2016年北京市朝阳区普通中学中考数学模拟试卷（三）（3月份）
一.选择题
1．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′
2．火星和地球的距离约为34 000 000千米，用科学记数法表示34 000 000的结果是（ ）千米．
A．0.34×108 B．3.4×106 C．34×106 D．3.4×107
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
4．如图是一个由6个相同的小立方体组成的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
5．下列事件中，必然发生的事件是（ ）
A．明天会下雨
B．小明数学考试得99分
C．今天是星期一，明天就是星期二
D．明年有370天
6．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
第17页（共17页）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
7．已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它的另一个交点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
8．观察下列算式：
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
二.填空题
9．如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于 ．
10．已知直线y=﹣2x+4与直线y=3x+14交于点A，则A点到y轴的距离为 ．
11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为 ．
12．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为 ．
三.解答题
13．解分式方程：．
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14．计算：．
15．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：．
16．已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，
求证：AD=CF．
17．黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
18．某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：
年龄组
13岁
14岁
15岁
16岁
参赛人数
5
19
12
14
（1）求全体参赛选手年龄的众数、中位数；
（2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%．你认为小明是哪个年龄组的选手？请说明理由．
19．如图，AB=AC，AB是直径，求证：BC=2DE．
20．已知抛物线：y=﹣x2﹣x+与x轴交A、B两点（ 点A在点B的左边），顶点为C，若点P在抛物线的对称轴上，⊙P与x轴，直线BC都相切，求P点坐标．
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2016年北京市朝阳区普通中学中考数学模拟试卷（三）（3月份）
参考答案与试题解析
一.选择题
1．下面等式成立的是（ ）
A．83.5°=83°50′ B．37°12′36″=37.48°
C．24°24′24″=24.44° D．41.25°=41°15′
【考点】度分秒的换算．
【分析】进行度、分、秒的加法、减法计算，注意以60为进制．
【解答】解：A、83.5°=83°50′，错误；
B、37°12′36″=37.48°，错误；
C、24°24′24″=24.44°，错误；
D、41.25°=41°15′，正确．
故选D．
2．火星和地球的距离约为34 000 000千米，用科学记数法表示34 000 000的结果是（ ）千米．
A．0.34×108 B．3.4×106 C．34×106 D．3.4×107
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】在实际生活中，许多比较大的数，我们习惯上都用科学记数法表示，使书写、计算简便．
【解答】解：34 000 000=3.4×107．
故选D．
3．如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（ ）
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A．直角三角形 B．锐角三角形
C．钝角三角形 D．以上答案都不对
【考点】勾股定理的逆定理；勾股定理．
【分析】根据勾股定理求得△ABC各边的长，再利用勾股定理的逆定理进行判定，从而不难得到其形状．
【解答】解：∵正方形小方格边长为1，
∴BC==2，
AC==，
AB==，
在△ABC中，
∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65，
∴BC2+AC2=AB2，
∴△ABC是直角三角形．
故选：A．
4．如图是一个由6个相同的小立方体组成的几何体，从上面看得到的平面图形是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】根据俯视图是从上面看到的图形判定则可．
【解答】
