2015-2016学年浙江省杭州市开发区八年级（下）期中数学试卷
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．要使代数式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≠ C．a≥0且a≠ D．一切实数
2．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（ ）
A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣1
3．已知三角形两边长是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55=0的根，则第三边长是（ ）
A．5 B．11 C．5或11 D．6
4．2013年1月份我国多地雾霾天气频发，部分地区平均雾霾天数统计如下：
省份
江苏
北京
浙江
安徽
山东
天数（天）
24
15
13
10
8
这五省1月份雾霾天数的平均数与中位数分别是（ ）
A．14，13 B．15，13 C．14，14 D．14，15
5．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2=280 B．100（1+x）+100（1+x）2=280
C．100（1﹣x）2=280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2=280
6．已知平行四边形ABCD的对角钱AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=2，AC=8，则对角线BD的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
7．Rt△的三边a、b、c，则关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实根 B．有实根
C．有两个不相等的实根 D．没有实根
第25页（共25页）
8．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，EC=7，则平行四边形ABCD的周长等于（ ）
A．18 B．30 C．18或30 D．16或40
9．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四个结论中错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
10．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算的值是 ．
12．从多边形一个顶点出发可作7条对角线，则这个多边形内角和为 度．
13．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也成为可入肺颗粒物，某市某天的五个监测点检测到PM2.5的值分别为82μg/m3、91μg/m3、89μg/m3、95μg/m3、73μg/m3，则五个监测点的PM2.5的方差是 ．
14．设x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，则x1•x2的值是 ．
15．如图所示，在平行四边形ABCD纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C，若四边形ABCD的面积为12cm2，则翻折后纸片重叠部分的面积是 ．
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16．已知，在四边形ABCD中，AB=CD，E是BC的中点，G是AD的中点，EG交AC于点F，∠ACD=30°，∠CAB=70°，则∠AFG的度数是 ．
三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17．计算：
（1）（）（）
（2）x（2x﹣3）+4x﹣6=0．
18．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．
19．学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表：
选手
表达能力
阅读理解
综合素质
汉字听写
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；
（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．
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20．作图题：
如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
