3﹣2=64x3﹣2，故此选项错误；
B、先立方，然后减去 2，再乘 4 得到 4（x3﹣2）=4x3﹣8，故此选项错误；
C、一个运算程序输入 x 后，先立方，然后乘 4，再减去 2，得到的结果是 4x3﹣2，故此选项正确；
D、先减去 2，然后立方，再乘 4，得到 4（x﹣2）3，故此选项错误；
故选：C．第 9 页（共 24 页）
【点评】此题主要考查了代数式，正确列出代数式是解题关键．
7．下列性质中，菱形具有但矩形不一定具有的是（ ）
A．对边相等 B．对边平行
C．对角相等 D．对角线互相垂直
【考点】多边形．
【分析】直接利用菱形与矩形的性质分析得出答案．
【解答】解：菱形具有但矩形不一定具有的是：对角线互相垂直．
故选：D．
【点评】此题主要考查了多边形，正确掌握矩形与菱形的性质是解题关键．
8．不等式组的其中一个解是 x=0，且 a＜b＜0，则这个不等式组可以是（ ）
A． B． C． D．
【考点】不等式的解集．
【分析】根据 a＜b＜0 判断出﹣a、﹣b、a、b 的大小，然后根据口诀：同大取大、同小取小、大小
小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集即可逐一判断．
【解答】解：∵a＜b＜0，
∴a＜0＜﹣b，b＜0＜﹣a，0＜﹣b＜﹣a
A、该不等式组无解；
B、不等式组的解集为 a＜x＜﹣b，包括 x=0；
C、该不等式组无解；
D、该不等式组无解；
故选：B．
【点评】本题主要考查不等式组的解集，判断出两数的大小是前提，熟练掌握确定不等式组解集的
口诀是关键．
9．如图，P 为⊙O 外一点，PA 切⊙O 于点 A，且 OP=5，PA=4，则 sin∠APO 等于（ ）第 10 页（共 24 页）
A． B． C． D．
【考点】切线的性质；勾股定理；锐角三角函数的定义．
【分析】连接 OA，由勾股定理得 OA=3，从而得 sin∠APO= ．
【解答】解：连接 OA，
由切线性质知，∠PAO=90°．
在 Rt△PAO 中，OP=5，PA=4，由勾股定理得 OA=3．
∴sin∠APO= ．
故选 B．
【点评】本题可以考查锐角三角函数的定义：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为
邻边比斜边，正切为对边比邻边．
10．用白铁皮做罐头盒，每张铁皮可制盒身 25 个，或制盒底 40 个，一个盒身与两个盒底配成一套
罐头盒．现有 36 张白铁皮，设用 x 张制盒身，y 张制盒底，恰好配套制成罐头盒．则下列方程组中
符合题意的是（ ）
A． B．
C． D．
【考点】由实际问题抽象出二元一次方程组．
【分析】根据题意可知，本题中的相等关系是：（1）盒身的个数×2=盒底的个数；（2）制作盒身
的白铁皮张数+制作盒底的白铁皮张数=36，列方程组即可．
【解答】解：设用 x 张制作盒身，y 张制作盒底，
根据题意得： ，第 11 页（共 24 页）
故选 C．
【点评】此题考查二元一次方程组问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找
出合适的等量关系，列出方程组，再求解．注意运用本题中隐含的一个相等关系：“一个盒身与两
个盒底配成一套盒”．
二、填空题（本大题有 6 小题，每小题 4 分，共 24 分）
11．计算：5a﹣3a= 2a ．
【考点】合并同类项．
【分析】直接利用合并同类项法则求出答案．
【解答】解：5a﹣3a=2a．
故答案为：2a．
【点评】此题主要考查了合并同类项，正确掌握运算法则是解题关键．
12．在一个不透明的口袋中装有 2 个红球和 4 个白球，它们除颜色外其他完全相同，从中摸出一个
球，则摸到红球的概率是 ．
【考点】概率公式．
【分析】由在一个不透明的口袋中装有 2 个红球和 4 个白球，它们除颜色外其他完全相同，直接利
用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：∵在一个不透明的口袋中装有 2 个红球和 4 个白球，它们除颜色外其他完全相同，