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解：从上面看，中间横行左右相邻2个正方形，左下方和右下方各1个正方形，
故选D．
5．下列事件中，必然发生的事件是（ ）
A．明天会下雨
B．小明数学考试得99分
C．今天是星期一，明天就是星期二
D．明年有370天
【考点】随机事件．
【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．
【解答】解：A、B、D选项为不确定事件，即随机事件，故错误；
一定发生的事件只有第三个答案C、今天是星期一，明天就是星期二．
故选C．
6．如果把中的x和y都扩大到5倍，那么分式的值（ ）
A．扩大5倍 B．不变 C．缩小5倍 D．扩大4倍
【考点】分式的基本性质．
【分析】把中的x和y都扩大到5倍，就是用5x代替x，用5y代替y，代入后看所得到的式子与原式有什么关系．
【解答】解：，
即分式的值不变．
故选B．
7．已知正比例函数y=k1x（k1≠0）与反比例函数y=（k2≠0）的图象有一个交点的坐标为（﹣2，﹣1），则它的另一个交点的坐标是（ ）
A．（2，1） B．（﹣2，﹣1） C．（﹣2，1） D．（2，﹣1）
【考点】反比例函数图象的对称性．
【分析】根据关于原点对称的两点横坐标，纵坐标都互为相反数即可解答．
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【解答】解：∵反比例函数的图象是中心对称图形，则与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，
∴它的另一个交点的坐标是（2，1）．
故选：A．
8．观察下列算式：
21=2，22=4，23=8，24=16，25=32，26=64，27=128，28=256，…根据上述算式中的规律，你认为220的末位数字是（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【考点】有理数的乘方．
【分析】本题需先根据已知条件，找出题中的规律，即可求出220的末位数字．
【解答】解：∵21=2，22=4，23=8，24=16，
25=32，26=64，27=128，28=256，…
∴220的末位数字是6．
故选C．
二.填空题
9．如果圆锥的底面半径为3cm，母线长为4cm，那么它的侧面积等于 12πcm2 ．
【考点】圆锥的计算．
【分析】根据圆锥的侧面积=底面周长×母线长计算得出即可．
【解答】解：圆锥的侧面面积=×6π×4=12πcm2．
故答案为：12πcm2．
10．已知直线y=﹣2x+4与直线y=3x+14交于点A，则A点到y轴的距离为 2 ．
【考点】两条直线相交或平行问题．
【分析】把y=﹣2x+4与y=3x+14组成方程组得到交点坐标，交点的横坐标的绝对值即为点A到y轴的距离．
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【解答】解：把y=﹣2x+4与y=3x+14组成方程组得
，
解得，
可知，点A到y轴的距离为2．
故答案为2．
11．如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD=AD=1，∠B=60°，直线MN为梯形ABCD的对称轴，P为MN上一动点，那么PC+PD的最小值为 ．
【考点】等腰梯形的性质；轴对称﹣最短路线问题．
【分析】因为直线MN为梯形ABCD的对称轴，所以当A、P、C三点位于一条直线时，PC+PD有最小值．
【解答】解：连接AC交直线MN于P点，P点即为所求．
∵直线MN为梯形ABCD的对称轴，
∴AP=DP，
∴当A、P、C三点位于一条直线时，PC+PD=AC，为最小值，
∵AD=DC=AB，AD∥BC，
∴∠DCB=∠B=60°，
∵AD∥BC，
∴∠ACB=∠DAC，
∵AD=CD，
∴∠DAC=∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB
∵∠ACB+∠DCA=60°，
∴∠DAC=∠DCA=∠ACB=30°，
∴∠BAC=90°，
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∵AB=1，∠B=60°
∴AC=tan60°×AB=×1=．
∴PC+PD的最小值为．
故答案为：．
12．如图，将一块边长为12的正方形纸片ABCD的顶点A折叠至DC边上的点E，使DE=5，折痕为PQ，则PQ的长为 13 ．
【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的性质．
【分析】先过点P作PM⊥BC于点M，利用三角形全等的判定得到△PQM≌△ADE，从而求出PQ=AE．
【解答】解：过点P作PM⊥BC于点M，
由折叠得到PQ⊥AE，
∴∠DAE+∠APQ=90°，
又∠DAE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠APQ，
∵AD∥BC，
∴∠APQ=∠PQM，
则∠PQM=∠APQ=∠AED，∠D=∠PMQ，PM=AD
∴△PQM≌△ADE
∴PQ=AE==13．
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故答案是：13．
三.解答题
13．解分式方程：．
【考点】解分式方程．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：x﹣1+x+1=4，
解得：x=2，
经检验x=2是分式方程的解．
14．计算：．
【考点】二次根式的加减法；零指数幂；负整数指数幂．