21．随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2012年的月工资为2000元，在2014年时他的月工资增加到2420元，他2015年的月工资按2012到2014年的月工资的平均增长率继续增长．
（1）尹进2015年的月工资为多少？
（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2015年月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2015年的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
22．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠
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B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
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2015-2016学年浙江省杭州市开发区八年级（下）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）
1．要使代数式有意义，则a的取值范围是（ ）
A．a≥0 B．a≠ C．a≥0且a≠ D．一切实数
【考点】二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．
【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0，就可以求解．
【解答】解：根据题意得：，
解得：a≥0且a≠．
故选C．
2．要证明命题“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，下列a，b的值不能作为反例的是（ ）
A．a=1，b=﹣2 B．a=0，b=﹣1 C．a=﹣1，b=﹣2 D．a=2，b=﹣1
【考点】反证法．
【分析】根据要证明一个结论不成立，可以通过举反例的方法来证明一个命题是假命题，分别代入数据算出即可．
【解答】解：∵a=1，b=﹣2时，a=0，b=﹣1时，a=﹣1，b=﹣2时，a＞b，则a2＜b2，
∴说明A，B，C都能证明“若a＞b，则a2＞b2”是假命题，故A，B，C不符合题意，
只有a=2，b=﹣1时，“若a＞b，则a2＞b2”是真命题，故此时a，b的值不能作为反例．
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故选：D．
3．已知三角形两边长是4和7，第三边是方程x2﹣16x+55=0的根，则第三边长是（ ）
A．5 B．11 C．5或11 D．6
【考点】解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系．
【分析】求出方程的解x1=11，x2=5，分为两种情况：①当x=11时，此时不符合三角形的三边关系定理；②当x=5时，此时符合三角形的三边关系定理，即可得出答案．
【解答】解：x2﹣16x+55=0，
（x﹣11）（x﹣5）=0，
x﹣11=0，x﹣5=0，
解得：x1=11，x2=5，
①当x=11时，三角形的三边是4、7、11，
∵4+7=11，
∴此时不符合三角形的三边关系定理，舍去；
②当x=5时，三角形的三边是4、7、5，
∵此时符合三角形的三边关系定理，
∴第三边长是5．
故选A．
4．2013年1月份我国多地雾霾天气频发，部分地区平均雾霾天数统计如下：
省份
江苏
北京
浙江
安徽
山东
天数（天）
24
15
13
10
8
这五省1月份雾霾天数的平均数与中位数分别是（ ）
A．14，13 B．15，13 C．14，14 D．14，15
【考点】中位数；算术平均数．
【分析】根据中位数和平均数的定义求解即可．
【解答】
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解：将这组数据按大小顺序，中间一个数为13，则这组数据的中位数是13；
=（24+15+13+10+8）÷5=14．
故选A．
5．某厂一月份生产某机器100台，计划二、三月份共生产280台．设二、三月份每月的平均增长率为x，根据题意列出的方程是（ ）
A．100（1+x）2=280 B．100（1+x）+100（1+x）2=280
C．100（1﹣x）2=280 D．100+100（1+x）+100（1+x）2=280
【考点】由实际问题抽象出一元二次方程．
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），如果设二、三月份每月的平均增长率为x，根据“计划二、三月份共生产280台”，即可列出方程．
【解答】解：设二、三月份每月的平均增长率为x，
则二月份生产机器为：100（1+x），