∴从中摸出一个球，则摸到红球的概率是： = ．
故答案为： ．
【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
13．如图，给出了过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其依据是 同位角相等，两直线平行 ．第 12 页（共 24 页）
【考点】平行线的判定．
【专题】作图题．
【分析】如图所示，过直线外一点作已知直线的平行线，只有满足同位角相等，才能得到两直线平
行．
【解答】解：由图形得，有两个相等的同位角，所以只能依据：同位角相等，两直线平行．
【点评】正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，只有同位角相
等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
14．计算 0.78×102016﹣4.2×102015 的结果用科学记数法可表示为 3.6×102015 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】直接提取公因式进而分解因式得出答案．
【解答】解：0.78×102016﹣4.2×102015
=7.8×102015﹣4.2×102015，
=（7.8﹣4.2）×102015，
=3.6×102015，
故答案为：3.6×102015．
【点评】此题主要考查了科学记数法的应用以及提取公因式法的应用，正确提取公因式是解题关键．
15．对于任意实数 x，点 P（x，x2﹣4x）一定不在第 三 象限．
【考点】点的坐标．
【分析】根据纵坐标判断出当 x 是负数时，纵坐标一定是正数，然后根据各象限内点的坐标特征解
答．
【解答】解：x＜0 时，﹣x＞0，
所以，x2﹣4x＞0，
所以，点 P（x，x2﹣4x）的纵坐标一定是正数，
所以，点 P（x，x2﹣4x）一定不在第三象限．
故答案为：三．
【点评】本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点
分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限（+，﹣），本
题关键在于从纵坐标的正负情况考虑求解．第 13 页（共 24 页）
16．如图，△COD 是△AOB 绕点 O 顺时针方向旋转 30°后所得的图形，点 C 恰好在 AB 上，∠AOD=90°
．
（1）∠B 的度数是 45° ；
（2）若 AO= ，CD 与 OB 交于点 E，则 BE= 3﹣ ．
【考点】旋转的性质．
【分析】（1）由旋转的性质得出 OC=OA，∠BOD=∠AOC=30°，∠OCD=∠A，由三角形内角和定理即
可得出结果；
（2）作 CM⊥OB 于 M，EN⊥BC 于 N，由含 30°角的直角三角形的性质得出 M= OC= ，由等腰直角
三角形的性质求出 BC= CM= ，作 EN⊥BC 于 N，设 EN=a，求出 CN= EN= a，BN=EN=a，由
BN+CN=BC 得出方程，解方程求出 BN，即可得出结果．
【解答】解：（1）由旋转的性质得：OC=OA，∠BOD=∠AOC=30°，∠OCD=∠A，
∴∠OCD=∠A= （180°﹣30°）=75°，
∵∠AOD=90°，
∴∠AOB=90°﹣30°=60°，
∴∠B=180°﹣∠A﹣∠AOB=180°﹣75°﹣60°=45°，
故答案为：45°；
（2）作 CM⊥OB 于 M，EN⊥BC 于 N，如图所示：
∵∠MOC=60°﹣30°=30°，
∴CM= OC= ，
∵∠B=45°，
∴△BCM 是等腰直角三角形，
∴BC= CM= ，
作 EN⊥BC 于 N，设 EN=a，
∵∠BCE=180°﹣75°﹣75°=30°，第 14 页（共 24 页）
∴CN= EN= a，
∵∠B=45°，
∴BN=EN=a，
∵BN+CN=BC，
∴a+ a= ，
解得：a= ，
∴BE= BN= × =3﹣ ；
故答案为：3﹣ ．