【分析】首先利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、绝对值的性质、二次根式的性质分别化简进而求出答案．
【解答】解：原式=++2﹣+1
=﹣2﹣3+2﹣+1
=﹣2．
15．解不等式组，并把解集在数轴上表示出来：．
【考点】解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．
【分析】
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根据解不等式组的方法可以求得不等式组的解集，然后在数轴上表示出解集即可解答本题．
【解答】解：，
解不等式①得：x＜6，
解不等式②得：x≥1，
在数轴上表示①、②的解集为：
故原不等式组的解集为：1≤x＜6．
16．已知，如图，D是△ABC的边AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，FC∥AB，
求证：AD=CF．
【考点】全等三角形的判定与性质．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，然后利用“角角边”证明△ADE和△CFE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可．
【解答】证明：∵FC∥AB，
∴∠A=∠ECF，∠ADE=∠F，
在△ADE和△CFE中，，
∴△ADE≌△CFE（AAS），
∴AD=CF．
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17．黄冈百货商店服装柜在销售中发现：“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六•一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，尽量减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】设每件童装应降价x元，原来平均每天可售出20件，每件盈利40元，后来每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件．要想平均每天销售这种童装上盈利1200元，由此即可列出方程（40﹣x）（20+2x）=1200，解方程就可以求出应降价多少元．
【解答】解：如果每件童装降价4元，那么平均每天就可多售出8件，则每降价1元，多售2件，设降价x元，则多售2x件．
设每件童装应降价x元，
依题意得（40﹣x）（20+2x）=1200，
整理得x2﹣30x+200=0，
解之得x1=10，x2=20，
因要减少库存，故x=20．
答：每件童装应降价20元．
18．某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示：
年龄组
13岁
14岁
15岁
16岁
参赛人数
5
19
12
14
（1）求全体参赛选手年龄的众数、中位数；
（2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的28%．你认为小明是哪个年龄组的选手？请说明理由．
【考点】众数；统计表；中位数．
【分析】（1）中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；
（2）根据其所占的比例即可求得其所在的是16岁的年龄组．
【解答】解：（1）众数是：14岁；中位数是：15岁．
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（2）解法一：∵全体参赛选手的人数为：5+19+12+14=50名
又∵50×28%=14（名）
∴小明是16岁年龄组的选手．
解法二：∵全体参赛选手的人数为：5+19+12+14=50名
又∵16岁年龄组的选手有14名，
而14÷50=28%
∴小明是16岁年龄组的选手．
19．如图，AB=AC，AB是直径，求证：BC=2DE．
【考点】圆周角定理；等腰三角形的性质．
【分析】连接AD、DE，由直径可知AD⊥BC，由等腰三角形的性质可知：BD=2BD，∠BAD=∠DAC，再根据圆周角定理可知BD=DE，从而得证．
【解答】证明：连接AD、DE
∵AB为⊙O的直径
∴∠ADB=90°
∴AD⊥BC
∵AB=AC
∴∠BAD=∠DAC； BC=2BD=2DC
由圆周角定理可知：BD=DE
∴BC=2DE．
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20．已知抛物线：y=﹣x2﹣x+与x轴交A、B两点（ 点A在点B的左边），顶点为C，若点P在抛物线的对称轴上，⊙P与x轴，直线BC都相切，求P点坐标．
【考点】切线的性质；抛物线与x轴的交点．
【分析】首先求出A、B、C坐标，由Rt△CHB∽Rt△CMP，列出方程即可解决问题，注意有两种情形．
【解答】解：如图，令y=0
所以﹣Zx2﹣Zx+=0
解得：x1=﹣4；x2=2
A（﹣4，0）；B（2，0），
顶点C（﹣1，4）
设抛物线的对称轴与X轴的交点为H，⊙P的半径为R
在Rt△CHB中∠CHB=90°；BH=3；CH=4
由勾股定理知：BC=5
作PM⊥BC于M，
∵∠HCB=∠PCM，∠CHB=∠PMC，
∴Rt△CHB∽Rt△CMP
∴=
①当点P 在X轴上方时=
R=，P（﹣1，）
②当点P 在X轴下方时=
R=6；所以P（﹣1，﹣6）
综上所述P（﹣1，）或 P（﹣1，﹣6）．
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2017年2月28日
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