三月份生产机器为：100（1+x）2；
又知二、三月份共生产280台；
所以，可列方程：100（1+x）+100（1+x）2=280．
故选B．
6．已知平行四边形ABCD的对角钱AC与BD相交于点O，AB⊥AC，若AB=2，AC=8，则对角线BD的长是（ ）
A．2 B．2 C．4 D．4
【考点】平行四边形的性质；勾股定理．
【分析】由平行四边形的性质得出OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，由勾股定理求出OB，即可得出BD的长．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC=AC=4，OB=OD=BD，
∵AB⊥AC，
∴∠BAO=90°，
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∴OB===2，
∴BD=2OB=4；
故选：D．
7．Rt△的三边a、b、c，则关于x的方程a（x2﹣1）﹣2cx+b（x2+1）=0的根的情况为（ ）
A．有两个相等的实根 B．有实根
C．有两个不相等的实根 D．没有实根
【考点】根的判别式．
【分析】判断根的情况就是判断判别式△与0的大小关系；a、b、c没有确定哪条是直角边，所以需要分类讨论，利用勾股定理化简根的判别式．
【解答】解：化简原方程为：（a+b）x2﹣2cx+b﹣a=0，
∴△=4c2﹣4（b2﹣a2）=4（a2+c2﹣b2），
a、b、c都为正数；
当a为斜边时，a2=b2+c2，△=8c2＞0，此时方程有两不等实根．
同理当b为斜边时，△=0，此时方程有两相等实根．
当c为斜边时，△=8a2＞0，此时方程有两不等实根．
综上，故选B．
8．在平行四边形ABCD中，BC边上的高为AE=4，AB=5，EC=7，则平行四边形ABCD的周长等于（ ）
A．18 B．30 C．18或30 D．16或40
【考点】平行四边形的性质．
【分析】分∠BAC为锐角和钝角两种情况讨论，根据勾股定理计算得到BC的长即可．
【解答】解：如图1，
在直角△ABE中，AB=5，AE=4，
由勾股定理得，BE=3，又EC=7，
∴BC=10，
第25页（共25页）
∴▱ABCD的周长等于30；
如图2，
在直角△ABE中，AB=5，AE=4，
∴BC=4，
∴▱ABCD的周长等于18；
故选：C．
9．有两个一元二次方程M：ax2+bx+c=0，N：cx2+bx+a=0，其中a×c≠0，a≠c；以下列四个结论中错误的是（ ）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x=1
【考点】根的判别式；一元二次方程的解．
【分析】利用根的判别式判断A；利用根与系数的关系判断B；利用一元二次方程的解的定义判断C与D
【解答】解：A、如果方程M有两个相等的实数根，那么△=b2﹣4ac=0，所以方程N也有两个相等的实数根，结论正确，不符合题意；
B、如果方程M的两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同，那么△=b2﹣4ac≥0，＞0，所以a与c符号相同，＞0，所以方程N的两根符号也相同，结论正确，不符合题意；
C、如果5是方程M的一个根，那么25a+5b+c=0，两边同时除以25，得c+b+a=0，所以是方程N的一个根，结论正确，不符合题意；
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D、如果方程M和方程N有一个相同的根，那么ax2+bx+c=cx2+bx+a，（a﹣c）x2=a﹣c，由a≠c，得x2=1，x=±1，结论错误，符合题意；
故选：D
10．如图，在▱ABCD中，AD=2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论：（1）∠DCF=∠BCD，（2）EF=CF；（3）S△BEC=2S△CEF；（4）∠DFE=3∠AEF，其中正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【考点】平行四边形的性质．
【分析】利用平行四边形的性质：平行四边形的对边相等且平行，再由全等三角形的判定得出△AEF≌△DMF（ASA），利用全等三角形的性质得出对应线段之间关系进而得出答案．
【解答】解：（1）∵F是AD的中点，
∴AF=FD，
∵在▱ABCD中，AD=2AB，
∴AF=FD=CD，
∴∠DFC=∠DCF，
∵AD∥BC，
∴∠DFC=∠FCB，
∴∠DCF=∠BCF，
∴∠DCF=∠BCD，故正确；
（2）延长EF，交CD延长线于M，
∵四边形ABCD是平行四边形，
第25页（共25页）
∴AB∥CD，
∴∠A=∠MDF，
∵F为AD中点，
∴AF=FD，
在△AEF和△DFM中，
，
∴△AEF≌△DMF（ASA），
∴FE=MF，∠AEF=∠M，
∵CE⊥AB，
∴∠AEC=90°，
∴∠AEC=∠ECD=90°，
∵FM=EF，