【点评】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理、含 30°角的直角三角形
的性质、等腰直角三角形的判定与性质；熟练掌握旋转的性质，通过作辅助线证明三角形是等腰直
角三角形是解决问题（2）的关键．
三、解答题（本大题有 11 小题，共 86 分）
17．计算： ．
【考点】实数的运算．
【专题】计算题；实数．
【分析】原式利用绝对值的代数意义，负整数指数幂法则，以及特殊角的三角函数值计算即可得到
结果．
【解答】解：原式= + ﹣1=1﹣1=0．
【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
18．如图，已知△ABC 的顶点 A、B、C 的坐标分别是 A（﹣1，﹣1），B（﹣4，1），C（﹣4，0）．
画出△ABC，并画出△ABC 关于 y 轴对称的图形．第 15 页（共 24 页）
【考点】作图-轴对称变换．
【分析】首先根据 A、B、C 三点坐标确定位置，然后画出△ABC，再确定 A、B、C 三点关于 y 轴对称
的对称点位置 A′、B′、C′，然后可得△ABC 关于 y 轴对称的图形．
【解答】解：如图所示：
．
【点评】此题主要考查了作图﹣﹣轴对称变换，关键是正确确定组成图形的关键点的对称点位置．
19．化简： ．
【考点】分式的加减法．
【专题】计算题；分式．
【分析】原式两项通分并利用同分母分式的减法法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式= ﹣
=
= ．
【点评】此题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
20．为了了解某校学生安全知识的掌握情况，随机抽查了部分学生进行 10 道题安全知识的问答测试
，得到如图的条形图，观察该图，可知抽查的学生中全部答对的有多少人？并估算出该校每位学生
平均答对几题？（结果精确到 0.1）第 16 页（共 24 页）
【考点】加权平均数；用样本估计总体；条形统计图．
【分析】根据条形统计图可直接得出全部答对的有 20 人，再根据加权平均数的计算公式求出该校每
位学生平均答对的题数即可．
【解答】解：观察该图，可知抽查的学生中全部答对的有 20 人，
该校每位学生平均答对的题数是： ≈8.7（道）．
答：该校每位学生平均答 8.7 道题．
【点评】此题考查了加权平均数，用到的知识点是加权平均数的计算公式、条形统计图和用样本估
计总体，关键是根据条形统计图求出抽查的学生总数和全都答对的学生数．
21．小红认为：当 b2﹣4ac≥0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是
．请你举出反例说明小红的结论是错误的．
【考点】解一元二次方程-公式法．
【分析】假设一个一元二次方程，应用因式分解法求得方程的解，然后再根据小红的求根公式求得，
看是否一致即可．
【解答】解：如方程 x2+5x+6=0，
（x+2）（x+3）=0，
∴x1=﹣2，x2=﹣3，
小红认为：当 b2﹣4ac≥0 时，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式是 ．
则 x= = ，
x=2 和 x=3，
这与上面的因式分解法求得的方程的解不一致，
故小红的结论是错误的．
【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，熟练掌握公式法是解题的关键．
22．如图，在△ADC 中，点 B 是边 DC 上的一点，∠DAB=∠C， = ．若△ADC 的面积为 18cm，求△
ABC 的面积．第 17 页（共 24 页）
【考点】相似三角形的判定与性质．
【分析】根据相似三角形的判定定理得到△ADC∽△BAD，根据相似三角形的面积比等于相似比的平
方即可得到结论．
【解答】解：∵∠DAB=∠C，∠D=∠D，
∴△ADC∽△BAD，
∴ =（ ）2=（ ）2= ，
∵△ADC 的面积为 18cm2，
∴△BDA 的面积为 8cm2，