∴FC=FM，故正确；
（3）∵EF=FM，
∴S△EFC=S△CFM，
∵MC＞BE，
∴S△BEC＜2S△EFC
故S△BEC=2S△CEF错误；
（4）设∠FEC=x，则∠FCE=x，
∴∠DCF=∠DFC=90°﹣x，
∴∠EFC=180°﹣2x，
∴∠EFD=90°﹣x+180°﹣2x=270°﹣3x，
∵∠AEF=90°﹣x，
∴∠DFE=3∠AEF，故正确，
故选：C．
二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）
11．计算的值是 4﹣1 ．
第25页（共25页）
【考点】二次根式的混合运算．
【分析】先根据二次根式的性质化简，然后合并即可．
【解答】解：原式=﹣1+3
=4﹣1．
故答案为4﹣1．
12．从多边形一个顶点出发可作7条对角线，则这个多边形内角和为 1440 度．
【考点】多边形内角与外角．
【分析】根据从多边形的一个顶点可以作对角线的条数公式（n﹣3）求出边数，然后根据多边形的内角和公式（n﹣2）•180°列式进行计算即可得解．
【解答】解：∵多边形从一个顶点出发可引出6条对角线，
∴n﹣3=7，
解得n=10，
∴内角和=（10﹣2）•180°=1440°．
故答案为：1440．
13．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也成为可入肺颗粒物，某市某天的五个监测点检测到PM2.5的值分别为82μg/m3、91μg/m3、89μg/m3、95μg/m3、73μg/m3，则五个监测点的PM2.5的方差是 60 ．
【考点】方差．
【分析】先由平均数的公式计算出这组数据的平均数，再根据方差的公式计算即可．
【解答】解：五个监测点的PM2.5的平均值是=86，
则方差是 [（82﹣86）2+（91﹣86）2+（89﹣86）2+（95﹣86）2+（73﹣86）2]=60．
故答案为：60．
14．设x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，则x1•x2的值是 2 ．
第25页（共25页）
【考点】根与系数的关系．
【分析】直接根据根与系数的关系得到两根之积的值．
【解答】解：∵设x1、x2是方程x2﹣4x+2=0的两根，
∴x1•x2=2．
故答案是：2．
15．如图所示，在平行四边形ABCD纸片中，AC⊥AB，AC与BD相交于点O，将△ABC沿对角线AC翻折得到△AB′C，若四边形ABCD的面积为12cm2，则翻折后纸片重叠部分的面积是 3cm2 ．
【考点】平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）．
【分析】根据平行四边形的性质以及已知条件求证出四边形ACDB′是平行四边形，进而求出四边形ACDB′是矩形；根据矩形的性质以及平行四边形的性质求出△ACD的面积，因为△AEC和△EDC可以看作是等底等高的三角形，得出S△AEC=S△ACD=3cm2．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形．
∴AB平行且等于CD．
∵△AB′C是由△ABC翻折得到的，AB⊥AC，
∴AB=AB′，点A、B、B′在同一条直线上．
∴AB′∥CD，
∴四边形ACDB′是平行四边形．
∵B′C=BC=AD．
∴四边形ACDB′是矩形．
∴AE=DE．
∵S▱ABCD=12cm2，
第25页（共25页）
∴S△ACD=6cm2，
∴S△AEC=S△ACD=3cm2．
故答案为：3cm2．
16．已知，在四边形ABCD中，AB=CD，E是BC的中点，G是AD的中点，EG交AC于点F，∠ACD=30°，∠CAB=70°，则∠AFG的度数是 50° ．
【考点】三角形中位线定理．
【分析】作辅助线，可得中位线MG、EM，根据中位线定理得：GM=DC，EM=，GM∥CD，EM∥AB，分别求出∠AMG=∠ACD=30°，∠EGM==20°，相加可得结论．
【解答】解：取AC的中点M，连接GM、EM，
∵G是AD的中点，E是BC 的中点，
∴GM是△ADC的中位线，EM是△ABC的中位线，
∴GM=DC，EM=，GM∥CD，EM∥AB，
∵AB=CD，
∴GM=EM，
∴∠GEM=∠EGM，
∵EM∥AB，
∴∠EMC=∠BAC=70°，
∴∠AME=180°﹣70°=110°，
∵GM∥CD，
∴∠AMG=∠ACD=30°，
∴∠EMG=110°+30°=140°，
∴∠EGM==20°，
第25页（共25页）
∴∠AFG=∠EGM+∠AMG=20°+30°=50°，
故答案为50°．
三、解答题（本题有7个小题，共66分，解答应写出文字说明、证明过程或推演步骤）
17．计算：
（1）（）（）
（2）x（2x﹣3）+4x﹣6=0．
【考点】二次根式的混合运算；解一元二次方程-因式分解法．
【分析】（1）利用平方差公式和完全平方公式计算即可；
（2）利用提公因式法解方程即可．
【解答】解：（1）原式=[（）+][（﹣）﹣]
=（﹣）2﹣（）2
=5﹣2+3﹣2
=6﹣2；
（2）x（2x﹣3）+2（2x﹣3）=0，
（2x﹣3）（x+2）=0，
2x﹣3=0，x，+2=0，
x1=，x2=﹣2．
18．已知m是方程x2﹣x﹣2=0的一个实数根，求代数式（m2﹣m）（m﹣+1）的值．
【考点】一元二次方程的解．
【分析】把x=m代入方程中得到关于m的一元二次方程，由方程分别表示出m2﹣m和m2﹣2，分别代入所求的式子中即可求出值．
第25页（共25页）
【解答】解：∵m是方程x2﹣x﹣2=0的一个根，
∴m2﹣m﹣2=0，
∴m2﹣m=2，m2﹣2=m，
∴原式=
=
=2×2=4．
19．学校准备从甲乙两位选手中选择一位选手代表学校参加所在地区的汉字听写大赛，学校对两位选手从表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写四个方面做了测试，他们各自的成绩（百分制）如表：
选手
表达能力
阅读理解
综合素质
汉字听写
甲
85
78
85
73
乙
73
80
82
83
（1）由表中成绩已算得甲的平均成绩为80.25，请计算乙的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁；
（2）如果表达能力、阅读理解、综合素质和汉字听写分别赋予它们2、1、3和4的权，请分别计算两名选手的平均成绩，从他们的这一成绩看，应选派谁．
【考点】加权平均数；算术平均数．
【分析】（1）先用算术平均数公式，计算乙的平均数，然后根据计算结果与甲的平均成绩比较，结果大的胜出；
（2）先用加权平均数公式，计算甲、乙的平均数，然后根据计算结果，结果大的胜出．
【解答】解：（1）=（73+80+82+83）÷4=79.5，
∵80.25＞79.5，
∴应选派甲；
（2）=（85×2+78×1+85×3+73×4）÷（2+1+3+4）=79.5，
第25页（共25页）
=（73×2+80×1+82×3+83×4）÷（2+1+3+4）=80.4，
∵79.5＜80.4，
∴应选派乙．
20．作图题：
如图，已知∠AOB，OA=OB，点E在OB边上，四边形AEBF是平行四边形，请你只用无刻度的直尺在图中画出∠AOB的平分线．（保留作图痕迹，不要求写作法）
【考点】作图—复杂作图；平行四边形的性质．
【分析】∠AOB的平分线必定经过平行四边形对角线的交点．所以先做平行四边形的对角线，再作∠AOB的平分线．设对角线交点为P，根据平行四边形的性质可得：AP=BP．再由条件AO=BO，OP=OP，可得△APO≌△BPO，进而得到∠AOP=∠BOP．
【解答】解：如图所示：
射线OP即为所求．
21．随着经济的发展，尹进所在的公司每年都在元月一次性的提高员工当年的月工资．尹进2012年的月工资为2000元，在2014年时他的月工资增加到2420元，他2015年的月工资按2012到2014年的月工资的平均增长率继续增长．
（1）尹进2015年的月工资为多少？
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（2）尹进看了甲、乙两种工具书的单价，认为用自己2015年月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书，当他拿着选定的这些工具书去付书款时，发现自己计算书款时把这两种工具书的单价弄对换了，故实际付款比2015年的月工资少了242元，于是他用这242元又购买了甲、乙两种工具书各一本，并把购买的这两种工具书全部捐献给西部山区的学校．请问，尹进总共捐献了多少本工具书？
【考点】一元二次方程的应用．
【分析】（1）关系式为：尹进2012年的月工资×（1+平均增长率）2=尹进2014年的月工资，把相关数值代入求得年平均增长率，让2014年的月工资×（1+平均增长率）即为所求的数值；
（2）可设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．根据等量关系：用242元购买了甲、乙两种工具书各一本；实际付款比2015年的月工资少了242元；2015年的月工资刚好购买若干本甲种工具书和一些乙种工具书．列出方程组求解即可．
【解答】解：（1）设尹进2012到2014年的月工资的平均增长率为x，
则：2000（1+x）2=2420．
解这个方程得：x1=﹣2.1，x2=0.1，
∵x1=﹣2.1与题意不合，舍去．
∴尹进2015年的月工资为2420×（1+0.1）=2662元．
答：尹进2015年的月工资为2662元；
（2）设甲工具书单价为m元，第一次选购y本．设乙工具书单价为n元，第一次选购z本．则由题意，可列方程：
由②+③，整理得，（m+n）（y+z）=2×2662﹣242，
把①代入得，242（y+z）=2×2662﹣242，
∴y+z=22﹣1=21．
21+2=23本．
答：尹进捐出的这两种工具书总共有23本．
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22．如图，在▱ABCD中，F是AD的中点，延长BC到点E，使CE=BC，连接DE，CF．