∴△ABC 的面积=△ADC 的面积﹣△BDA 的面积=10cm2．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，熟知相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题
的关键．
23．若 x，m 都为非负数，x﹣y﹣m=﹣1，2x+m=3．求 y 与 x 的函数关系式，并画出此函数的图象．
【考点】一次函数的图象．
【分析】先把 2x+m=3 变形为 m=3﹣2x，根据 x，m 都为非负数求出 x 的取值范围，代入 x﹣y﹣m=﹣1
可得出 y 与 x 的函数关系式，画出此函数的图象即可．
【解答】解：∵2x+m=3，
∴m=3﹣2x．
∵x，m 都为非负数，
∴3﹣2x≥0，x≥0，
∴0≤x≤ ．
把 m=3﹣2x 代入 x﹣y﹣m=﹣1 得，y=3x﹣2，
其函数图象如图．第 18 页（共 24 页）
【点评】本题考查的是一次函数的图形，根据题意得出 x 的取值范围是解答此题的关键．
24．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，AC 是直径，点 E 是 AB 的中点，延长 EO 交⊙O 于 D 点，若 BC=DC
，AB=2 ，求 的长度．
【考点】三角形的外接圆与外心；弧长的计算．
【专题】计算题．
【分析】连结 BD，如图，利用圆心角、弧、弦的关系，由 BC=DC 得 = ，则根据垂径定理得到 AC
垂直平分 BD，所以 AB=AD，同样可得 DA=DB，则可判断△ABD 为等边三角形，所以∠BAC=30°，∠
ABD=60°，根据圆周角定理得∠AOD=2∠ABD=120°，然后在 Rt△AEO 中计算出 AO，最后利用弧长公
式计算即可．
【解答】解：连结 BD，如图，
∵BC=DC，
∴ = ，
∴AC 垂直平分 BD，
∴AB=AD，
∵点 E 是 AB 的中点，即 AE=BE= ，
∴DE⊥AB，
∴DA=DB，第 19 页（共 24 页）
∴AB=AD=DB，
∴△ABD 为等边三角形，
∴∠BAC=30°，∠ABD=60°，
∴∠AOD=2∠ABD=120°，
在 Rt△AEO 中，∵∠EAO=30°，
∴OE= AE=1，AO=2OE=2，
∴ 的长度= = ．
【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交
点，叫做三角形的外心．解决本题的关键是证明△ABD 为等边三角形．
25．某公司生产一种电子产品每天的固定成本为 2000 元，每生产一件产品需增加投入 50 元，已知
每天总收入 y（元）满足函数： ，其中 x 是该产品的日产量．当日产量为何值时，
公司所获得利润最大？最大利润为多少元？
【考点】二次函数的应用．
【分析】根据题意利用利润=总收入﹣固定成本﹣每件的投资，进而得出关系式求出答案．
【解答】解：设利润为 w，根据题意可得：
w=y﹣2000﹣50x
=150x﹣ x2﹣50x﹣2000
=﹣ x2+100x﹣2000
=﹣ （x2﹣200x）﹣2000
=﹣ （x﹣100）2+3000，
故当日产量为 100 件时，公司所获得利润最大，最大利润为 3000 元．第 20 页（共 24 页）
【点评】此题主要考查了二次函数的应用，正确得出利润与成本之间的关系是解题关键．
26．已知：正方形 ABCD 的边长为 4cm，点 E 从点 A 出发沿 AD 方向以 1cm/秒的速度运动，与此同时，
点 F 也从点 D 出发沿 DC 方向相同的速度运动，记运动的时间为 t（0≤t≤4），AF 与 BE 交于 P 点．
（1）如图，在运动过程中，AF 与 BE 相等吗？请说明理由．
（2）在运动过程中，要使得△BPC 是等腰三角形，t 应为何值？请画出图形，并求出所有满足条件
的 t 值．
【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质；等腰三角形的判定．
【分析】（1）结论：AF=BE，只要证明△ABE≌△DAF 即可．