（1）求证：四边形CEDF是平行四边形；
（2）若AB=4，AD=6，∠B=60°，求DE的长．
【考点】平行四边形的判定与性质；含30度角的直角三角形；勾股定理．
【分析】（1）由“平行四边形的对边平行且相等”的性质推知AD∥BC，且AD=BC；然后根据中点的定义、结合已知条件推知四边形CEDF的对边平行且相等（DF=CE，且DF∥CE），即四边形CEDF是平行四边形；
（2）如图，过点D作DH⊥BE于点H，构造含30度角的直角△DCH和直角△DHE．通过解直角△DCH和在直角△DHE中运用勾股定理来求线段ED的长度．
【解答】证明：（1）在▱ABCD中，AD∥BC，且AD=BC．
∵F是AD的中点，
∴DF=．
又∵CE=BC，
∴DF=CE，且DF∥CE，
∴四边形CEDF是平行四边形；
（2）解：如图，过点D作DH⊥BE于点H．
在▱ABCD中，∵∠B=60°，
∴∠DCE=60°．
∵AB=4，
∴CD=AB=4，
∴CH=CD=2，DH=2．
在▱CEDF中，CE=DF=AD=3，则EH=1．
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∴在Rt△DHE中，根据勾股定理知DE==．
23．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=16cm，AB=12cm，BC=21cm，动点P从点B出发，沿射线BC的方向以每秒2cm的速度运动到C点返回，动点Q从点A出发，在线段AD上以每秒1cm的速度向点D运动，点P，Q分别从点B，A同时出发，当点Q运动到点D时，点P随之停止运动，设运动的时间为t（秒）．
（1）当t为何值时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）当t为何值时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等于60cm2？
（3）是否存在点P，使△PQD是等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的t的值；若不存在，请说明理由．
【考点】平行四边形的性质；等腰三角形的性质；直角梯形．
【分析】（1）由题意已知，AD∥BC，要使四边形PQDC是平行四边形，则只需要让QD=PC即可，因为Q、P点的速度
已知，AD、BC的长度已知，要求时间，用时间=路程÷速度，即可求出时间；
（2）要使以C、D、Q、P为顶点的梯形面积等于60cm2，可以分为两种情况，点P、Q分别沿AD、BC运动或点P返回时，再利用梯形面积公式，即（QD+PC）×AB÷2=60，因为Q、P点的速度已知，AD、AB、BC的长度已知，用t可分别表示QD、BC的长，即可求得时间t；
（3）使△PQD是等腰三角形，可分三种情况，即PQ=PD、PQ=QD、QD=PD；可利用等腰三角形及直角梯形的
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性质，分别用t表达等腰三角形的两腰长，再利用两腰相等即可求得时间t．
【解答】解：（1）∵四边形PQDC是平行四边形
∴DQ=CP
当P从B运动到C时，
∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，
CP=21﹣2t
∴16﹣t=21﹣2t
解得t=5
当P从C运动到B时，
∵DQ=AD﹣AQ=16﹣t，
CP=2t﹣21
∴16﹣t=2t﹣21，
解得t=，
∴当t=5或秒时，四边形PQDC是平行四边形；
（2）若点P、Q分别沿AD、BC运动时，
即
解得t=9（秒）
若点P返回时，CP=2（t﹣），
则
解得t=15（秒）．
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故当t=9或15秒时，以C，D，Q，P为顶点的梯形面积等60cm2；
（3）当PQ=PD时
作PH⊥AD于H，则HQ=HD
∵QH=HD=QD=（16﹣t）
由AH=BP得
解得秒；
当PQ=QD时QH=AH﹣AQ=BP﹣AQ=2t﹣t=t，QD=16﹣t，
∵QD2=PQ2=t2+122
∴（16﹣t）2=122+t2
解得（秒）；
当QD=PD时DH=AD﹣AH=AD﹣BP=16﹣2t，
∵QD2=PD2=PH2+HD2=122+（16﹣2t）2
∴（16﹣t）2=122+（16﹣2t）2
即3t2﹣32t+144=0
∵△＜0，
∴方程无实根，
当点P从C向B运动时，观察图象可知，只有PQ=PD，
由题意：2t﹣26=（16﹣t），
t=．
综上可知，当秒或秒或秒时，△PQD是等腰三角形．
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2017年2月22日
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