（2）分两种情形讨论：①如图 2 中，当 CP=CB 时，作 CM⊥BE 垂足为 O，交 AB 于 M，先证明 AM=BM，
再证明△ABE≌△CBM 即可，②如图 3 中，当点 E 运动到与点 D 重合，点 F 运动到与点 C 重合时，△
PBC 是等腰三角形，求出 t 即可．
【解答】（1）结论：AF=BE，
证明：如图 1 中，∵四边形 ABCD 是正方形，
∴AB=AD，∠BAE=∠D=90°，
在△ABE 和△DAF 中，
，
∴△ABE≌△DAF，
∴BE=AF．
（2）①如图 2 中，当 CP=CB 时，作 CM⊥BE 垂足为 O，交 AB 于 M．
∵△ABE≌△DAF，
∴∠ABE=∠DAF，
∵∠ABE+∠AEB=90°，
∴∠DAF+∠AEB=90°第 21 页（共 24 页）
∴∠APE=90°，
∴AF⊥BE，
∴OM∥AP，
∵OP=OB，
∴AM=BM，
∵∠ABE+∠AEB=90°∠ABE+∠CMB=90°，
∴∠AEB=∠CMB，
在△ABE 和△CBM 中，
，
∴△ABE≌△CBM，
∴AE=BM=2，
∴t=2，
②如图 3 中，当点 E 运动到与点 D 重合，点 F 运动到与点 C 重合时，△PBC 是等腰三角形，此时 t=4
，
③当 t=0 时，点 E 在点 A 处，点 F 在点 D 处，则 AF 于 BE 的交点 P 于点 A 重合，此时，△BPC 显然
是等腰直角三角形
∴t=0 或 2 或 4 时，△BPC 是等腰三角形．第 22 页（共 24 页）
【点评】本题考查正方形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关
键是学会分类讨论，正确画出图形，属于中考常考题型．
27．在平面直角坐际系 xOy 中，当 m，n 满足 mn=k（k 为常数，且 m＞0，n＞0）时，就称点（m，n）
为“等积点”．
（1）若 k=4，求函数 y=x﹣4 的图象上满足条件的，“等积点”坐标；
（2）若直线 y=﹣x+b（b＞0）与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，并且直线有且只有一个“等积点”
，过点 A 与 y 轴平行的直线和过点 B 与 x 轴平行的直线交于点 C，点 E 是直线 AC 上的“等积点”，
点 F 是直线 BC 上的“等积点”，若△OEF 的面积为 k2+ k﹣ ，求 EF 的值．
【考点】一次函数综合题．
【分析】（1）设“等积点”坐标为（m，n），则有 解方程组即可．
（2）如图，由题意“等积点”在反比例函数 y= 图象上，直线 y=﹣x+b（b＞0）与 x 轴、y 轴分别
交于点 A 和点 B，并且直线有且只有一个“等积点”，所以“等积点”M 的坐标为（ ， ），B（
0，2 ），A（2 ，0），E（2 ， ），F（ ，2 ），根据△OEF 的面积=S正方形 AOBC﹣2•S
△AOE﹣S△EFC=k2+ k﹣ ，列出方程即可解决问题．
【解答】解：（1）设“等积点”坐标为（m，n），则有 解得 或
（舍弃），
∴“等积点”坐标为（2 +2，2 ﹣2）．
（2）如图，由题意“等积点”在反比例函数 y= 图象上，第 23 页（共 24 页）
∵直线 y=﹣x+b（b＞0）与 x 轴、y 轴分别交于点 A 和点 B，并且直线有且只有一个“等积点”，
∴“等积点”M 的坐标为（ ， ），B（0，2 ），A（2 ，0），E（2 ， ），F（
，2 ），
∵△OEF 的面积=S 正方形 AOBC﹣2•S△AOE﹣S△EFC=k2+ k﹣ ，
∴k2+ k﹣ =4k﹣k﹣ k，
解得 k=1 或﹣ （舍弃），
∴E（2， ），F（ ，2），
∴EF= = ．
【点评】本题考查一次函数综合题、反比例函数的应用、二元一次方程组等知识，解题的关键是灵
活运用所学知识解决问题，学会利用参数解决问题，学会用方程或方程组的思想思考问题，属于中
考压轴题．
第 24 页（共 24 页）
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